teorema di bayes

IL TEOREMA DI BAYES

a cura di ELISABETTA TORTORELLA

Il teorema di Bayes, enunciato dal matematico Thomas Bayes, è un teorema ampiamente utilizzato nel calcolo della probabilità. Suddetto teorema discende da due risultati fondamentali della teoria della probabilità: il teorema della probabilità composta e il teorema della probabilità totale, i due teoremi furono infatti sistematizzati e composti tra loro, proprio dal matematico, dando vita alla formula di Bayes

Dati due eventi, E1 ed E2, tra di loro compatibili o incompatibili, la probabilità totale è la probabilità che si verifichi almeno uno tra i due eventi.

IL TEOREMA DELLA PROBABILITA’ TOTALE

IL TEOREMA DELLA PROBABILITA’ COMPOSTA

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Considerati due eventi E1 ed E2, la probabilità composta fa riferimento alla probabilità che si verifichino entrambi

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Condieriamo due eventi, E ed F, con probabilità non nulle. La probabilità condizionata di E rispetto ad F è uguale al prodotto tra la probabilità condizionata di F rispetto a E e la probabilità di E, tutto fratto la probabilità di F.

Il teorema di Bayes viene spesso chiamato “teorema della probabilità delle cause”. Dato un evento certo, il teorema viene impiegato per calcolare la probabilità che sia stata una precisa causa a scatenare l'evento in questione.(si conosce il risultato dell’esperimento e si vuole calcolare la probabilità che sia dovuto ad una certa causa)

E1: estrazione della carta dal mazzo A E2: estrazione della carta dal mazzo B P(E1) =P(E2) = ½ equiprobabili E1∩E2= ∅ E1∪E2= Spazio campionario E: estrazione di un asso p (E I E1 ) = 4/52= 1/13 p (E I E2) = 4/40= 1/10

Sul tavolo ci sono due mazzi di carte,il mazzo A è completo, ed ha 52 carte (13 per ognuno dei 4 semi). Dal mazzo B sono state tolte tutte le figure. Si estrae una carta a caso da uno dei due mazzi ed è un asso. Qual è la probabilità che l’asso sia stato estratto dal mazzo B?

Dopo aver verificato le ipotesi del teorema di Bayes e aver calcolato le probabilità condizionate possiamo applicare la formula di bayes per calcolare p(E2 I E) che risulta essere 13/23.Tramite l'interpretazione grafica arriviamo esattamente allo stesso risultato. Il teorema di Bayes non è altro che l’applicazione della definizione stessa di probabilità: casi favorevoli (probabilità che la carta si estragga dal mazzo B e sia asso), diviso tutti i casi possibili.

applichiamo la formula di bayes

Medicina e Diagnosi

AMBITI DI APPLICAZIOE DEL TEOREMA DI BAYES

il teorema è utilizzato in medicina per valutare la probabilità che un soggetto sia affetto da una malattia dato un certo risultato diagnostico

Sicurezza informatica

il teorema è impiegato nei filtri antispam o per identificare potenziali minacce o attacchi informatici in base a modelli di comportamento anomali

Finanza e Marketing

il teorema è utilizzato per analizzare dati e modelli di comportamento dei consumatori oppure per effettuare valutazioni del credito, calcolando le probabilità di insolvenza

grazie per l'attenzione