Le coniche

Di Garcìa-Torre Diego, Ghidoni Simone e Manenti Francesco

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Le coniche

Parabola, circonferenza, ellisse ed iperbole sono (sezioni) coniche, perché si possono ottenere dall'intersezione di una superficie conica con un piano.

L'equazione generale delle coniche è:ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 a ≠ 0 V b ≠ 0 V c ≠ 0

b≠0

b=0

LE coniche

SEZIONI coniCHe

Consideriamo ora un piano, non passante per il vertice, che interseca la superficie conica puoi renderti conto che la sezione è: una circonferenza se il piano è perpendicolare all’asse della superficie conica.

SEZIONI coniCHe

Un’ellisse se il piano non è perpendicolare all’asse, non è parallelo a nessuna generatrice e interseca una sola falda della superficie conica.

SEZIONI coniCHe

Una parabola se il piano è parallelo a una generatrice e interseca una sola falda della superficie conica.

SEZIONI coniCHe

Un' iperbole se il piano interseca entrambe le falde della superficie conica.

le coniCHe

L’insieme delle coniche risulta quindi costituito dall’unione delle coniche non degeneri:•iperboli;•parabole; •ellissi (come caso particolare le circonferenze); e delle coniche degeneri: •in un punto (ellisse degenere); •in due rette distinte parallele (parabola degenere) o incidenti (iperbole degenere); •in due rette coincidenti (parabola degenere).

le coniCHe

Se b≠0, gli assi della conica non sono paralleli agli assi cartesiani. In questo caso l'equzione rappresenta un' iperbole riferita agli asintoti, tramite una funzione omografica y=(Ax+B)/(Cx+D)

Le coniche

Se b=0, gli assi della conica sono paralleli agli assi cartesiani e l'equazione della conica diventa:Ax + By + Cx + Dy + E = 0

AB<0

AB>0

AB=0

Le coniche

Se AB<0 la conica è un'iperbole, degenere in due incidenti se:(C /4A) + (D /4B) - E = 0

le coniche

Se AB=0 la conica è una parabola, eventualmente degenere in due rette incidenti se:A=C=0 V B=D=0 x =Ay + By + C (con A≠0) asse parallelo all'asse x y =Ax + Bx + C (con A≠0) asse parallelo all'asse y

le coniche

Se AB>0 la conica rappresenta una ellisse, eventualmente degenere in un punto.​L'ellisse è una conica che si suddivide tra: ellisse con i fuochi sull'asse x, ellisse con i fuochi sull'asse y:​ Ellisse con i fuochi sull'asse x Ellisse con i fuochi sull'asse y

1>e>0

e>1

e=1

INTERSEZIONI TRA coniche

Il problema di determinare i punti di intersezione tra due coniche equivale alla ricerca delle soluzioni di un sistema del tipo: Si tratta di un sistema di quarto grado, che può quindi avere al massimo quattro soluzioni in R. Pertanto, due coniche si intersecano al massimo in quattro punti.

Scopri di più

INTERSEZIONI TRA coniche

Tutti i casi sono possibili:

• esistono cioè coppie di coniche che non si intersecano
• che si intersecano in un solo punto
• in due punti
• in tre punti
• in quattro punti.

TANGENZA TRA coniche

Due coniche si dicono tangenti in un punto se hanno in quel punto la stessa retta tangente.Pertanto, se due coniche sono tangenti, i casi possibili sono i seguenti:

1. le due coniche hanno un solo punto di tangenza e non hanno altri punti di intersezione.
2. le due coniche sono tangenti in un punto e si intersecano in un altro punto.
3. le due coniche sono tangenti in un punto e si intersecano in altri due punti.
4. le due coniche sono tangenti in due punti: le coniche si dicono in questo caso bitangenti

FINE

SEZIONI CONICHE

Chiamiamo superficie conica la superficie che si ottiene considerando due rette incidenti e facendo ruotare in un giro completo una di esse intorno all’altra (detta asse della superficie conica).

• Il punto in comune alle due rette si chiama vertice.
• La retta che si è fatta ruotare, e ogni altra retta della superficie conica si dicono generatrici.
• Il vertice divide la superficie conica in due parti, dette falde