ESPONENZIALI E LOGARITMI

LOGARITMI ed ESPONENZIALI

LA STORIA e le APPLICAZIONI NELLA SCIENZA

La matematica è l'alfabeto nel quale Dio ha scritto l'universo

Galileo Galilei

INDICE

LA STORIA DEI LOGARITMI E DEGLI ESPONENZIALI

COSA SONO GLI ESPONENZIALI

COSA SONO I LOGARITMI

L'IMPORTANZA DEI LOGARITMI E DEGLI ESPONENZIALI

L'APPLICAZIONE NELLA SCIENZA

COSA SONO I LOGARITMI

Il LOGARITMO è un operatore matematico indicato generalmente x=log in base a (b).

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COSA SONO GLI ESPONENZIALI

LA STORIA DEI LOGARITMI E DEGLI ESPONENZIALI

Una scoperta che da secoli ha migliorato la nostra esistenza

I BABILONESI

La storia degli esponenziali e dei logaritmi ha origine malti secoli fa. Uno dei primi problemi ritrovati risale all’epoca dei BABILONESI. Riguardo a questo periodo sono state ritrovare varie tavolette. In esse vi erano sia tavole di moltiplicazione, che tavole di inversione, le quali venivano utilizzate per le divisioni.

Su una tavoletta Babilonese (2000 a.C.) appare il seguente problema:

Un capitale di una mina, posto all’interesse del 20% dopo 5 anni raddoppia; se il capitale cos`ı raddoppiato si mette a frutto e dopo 5 anni si reinveste tutto il capitale raddoppiato e cos`ı via..., quale sar`a il capitale accumulato dopo 6 lustri?

Tale problema si potrebbe riscrivere, in notazione moderna, attraverso la seguente espressione:

2 elevato a x con x = numero dei lustri passati

In tal caso sostituendo ad x il valore 6 si riuscirebbe a calcolare tale capitale. Dunque i matematici Babilonesi seppero mettere a confronto progressioni aritmetiche e progressioni geometriche: da tale confronto nascer`a in seguito il concetto di LOGARITMO.

ARISTOTELE

Nell’arco degli anni successivi non vi fu un grande studio degli esponenziali e ancor meno dei logaritmi. L’unica traccia che abbiamo è con ARISTOTELE (278-212), egli riuscì a rappresentare nemeri grandi attraverso l’uso delle potenze di 10.

Nel linguaggio moderno tale propriet`a si tradurrebbe in:

APRIRE QUI

NICOLA ORESME

Nell’opera De proportionibus , composta verso il 1360, ORESME generalizzò la teoria delle proporzioni fino a includere qualsiasi potenza frazionaria razionale e riuscì a formulare regole per la combinazione di proporzioni, che sono equivalenti alle nostre leggi degli esponenti, espresse nella odierna notazione dalle formule:

NEPERO

I logaritmi sono stati effettivamente definiti nel 1600 dallo scozzese Napier (spesso italianizzato, NEPERO), che si occupò dei logaritmi oggi definiti "naturali"

LE TAVOLE LOGARITMICHE

Le TAVOLE LOGARITMICHE sono state unO strumento fondamentale per il calcolo dei logaritmi prima dell’avvento delle calcolatrici scientifiche. Tali tavole sono tutte in base 10. Il motivo di tale scelta è dato dal fatto che la parte decimale dei logaritmi si ripete ogni volta che moltiplichiamo per 10 il numero da cui siamo partiti in questo modo è possibile costruire un’unica tavola invece che tante tavole simili tra loro. Basta aggiustare il valore della parte intera.

