Unidad 1-Teorema Fundamental Del Cálculo.

tEOREMA FUNDAMENTAL DE CALCULO

UNIDAD . 1

ENRIQUE EZEQUIEL SANTOS TRINIDAD

Fecha: 04/02/2024

índice

1.4 definición de integral definida

1.9 Teorema fundamental del calculo

portada

1.5 Teorema de existencia

1.10 Cálculo De Integrales Definidas Básicas

Introducción

conclusiónes

1.6 propiedades de la integral definida

1.1 Medición aprox. de figuras amorfas

1.7 función primitiva

1.2 Notación sumatoria

referencias

1.8 Teorema del valor intermedio

1.3 sumas de riemann

Introducción

¡Hola! ¿Preparado para sumergirte en el fascinante mundo del cálculo? Pues aquí va una introducción relajada al Teorema Fundamental del Cálculo, que básicamente es como el héroe del cálculo, el MVP (Most Valuable Theorem).Imagina que estás tratando de calcular el área bajo una curva, ¿verdad? Pues bien, el Teorema Fundamental del Cálculo es como el as bajo la manga que hace que eso sea mucho más fácil. Nos dice cómo relacionar el cálculo de áreas con funciones, y lo hace de una manera que hace que los matemáticos se sientan como superhéroes.En pocas palabras, este teorema establece una conexión épica entre la derivación y la integración. Nos permite desentrañar los secretos de una función al mirar su tasa de cambio (derivada) y, al mismo tiempo, nos permite calcular áreas debajo de la curva como si fuéramos maestros del espacio y el tiempo (integración).

1.1

Medición Aproximada De Figuras Amorfas

1.1

Definición

Se refiere al proceso de determinar el área o el volumen de una figura que no tiene una forma geométrica regular y definida. En cálculo integral, se utilizan métodos aproximados para estimar la magnitud de una región irregular mediante la división de la figura en pequeñas partes manejables.

1.1

Medición aproximada de figuras amorfas

• Estos métodos son especialmente útiles cuando no se puede expresar la forma de la figura mediante funciones matemáticas simples, como ocurre con figuras geométricas regulares. La medición aproximada de figuras amorfas implica, por lo tanto, trabajar con aproximaciones y realizar cálculos que tiendan hacia el valor real a medida que se reduce el tamaño de las subdivisiones utilizadas en el proceso de integración.

• Para calcular áreas de regiones bidimensionales amorfas, se pueden utilizar métodos como la suma de Riemann o integración numérica para sumar las áreas de rectángulos infinitesimales que se aproximan a la forma de la figura. En el caso de volúmenes de regiones tridimensionales, se pueden aplicar técnicas similares mediante la integración para sumar los volúmenes de secciones infinitesimales de la figura.

1.2

Notación Sumatoria

1.2

Definición

La notación sumatoria, también conocida como sigma (Σ) notation, es una notación matemática utilizada en cálculo integral para expresar de manera compacta la suma de una serie de términos. La notación sumatoria ayuda a representar de manera concisa operaciones que involucran sumar varios términos.

1.2

La formula general de la notación sumatoria es:

• "i" Es el indice de la sumatoria
• "m" y "n" son los límites inferior y superior, respectivamente, de la sumatoria
• "a i" es la expresion que se suma para cada valor del ídice "i"
• En el contexto de cálculo integral, esta notación se utiliza comúnmente para expresar la suma de áreas infinitesimales o incrementos pequeños. Por ejemplo, al calcular una integral definida para encontrar el área bajo una curva, la notación sumatoria puede ser utilizada para expresar la suma de infinitos rectángulos delgados, cada uno representando un incremento infinitesimal en la variable independiente.

La notación sumatoria es una herramienta poderosa para simplificar expresiones y describir sumas infinitas de manera más compacta y elegante.

1.3

SUMAS DE RIEMANN

1.3

Definición

Las sumas de Riemann son un concepto fundamental en cálculo integral y son utilizadas para aproximar el área bajo una curva o la integral definida de una función en un intervalo dado. Estas sumas se basan en la idea de dividir el intervalo de integración en subintervalos más pequeños y luego utilizar rectángulos para aproximar el área bajo la curva en cada subintervalo.

1.3

Sumas de Riemann

• Las sumas de Riemann son esenciales en el desarrollo del cálculo integral, ya que proporcionan una forma de entender y calcular áreas bajo curvas, volúmenes de regiones tridimensionales y otros conceptos fundamentales. La teoría de Riemann integra conceptos como límites y sumas infinitesimales, allanando el camino para el desarrollo del cálculo integral tal como lo conocemos hoy.

• La idea es que a medida que el número de subintervalos (n) aumenta y los anchos de los subintervalos ( i) disminuyen, la suma de Riemann se convierte en una mejor aproximación de la integral definida de la función en el intervalo dado. Esta aproximación se vuelve más precisa a medida que los subintervalos se hacen infinitesimales.

1.4

Definición De Integral Definida

1.4

Definición

La integral definida es un concepto fundamental en cálculo integral que se utiliza para calcular la acumulación de cantidades o la medida de una magnitud variable en un intervalo específico. Se denota comúnmente por el símbolo ∫ y tiene una notación específica que incluye el límite inferior y superior del intervalo de integración.

1.4

Integral definida

• La integral definida representa el área acumulada bajo la curva de la función f (x) entre los límites entre los limitantes a y b Matemáticamente, se puede interpretar como el límite de sumas de Riemann cuando el número de subdivisiones de la región bajo la curva tiende a infinito y el ancho de cada subintervalo tiende a cero.
• En resumen, la integral definida se utiliza para calcular áreas bajo curvas, así como para modelar y analizar diversas magnitudes en matemáticas y ciencias aplicadas.

