7 GEOMETRIA ANALÍTICA 2a versió

U7 GEOMETRIA ANALÍTICA

1 PUNTS I VECTORS EN EL PLA

4 POSICIONS RELATIVES DE DUES RECTES

5 ANGLE DE DUES RECTES

2 EQUACIONS DE LA RECTA

6 CÀLCUL DE DISTÀNCIES

3 PARAL·LELISME I PERPENDICULARITAT

7.1 Punts i vectors en el pla

Sistema de referència: està format per un punt fix O (origen) i una base

A cada punt P

el vector

s'associa

de coordenades

: s'anomena vector posició del punt P

Vector direcció d'una recta: qualsevol vector paral·lel a ella

Suposarem una base ortonormal:

Coordenades del vector : s'obtenen restant a les coordenades de B les de A

Punts alineats: 3 punts estan alineats si els seus vectors direcció són proporcionals. Ho comprovam així:

Exemple: comprovar si els següents punts estan alineats

Punt mitjà d'un segment : les coordenades del punt mitjà M del segment d'extrems i són:

Exemple:

Simètric d'un punt respecte d'un altre

A' és simètric de A respecte d'un punt P

P és el punt mitjà del segment AA'

Exemple: Calcular el simètric de A(7,4) respecte de P(3,-11)

7.2 Equacions de la recta

Equació vectorial:

amb

Exemple: Obtenir l'equació vectorial de la recta r

Punt de la recta: P(3, 6)Vector direcció de la recta: (paral·lel a r)

Del gràfic obtenim el punt i el vector director:

Escrivim l'equació vectorial:

Equacions paramètriques:

s'obtenen de l'equació vectorial separant les variables (x, y)

Exemple: Obtenir les equacions paramètriques de la recta que passa pels punts P(7, -4) i Q(3, 2)

Consideram, per exemple, el punt P(7, -4).

Escrivim les equacions paramètriques:

Calculam el vector direcció:

Equació contínua:

s'obté aïllant el paràmetre de cada equació paramètrica i igualant després ambdues expressions.

Exemple: Obtenir l'equació contínua de la recta que passa per P(-2,5) i Q(1,7).

Consideram, per exemple, el punt P(-2,5).

Calculam el vector direcció:

Escrivim l'equació contínua:

Alerta amb els signes!!

s'obté de l'equació contínua, aïllant la variable y

Equació explícita:

amb m: pendent de la recta n: ordenada en l'origen

Important: Si m és el pendent de la recta (1,m) és un vector director

m es pot obtenir a partir de dos punts de la recta:

Exemple: Troba l'equació explícita de la recta

Obtenim la recta en forma contínua i aillam la variable y:

amb m: pendent de la recta : punt de la recta

Equació punt-pendent:

Exemple: Troba l'equació punt-pendent de la recta que passa per A(5, -1) i B(7, 4).

El punt que s'empra per escriure l'equació podria ser qualsevol punt de la recta. En el nostre exemple, hem triat el punt A.

Escrivim l'equació punt-pendent:

Obtenim el pendent a partir dels punts de la recta:

Equació implícita o general:

amb : vector normal de la recta, que és perpendicular a ella.

Podem obtenir el vector normal a partir del vector direcció, ja que ambdós són perpendiculars:

Exemple: A partir de l'equació contínua de la recta r: , escriure la seva equació general.

De l'equació contínua, ens fixam en el vector direcció:

Operam l'expressió de l'equació contínua:

Si ens fixam en els coeficients:

Exemple: Obtén totes les formes possibles de l'equació de la recta que passa per A(-2, 5) i B(3, -5).

Calculam el vector direcció:

Equació vectorial:

Equacions paramètriques:

Equació en forma contínua:

Equació general o implícita: l'obtenim a partir de la contínua

Equació explícita: s'obté de la general, aïllant la y

Equació punt-pendent: Hi ha 2 formes d'obtenir el pendent de la recta:

2a) A partir de les coordenades dels punts A i B:

1a) De l'equació explícita:

7.3 Paral·lelisme i perpendicularitat

Ens fixarem en el vector direcció i el vector normal d'una recta per determinar el paral·lelisme i la perpendicular d'aquesta respecte d'una altra.

Rectes paral·leles

Rectes perpendiculars

Per obtenir el vector normal a partir del vector direcció:

Exemple: Troba una paral·lela i una perpendicular a que passin per P(7, -5).

Vector direcció de r:

: Equació de la recta paral·lela,

Vector normal de r:

: Equació de la recta perpendicular,

7.4 Posicions relatives de 2 rectes

Dues rectes es poden tallar, ser paral·leles o coincidir:

Rectes paral·leles

Rectes coincidents

Rectes secants: es tallen en un punt

Exemple de rectes secants: Determina la posició relativa i el punt de tall, si existeix, de les rectes r i s

Obtenim els vectors direcció de r i s: i : NO són paral·lels Rectes secants

El paràmetre de la recta s, passa a dir-se , ja que no pot coincidir amb el de la recta r

Resolem el sistema igualant les equacions:

Les rectes es tallen en el punt:

Substituint en la recta r, s'obté el punt de tall:

També podríem substituir en la recta s

Exemple de rectes paral·leles: Determina la posició relativa de les rectes r i s

Les rectes són paral·leles

Si no coincideix , no hi ha solució

Comprovam si les rectes són paral·leles o coincidents. Agafam un punt de r i comprovam si pertany a s: si és així, són coincidents. En cas contrari, són paral·leles.

Obtenim els vectors direcció de r i s: i : són proporcionals, per tant, són paral·lels

Exemple de rectes coindidents: Determina la posició relativa de les rectes r i s

Obtenim els vectors direcció de r i s: i : són proporcionals, per tant, són paral·lels

Comprovam si les rectes són paral·leles o coincidents. Agafam un punt de r i comprovam si pertany a s:

Les rectes són coincidents