Unidad II: Simulación de Variables Aleatorias.

Tecnológico Nacional de México.

Instituto Tecnológico de Agua Prieta.

Simulación.

2.1. Producción de números con comportamiento estadístico aleatorio y uniforme en [0, 1].

Números aleatorios.

Un número aleatorio es aquel obtenido al azar, es decir, que todo número tenga la misma probabilidad de ser elegido y que la elección de uno no dependa de la elección del otro. El ejemplo clásico más utilizado para generarlos es el lanzamiento repetitivo de una moneda o dado ideal no trucado. Los números aleatorios permiten a los modelos matemáticos representar la realidad.

En general cuando se requiere una impredecibilidad en unos determinados datos, se utilizan números aleatorios. Los seres humanos vivimos en un medio aleatorio y nuestro comportamiento lo es también. Si deseamos predecir el comportamiento de un material, de un fenómeno climatológico o de un grupo humano podemos inferir a partir de datos estadísticos. Para lograr una mejor aproximación a la realidad nuestra herramienta predictiva debe funcionar de manera similar: aleatoriamente. .

De esa necesidad surgieron los modelos de simulación. En la vida cotidiana se utilizan números aleatorios en situaciones tan dispares como pueden ser los juegos de azar, en el diseño de la caída de los copos de nieve, en una animación por computadora, en pruebas para localización de errores en chips, en la transmisión de datos desde un satélite o en las finanzas.

Propiedades de los números aleatorios.

Los números deben estar uniformemente distribuidos U:[0, 1], es decir, los números aleatorios pueden estar entre 0 y 1, y en algún momento serán 0 o 1.La media establecida por los números aleatorios debe ser de 0.5. μ= 0.5. La probabilidad de salir un número de forma aleatoria es: 0 ≤ X ≤ 1, debe estar entre 0 y 1.

La desviación estándar de los números aleatorios debe ser de aproximadamente 0.29, es decir, σ = 0.29. Son estadísticamente independientes. Sin repetición dentro de una longitud determinada de la sucesión.

Los números aleatorios debe ser reproducibles, es decir, la misma semilla utilizada para generar los números aleatorios debe dar la misma sucesión. Prueba de poker utilizado como método de independencia estadística en números aleatorios.

La varianza de los números aleatorios debe ser de 1/12. Es impredecible conocer qué valor va a tener cada número aleatorio y cuál va a ser su secuencia.

Generadores de Números Aleatorios.

Se pueden aprovechar de situaciones reales para obtener una tabla de números aleatorios, como la lista de los números de Lotería Nacional premiados a lo largo de su historia, pues se caracterizan por que cada dígito tiene la misma probabilidad de ser elegido, y su elección es independiente de las demás extracciones.

Métodos manuales.

Lanzamiento de monedas, lanzamientos de dados, dispositivos mecánicos, dispositivos electrónicos.

Métodos de computación analógica.

Son métodos que dependen de ciertos procesos físicos aleatorios, por ejemplo, el comportamiento de una corriente eléctrica.

Métodos de computación digital.

Cuando se usa la computadora digital.

Tablas de bibliotecas.

Son números aleatorios que se han publicado; de los cuales podemos encontrar listas en los libros de probabilidad y tablas de matemáticas. Estos números fueron generados por alguno de los métodos de computación analógica.

Los números pseudoaleatorios son números generados en un proceso que parece producir números al azar, pero no lo hace realmente, de aquí el prefijo pseudo que quiere decir falso, ya que su generación parte de algoritmos determinísticos, lo cual nos quiere decir que obtendremos siempre el mismo resultado bajo las mismas condiciones iniciales.

Los números pseudoaleatorios deben poseer ciertas características de las cuales se enlistan las siguientes:

• Facilidad de obtención.

• Ocupar poca memoria.

• Uniformemente distribuidos.

• Estadísticamente independientes (no debe deducirse un número conociendo otros ya generados).

Estas características aseguran y aumentan la confiabilidad de los resultados obtenidos en la simulación del modelo.

• Reproducibles (la misma semilla debe dar la misma sucesión).

• Generados mediante un método rápido.

