Ln et Exp

Exponentielle et logarithme népérien

Remise à niveau mathématiques

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Exponentielle et Logarithme népérien

Objectifs

Plan :

À la fin de cette séquence, tu seras capable :

• de résoudre une équation ou inéquation comortant une exponentielle

1. La fonction exponentielle

• de réaliser une étude de fonction comportant une exponentielle

2. La fonction logarithme népérien

• de résoudre une équation ou inéquation comortant un logarithme népérien

• de réaliser une étude de fonction comportant un logarithme népérien

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Exponentielle et Logarithme népérien

Plan :

1. La fonction exponentielle

2. La fonction logarithme népérien

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Exponentielle et Logarithme népérien

Activité 1

Le carbone 14 est un isotrop du carbone, présent en infime proportion dans la nature mais de manière constante. Lors de la mort d'un être vivant, les atomes de carbone 14 qu'il contient se désintègre . La vitesse de désintégration ( nombre de désintégration par unité de temps) est proportionnelle à la quantité d'atomes encore présents. On note le coefficient de proportionnalité. Le graphique ci-dessous présente cette désintégration au cours du temps. Les points A, B, C et D sont de coordonnées respectives (20;78,51), (40;61,63), (100;29.82) et (120;23,41)

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Activité 1 (suite)

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Activité 2

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Activité 3

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Exponentielle et Logarithme népérien

Cours

Définition - Propriété :

Il existe une unique fonction f, définie et dérivable sur qui vérifie . Cette fonction est notée exp et appelée fonction exponentielle. On a donc : , et .

Notation :

On conviendra de noter, avec . e est un nombre réel non rationnel tel que .

Propriété :

La fonction exponentielle est :

• strictement positive sur :
• strictement croissante sur :

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Exponentielle et Logarithme népérien

Cours

Exercice

• si et seulement si a = b
• si et seulement si a > b
• si et seulement si
• si et seulement si a < b
• si et seulement si

Propriétés :

Soient a et b deux réels. on a :

Exemples :

Résoudre l'équation Résoudre l'inéquation . .

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Exponentielle et Logarithme népérien

Cours

Exercice

Propriétés :

Pour tous réels x et y et pour tout entier relatif n, on a : , , ,

Exemple :

Remarque :

On aurait pu écrire ces formules avec l'autre notation pour la fonction exponentielle (par exemple : exp(x+y)=exp(x)exp(y)), mais sous la forme utilisée dans les propriétés, elles sont plus faciles à retenir puisqu'elle respectent les mêmes règles de calcul qu'avec les puissances

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Exercices

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Exponentielle et Logarithme népérien

Cours

Propriétés :

• La dérivée de la fonction exponentielle est elle même donc si alors
• La dérivée d'une fonction de la forme avec est
• De manière générale, la dérivée d'une fonction de la forme avec u une fonction dérivable est

Exemple :

La dérivée de la fonction est .

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Exponentielle et Logarithme népérien

Exercice

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Exponentielle et Logarithme népérien

Exercice

Cours

Propriété :

• . On en déduit que
• . On en déduit que

Corollaire : croissance comparée

Pour tout entier naturel n, on a :

Exemple :

On souhaite déterminer : . . Grâce aux propriétés de limites de quotient,

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Exponentielle et Logarithme népérien

Exercice de synthèse

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Plan :

1. La fonction exponentielle

2. La fonction logarithme népérien

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Exponentielle et Logarithme népérien

Activité 4

On cherche à construire des tables numériques à deux colonnes, mettant en correspondance les nombres de manière qu'à la multiplication de deux nombres de la colonne de gauche corresponde l'addition de deux nombres de la colonne de droite. John Napier publie la première table de ce type en 1614 après 40 ans de travail. En voici un extrait :

Voici un exemple illustrant la procédure calculatoire : 2x3=6 et 0.69315+1.09861=1.791756 On vérifie que le nombre qui correspond à 6 placé dans la colonne de gauche est bien 1.791756 dans la colonne de droite.

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Exponentielle et Logarithme népérien

Activité 4 (suite)

Conclusion : On vient de découvrir que la fonction logarithme Népérien définie sur est la solution de l'équation focntionnelle avec . Il en découle la propriété algébrique fondamentale suivante : .

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Exponentielle et Logarithme népérien

Cours

Définition :

On appelle logarithme népérien du réel strictement positif a l'unique solution de l'équation . Le logarithme népérien de a se note ln(a).

Définition :

La fonction logarithme népérien est la fonction f définie sur par .

Propriété :

Pour tout réel a>0, et pour tout réel b>0, on a l'équivalence : Les fonctions ln et exp sont dites réciproques l'une de l'autre. Graphiquement, dans un repère orthonormé, cela signifie que leurs courbes sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère (la droite d'équation y=x).

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Exponentielle et Logarithme népérien

Exercice

Cours

Propriété :

• variation : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur .
• Signe :
• ln s'annule en 1 (autrement dit, )
• sur
• sur

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Exponentielle et Logarithme népérien

Exercice

Cours

Propriétés algébriques de la fonction ln :

Pour tous réels a et b strictement positifs :

• pour tout entier relatif n,

Remarques :

• On retrouve la particularité de l'activité 4, à savoir que cette fonction transforme les produits en sommes.
• les formules se généralisent à un produit de plusieurs facteurs.

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Exercice

Cours

Propriétés :

Pour tout réels a et b strictement positifs,

Remarque :

Dans les faits, pour résoudre des équations exponentielles et logarithmes, on utilisera les équations fonctionnelles :

Exemple :

Résoudre dans l'équation admet une solution .

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Exercice

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Exponentielle et Logarithme népérien

Application et méthode

Exercice

Exemple :

On souhaite résoudre dans l'inéquation :

Méthode :

• On transforme l'inéquation en composant avec le logarithme népérien dans chacun des deux membres (en se rappelant que la fonction ln est strictement croissante
• On utilise une propriété de la fonction ln pour avoir accès à l'inconnue en dehors de l'exposant
• On résout l'inéquation obtenue en veillant à changer le sens des inégalités si l'on divise par un nombre négatif

Résolution :

Dans , l'ensemble des solutions est .

puisque ln(6)>0

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Exponentielle et Logarithme népérien

Cours

Exercice

• La fonction logarithme népérien est dérivable sur

• Si, pour tout x>0, , alors pour tout x>0,
• Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, telle que, pour tout . Alors, la fonction : est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction

Propriétés :

Exemple :

Pour tout . Ainsi, la fonction f définie sur par a pour dérivée la fonction f' définie, pour tout par

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Exponentielle et Logarithme népérien

Cours

et

Propriétés :

Corollaire : croissance comparée

Pour

Exemple :

On souhaite déterminer : . On a donc une forme indéterminée. Par croissance comparée, on a . Comme on a :

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Exercice de synthèse

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Attributions

Nous avons emprunté et modifié un certain nombre de ressources disponibles sous licence créative communs à différents auteurs pour créer ces séquences de remise à niveau. Nous les remercions et leur dédions cette page pour les créditer.