4ème - Nombres premiers

Nombres premiers

Divisibilité, décomposition en produit de facteurs premiers

1) Critères de divisibilités :

2) Notion de quotient :

3) Notion de diviseurs

4) Reconnaître un nombre premier

5) Décomposer en produit de facteurs premiers :

1) Division euclidienne:

Définition :

a, b, et r sont des nombres tel que b soit non nul

Effectuer la division euclidienne de a par b c’est chercher les nombres entiers q et r tel que :

a = b x q + r avec r<b

a s'appelle le dividende b s'appelle le diviseur q s'appelle le qutoient r s'appelle le reste

2) Diviseurs, multiples d'un nombre entier:

a) Propriété :

a, b sont des nombres tel que b soit non nul

Quand le reste de la division euclidienne de a par b est nul, on a : a = b x q où q est un entier

On dit que b divise a ou que b est un diviseur de a ou que a est multiple de b

2) Diviseurs, multiples d'un nombre entier:

b) Critères de divisibilités :

Un nombre est divisible par 2 si le chiffre des unités du nombre est 0,2,4,6 ou 8 Un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres du nombre est divisible par 3 Un nombre est divisible par 5 si le chiffre des unités du nombre est 0 ou 5 Un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres du nombre est divisible par 9

3) Nombres premiers :

a) Définition :

Un nombre premier est un nombre entier naturel supérieur ou égale à 2 qui n’admet pas d’autres diviseurs que 1 et lui-même.

Les nombres premiers inférieurs à 100 sont :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

3) Nombres premiers:

b) Propriété :

Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 est premier ou produit de nombres premiers. Lorsqu’on écrit un nombre entier comme produit de nombre premier, on dit qu’on décompose cet entier en produit de nombre premier.

3) Nombres premiers:

c) Métode pour décomposer un entier en produit de facteurs premiers :

Essayer de diviser le nombre par 2 et, si c’est possible, le quotient par 2 et ceci tant que cela est possible. Recommencer avec 3, etc . . . Recommencer avec chacun des nombres premiers de la liste 5, 7, 11, . . . On s’arrête lorsque le quotient est 1.

Exemple de méthode pour décomposer en produit de facteurs premiers :

Décomposer 420 en produit de facteur premiers :

420 se termine par 0 donc il est divisible par 2.

420

210 se termine par 0 donc il est divisible par 2.

210

105 ne se termine pas par 0;2;4;6 ou 8 donc il n'est pas divisible par 2.

105

La somme des chiffres de 105 est 6 et 6 est dans la table de 3 donc 105 est divisible par 3.

35

La somme des chiffres de 35 est 8 et 8 n'est pas dans la table de 3 donc 35 n'est pas divisible par 3.

35 se termine par 5 donc il est divisible par 5 .

7 est un nombre premier.

Donc : 420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 2² x 3 x 5 x7