• Generados mediante un método que no requiera mucha capacidad de almacenamiento de la computadora

• Ciclo repetitivo muy largo.

2.1.1 Uso del generador incluido en la hoja de cálculo.

La mayoría de los métodos de simulación se basan en la posibilidad de generar números pseudoaleatorios que imiten las propiedades de generaciones independientes de una distribución 𝝁(𝟎, 𝟏). El procedimiento habitual para obtener estas secuencias es emplear un algoritmo recursivo denominado generador:

La longitud del ciclo o periodo es la longitud de la secuencia antes de que vuelva a repetirse. Se denominara por 𝒑. Los números de la sucesión serán predecibles, conociendo el algoritmo y la semilla. Sin embargo, si no se conociesen, no se debería poder distinguir una serie de números pseudo aleatorios de una sucesión de números verdaderamente aleatoria (utilizando programas computacionales razonables). En caso contrario esta predicción puede dar lugar a serios problemas. Como regla general, por lo menos mientras está desarrollando un programa, interesa fijar la semilla de aleatorización.

• Permite la reproducibilidad de los resultados.
• Facilita la depuración del código.

Existen diferentes métodos para generar números aleatorios, que si bien sus resultados no pueden ser considerados como números totalmente aleatorios, imitan de manera aceptable el comportamiento estadístico requerido, es decir, que sean números que se comporten bajo una distribución uniforme con valor mínimo de cero y máximo de uno.

Los métodos que se abordarán en este estudio son:

• Algoritmo Congruencial Multiplicativo.

• Algoritmo de Cuadrados Medios.

• Algoritmo Congruencial Aditivo.

• Algoritmo de Productos Medios.

• Algoritmos Congruenciales No Lineales.

• Algoritmo de Multiplicador Constante.

• Algoritmo lineal.

Algoritmo de Cuadrados Medios:

Este algoritmo no congruencial fue propuesto en la década de los cuarenta del siglo XX por Von Neumann y Metrópolis, requiere un número entero detonador (llamado semilla) con “𝑫” dígitos, el cual es elevado al cuadrado para seleccionar del resultado los “𝑫” dígitos del centro. El procedimiento para obtener números pseudoaleatorios bajo este procedimiento es (García Dunna, Eduardo, García Reyes, Heriberto, & Cárdenas Barrón, Leopoldo E., 2013):

Una situación importante a resaltar acerca de este algoritmo es que generalmente es incapaz de generar una secuencia de 𝒓𝒊 con periodo de vida 𝒏 grande, es decir, su periodo 𝒑 es corto, lo que ocasionará que en un número relativamente pequeño de repeticiones de la secuencia entre en periodicidad, es decir, que comience a repetir la secuencia de 𝒓𝒊 números anteriormente generada.

Ejemplo Algoritmo de Cuadrados Medios :

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Algoritmo de productos medios:

La mecánica de generación de números pseudoaleatorios de este algoritmo no congruencial es similar a la del algoritmo de cuadrados medios. La diferencia entre ambos radica en que el algoritmo de productos medios requiere dos semillas, ambas con 𝑫 dígitos; además, en lugar de elevarlas al cuadrado, las semillas se multiplican y del producto se seleccionan los 𝑫 dígitos del centro, los cuales formarán el primer número pseudoaleatorio 𝒓=𝟎.𝑫 dígitos.

Ejemplo Algoritmo de productos medios :

Algoritmo de Multiplicador Constante.

Este algoritmo no congruencial es similar al algoritmo de productos medios. Los siguientes son los pasos necesarios para generar números pseudoaleatorios con el algoritmo de multiplicador constante:

Ejemplo Algoritmo de Multiplicador Constante.

2.1.2. Teoría: métodos congruenciales.

Algoritmo lineal.

Este algoritmo congruencial fue propuesto por D. H. Lehmer en 1951. Según Law y Kelton, no ha sido el más usado. El algoritmo congruencial lineal genera una secuencia de números enteros por medio de la siguiente ecuación recursiva:

𝒙(𝒊+𝟏)=(𝒂𝒙𝒊+𝒄)𝒎𝒐𝒅(𝒎) 𝒊=𝟎,𝟏,𝟐,…,𝒏Donde 𝒙𝟎 es la semilla, 𝒂 es la constante multiplicativa, 𝒄 es una constante aditiva y 𝒎 es el módulo. 𝒙𝟎>𝟎, 𝒂>𝟎, 𝒄>𝟎 𝒚 𝒎>𝟎 deben ser números enteros.