• Una integral calculada entre dos límites se llama integral definida. Se expresa como: ∫ a b f ( x ) d x .
• "a" es el límite inferior del intervalo de integración.
• "b" es el límite superior del intervalo de integración.
• f (x) es la función que se está integrando con respecto a x.
• dx indica que la variable de integración es x.

1.5

Teorema De Existencia

1.5

Definición

El Teorema de Existencia se refiere a resultados que establecen la existencia de ciertos objetos matemáticos, como integrales definidas o primitivas de funciones. Un teorema comúnmente utilizado para la existencia de integrales definidas es el Teorema Fundamental del Cálculo.

1.5

Teorema de existencia

• Este teorema proporciona una conexión fundamental entre el cálculo integral y el cálculo diferencial, y es esencial para el desarrollo de ambos campos. Establece la existencia de primitivas (o antiderivadas) de funciones continuas y, por lo tanto, garantiza la existencia de integrales definidas para dichas funciones. En resumen, el Teorema Fundamental del Cálculo es un ejemplo importante de un teorema de existencia en cálculo integral, y su enunciado establece condiciones bajo las cuales se garantiza la existencia de ciertos objetos matemáticos en el contexto de integrales definidas.

• Este teorema establece que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado {a,b} entonces la función F (x), definida como la integral definida de f desde "a" hasta "x", es continua en {a,b} y diferenciable en el intervalo eabierto (a,b). Además, la derivada de F (x) es igual a F (x)

1.6

Propiedades De La Integral Definida

1.6

Veamos a continuación la representación de dicha integral definida sobre una función f(x) comprendida entre los puntos x= a y x = b:

Definición

La Integral Definida de una función f(x) en un intervalo [a, b] representa el área que está contenido debajo de la gráfica de f(x) entre los puntos x = a y x = b y se representa por:

1.6

Propiedades de la Integral Definida

Veamos a continuación las principales propiedades de la Integral Definida:La integral definida de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales definidas de cada función por separado:La integral definida de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral definida de la función: El valor de la integral definida cambia de signo si se cambian de orden los límites de integración:

El valor de la integral definida vale cero si los límites de integración son iguales: El valor de la integral definida entre a y b vale igual que la suma de dos integrales entre a y c y c y b si c es un punto intermedio entre a y b:

1.7

Función Primitiva

1.7

Definición

Sea f(x) una función real de variable real definida en un intervalo cerrado [a, b]⊆R. Se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada es f(x) en dicho intervalo. F(x) es primitiva de f(x)⇔ F' (x) = f(x) ∀x ∈ [a, b] Ejemplo: La función F(x)=sen(x) es una primitiva de la función cos(x), ya que

1.8

Teorema Del Valor Intermedio

1.8

Definición

Algunas propiedades incluyen que toda integral extendida a un intervalo de un solo punto es igual a cero. Cuando la función es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativaDemostraremos este teorema basándonos en el teorema de Bolzano. La idea es sencilla: suponiendo f(a)<f(b), se trata de demostrar que para cualquier f(a)<k<f(b), existe al menos un c∈(a,b) tal que f(c)=k. Si f(b)<f(a), el razonamiento sería análogo.

1.9

Teorema Fundamental Del Cálculo

1.9

Definición

Nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas. Es decir, si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original El teorema fue fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de la matemática que se seguía por separado del cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo xviii, y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del «área bajo una función» estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración la operación inversa a la derivación.

1.10

Cálculo De Integrales Definidas Básicas.

1.10

Definición

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b. La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como: Una integral definida suele producir un valor; a diferencia de una integral indefinida, que produce una función.

1.10

Conclusión

¡Y así, amigos míos, hemos navegado por las aguas tumultuosas del Teorema Fundamental del Cálculo! En resumen, este teorema es como el mejor amigo de un amante del cálculo, haciendo que la conexión entre derivadas e integrales sea tan sencilla como dar un paseo por el parque matemático. Nos permite jugar con funciones, entender cómo cambian en cada punto y, al mismo tiempo, nos da el superpoder de calcular áreas bajo curvas con una elegancia que dejaría boquiabierto a cualquier superhéroe matemático. Así que, ya sabes, la próxima vez que te enfrentes a una montaña de ecuaciones y gráficas, recuerda que el Teorema Fundamental del Cálculo está ahí para iluminar el camino y hacer que todo parezca más fácil. ¡A disfrutar de conquistar esas integrales y derivadas como el héroe del cálculo que eres!

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REFERENCIAS

Propiedades de la integral definida. (s. f.). https://www.matematicas10.net/2017/06/propiedades-de-la-integral-definida.html

fundamental del cálculo | Superprof. Material Didáctico - Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/teorema-fundamental-del-calculo.html

Integrales definidas: cálculo, áreas y tabla | StudySmarter. (s. f.). StudySmarter ES. https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/analisis-matematico/integrales-definidas/

Matemáticas, A. (2019, 3 agosto). Integral definida - aprende matemáticas. Aprende Matemáticas. https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/integral-definida/

REFERENCIAS

Strang, G. (2022, 24 marzo). 5.2 La integral definida - Cálculo volumen 1 | OpenStax. https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/5-2-la-integral-definida

Studocu. (s. f.). Notación sumatoria, definición y propiedades - Universidad de San Carlos de Guatemala -USAC- - Studocu. https://www.studocu.com/gt/document/universidad-de-san-carlos-de-guatemala/estadistica-1/notacion-sumatoria-definicion-y-propiedades/8966321

Suma de Riemann - Euclides. (2021, 30 enero). Euclides. https://euclides.org/suma-de-riemann/