APPLICAZIONI NELLA SCIENZA E NELLA VITA REALE

Dalla teoria alla pratica

Applicazioni delle funzioni esponenziali

Applicazioni delle funzioni logaritmiche

Le funzioni esponenziali vengono utilizzate in tutti quei casi in cui una quantità cresce o decresce in maniera esponenziale, per cui possiamo distinguere due casi:

crescita esponenzialE

DECADIMENTO esponenziale

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Esempi di crescita esponenziale

TASSO DI INTERESSE

CRESCITA DELLA POPOLAZIONE

TASSO DI INTERESSE

Nella vita quotidiana, possiamo trovarci facilmente di fronte a un caso come quello dell'esempio seguente.

ESEMPIO

Disegniamo il grafico che rappresenta la variazione annuale del capitale in base al tasso di interesse proposto dalla banca.

CRESCITA DELLA POPOLAZIONE

Le funzioni esponenziali possono essere utilizzate anche per calcolare una rapida crescita della popolazione, se conosciamo la popolazione iniziale , il tasso di crescita k e il numero di anni nei quali vogliamo effettuare il conteggio e che possiamo indicare con t. La funzione può essere scritta come:

ESEMPIO

Esempi di DECADIMENTO esponenziale

DECADIMMENTO RADIOATTIVO (EMIVITA -> MEDICINA)

ARCHEOLOGIA

DECADIMENTO RADIOATTIVO

ESEMPIO

APRI QUI(approfondimento medico)

Disegniamo il grafico che descrive il decadimento radioattivo.

DECADIMENTO RADIOATTIVO

La riduzione del numero di atomi di un elemento radioattivo è descritto dalla formula: dove è il numero di atomi iniziali, è il numero di atomi al tempo t, è il tempo in corrispondenza del quale il numero di atomi si è ridotto alla metà (emivita).

ESEMPIO

ARCHEOLOGIA

L'età di un organismo fossile può essere determinata attraverso il tempo di decadimento del , un isotopo radioattivo del carbonio che si trova nei tessuti degli organismi viventi. Dopo la morte dell'organismo, l'isotopo comincia a decadere in maniera esponenziale: dove t è il tempo di decadimento e A è la quantità iniziale di carbonio nell'organismo.

Applicazioni delle funzioni logaritmiche

Scala Richter

Intensità del suono in decibel

Calcolo del PH

ASTRONOMIA

SCALA RICHTER

La scala Richter viene utilizzata per misurare l'intensità dei terremoti ed è riportata nella tabella seguente:

SCALA RICHTER

La scala Richter è data dalla funzione logaritmica: dove è l'intensità registrata dai sismografi e è l'intensità minima di un terremoto.

ESEMPIO

Intensità del suono in decibel

La sensibilità dell'orecchio ai suoni segue pure una scala logaritmica e il volume del suono G, misurato in decibel, si ottiene dalla seguente formula: dove è l'intensità acustica e è l'intensità acustica della soglia di udibilità dell'orecchio umano, corrispondente ad un suono appena udibile.

ESEMPIO

Intensità del suono in decibel

I valori dei livelli di intensità acustica espressi in dB sono riportati nella tabella sottostante:

Calcolo del PH

In chimica, il pH misura l'acidità o l'alcalinità di una soluzione ed è calcolato come il logaritmo decimale negativo della concentrazione di ioni idronio:

ESEMPIO

ASTRONOMIA

Le masse delle galassie o di una qualsiasi sorgente astrofisica vengono tipicamente riportate come un multiplo della massa del Sole, e spesso se ne usa il logaritmo in base 10. Infatti, esistono galassie con una massa di stelle di 1 milione (10^6) di masse solari e poi galassie molto più grandi e con molte più stelle, fino a valori di mille miliardi di masse solari (10^12). Questi corrispondono a valori dei logaritmi di 6 e 12, rispettivamente, che ci aiutano se volessimo riprodurli in scala (da quella con meno stelle a quella con più stelle) su un foglio di carta.