La operación 𝒎𝒐𝒅(𝒎) significa multiplicar 𝒙𝟎 por 𝒂 para sumar 𝒄 y dividir el resultado entre 𝒎 para obtener el residuo 𝒙(𝒊+𝟏). Es importante mencionar que la ecuación recursiva del algoritmo congruencial lineal genera una secuencia de números enteros 𝑺={𝟎,𝟏,𝟐,𝟑,…,𝒎−𝟏}, y que para obtener el número pseudoaleatorio en el intervalo 𝝁(𝟎,𝟏) se requiere la siguiente ecuación:

Ejemplo Algoritmo lineal :

Generar 5 números pseudoaleatorios con los siguientes parámetros: 𝒙𝟎=𝟑𝟕 𝒂=𝟏𝟗 𝒄=𝟑𝟑 𝒎=𝟏𝟎𝟎

𝒙𝟏=(𝒂𝒙𝟎+𝒄)𝒎𝒐𝒅(𝒎)=(𝟏𝟗∗𝟑𝟕+𝟑𝟑)𝒎𝒐𝒅(𝟏𝟎𝟎) 𝒙𝟏=(𝟕𝟎𝟑+𝟑𝟑)𝒎𝒐𝒅(𝟏𝟎𝟎) 𝒙𝟏=(𝟕𝟑𝟔)𝒎𝒐𝒅(𝟏𝟎𝟎) 𝒙𝟏=𝟑𝟔

𝒙𝟐=(𝒂𝒙𝟏+𝒄)𝒎𝒐𝒅(𝒎)=(𝟏𝟗∗𝟑𝟔+𝟑𝟑)𝒎𝒐𝒅(𝟏𝟎𝟎) 𝒙𝟐=(𝟔𝟖𝟒+𝟑𝟑)𝒎𝒐𝒅(𝟏𝟎𝟎) 𝒙𝟐=(𝟕𝟏𝟕)𝒎𝒐𝒅(𝟏𝟎𝟎) 𝒙𝟐=𝟏𝟕

𝒙𝟑=(𝒂𝒙𝟐+𝒄)𝒎𝒐𝒅(𝒎)=(𝟏𝟗∗𝟏𝟕+𝟑𝟑)𝒎𝒐𝒅(𝟏𝟎𝟎) 𝒙𝟑=(𝟑𝟐𝟑+𝟑𝟑)𝒎𝒐𝒅(𝟏𝟎𝟎) 𝒙𝟑=(𝟑𝟓𝟔)𝒎𝒐𝒅(𝟏𝟎𝟎) 𝒙𝟑=𝟓𝟔

𝒙𝟒=(𝒂𝒙𝟑+𝒄)𝒎𝒐𝒅(𝒎)=(𝟏𝟗∗𝟓𝟔+𝟑𝟑)𝒎𝒐𝒅(𝟏𝟎𝟎) 𝒙𝟒=(𝟏,𝟎𝟔𝟒+𝟑𝟑)𝒎𝒐𝒅(𝟏𝟎𝟎) 𝒙𝟒=(𝟏,𝟎𝟗𝟕)𝒎𝒐𝒅(𝟏𝟎𝟎) 𝒙𝟒=𝟗𝟕

𝒙𝟓=(𝒂𝒙𝟒+𝒄)𝒎𝒐𝒅(𝒎)=(𝟏𝟗∗𝟗𝟕+𝟑𝟑)𝒎𝒐𝒅(𝟏𝟎𝟎) 𝒙𝟓=(𝟏,𝟖𝟒𝟑+𝟑𝟑)𝒎𝒐𝒅(𝟏𝟎𝟎) 𝒙𝟓=(𝟏,𝟖𝟕𝟔)𝒎𝒐𝒅(𝟏𝟎𝟎) 𝒙𝟓=𝟕𝟔