Una scala logaritmica ti consente di descrivere variazioni grandissime: i numeri da 1 a 1000000000 (1 miliardo) possono essere scritti utilizzando un intervallo numerico molto più semplice e maneggiabile, usando i logaritmi di quelle quantità, e quindi i numeri da 0 a 9 (0 è il logaritmo in base 10 di 1 e 9 è il logaritmo in base 10 di 1 miliardo).

ASTRONOMIA

Alla stessa maniera, se volessimo riprodurre il Sistema Solare in scala su un foglio di carta, ci accorgeremmo che i pianeti terrestri sono tutti concentrati in una regione piccolissima del disegno. Infatti Mercurio e Marte (il più vicino e il quarto per distanza) distano dal Sole di 0.4 e 1.5 volte la distanza Terra – Sole, mentre Plutone si trova a circa 40 volte questa distanza. E’ chiaro che se ne facessimo i logaritmi in base 10 (-0.4, 0.18, 1.6 per Mercurio, Marte e Plutone), la leggibilità del disegno ne guadagnerebbe, perché non avremmo più tutti i pianeti terrestri accalcati sulla sinistra.

"La Natura è un libro scritto in caratteri matematici"

GALILEO GALILEI

A opera di Ludovica Longo IV B

- In Grecia Pitagora (circa 540 a.C.) utilizzò le progressioni nei numeri figurati (numeri interi che possono essere rappresentati mediante uno schema geometrico regolare, nel piano o nello spazio), Euclide (circa 300 a.C.) parlò delle progressioni a proposito dei numeri perfetti (numeri uguali alla somma dei suoi divisori propri, cioè tutti tranne se stesso, 1 incluso. La successione dei numeri perfetti comincia con 1, 6, 28, 496, 8.128).

- Archimede di Siracusa (287-212 a.C.) esamina la “legge degli esponenti” nella sua opera "Arenario", opera molto importante per la storia della matematica e dell’astronomia.

La “legge degli esponenti” si basa sull’osservazione della relazione che esiste tra le progressioni aritmetiche e geometriche; infatti se an=a0.qn e am=a0.qm sono due termini di una progressione geometrica, il loro prodotto occupa la posizione n+m nella progressione, quindi al prodotto tra i due termini an e am corrisponde una somma, ovvero ad una progressione geometrica ne corrisponde una aritmetica. Se, ad esempio, si considerano i primi 10 termini della progressione geometrica di ragione 3 e si riportano in una tabella con a fianco indicato il posto (indice) occupato da ogni termine, si ha:

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MEDICINA LOGARITMICA

Farmacologia (PH e EMIVITA)

L'emivita, o tempo di dimezzamento di un farmaco, è inversamente proporzionale alla sua clearance (La clearance di un organo, in farmacologia, indica il volume virtuale di plasma che quell'organo è in grado di depurare da una certa sostanza "x" nell'unità di tempo. Definita con CL.) e direttamente proporzionale al suo volume di distribuzione (Vd) secondo la formula t_{1/2} = 0,7 \cdot \frac {V_d}{Cl} dove la costante 0,7 è un'approssimazione del logaritmo naturale di 2 (infatti ln (2) = 0,693...). La formula perciò mostra come con l'aumentare del volume di distribuzione si abbia un aumento dell'emivita del farmaco perché il farmaco si trova fuori dal compartimento plasmatico e non è disponibile per l'escrezione o per la metabolizzazione. L'emivita è perciò un parametro fondamentale per la descrizione farmacocinetica di una molecola poiché indica il tempo necessario per il raggiungimento del 50% dello stato stazionario (steady-state), ma da solo può risultare fuorviante se non interpolato con altri valori farmacocinetici. Lo stato stazionario si raggiunge, di solito, dopo 3 o 4 somministrazioni del farmaco fatte a una distanza di tempo l'una dall'altra pari all'emivita del farmaco stesso. Nel caso di farmaci a lunga emivita, per raggiungere più velocemente lo stato stazionario, si è soliti procedere con una prima dose d'attacco più alta seguita dalle normali dosi di mantenimento.