Luoghi geometrici 5BT

Luoghi geometrici

Iniziamo

A cura di:

Romano Antonio Sabato Daniele

Indice

Posizione di una retta rispetto a una parabola

Posizione di una retta rispetto a una ellisse

Cos'è un luogo geometrico?

Asse di un segmento

Fasci di parabole

Iperbole

Posizione di una retta rispetto a un'iperbole

Circonferenza

Bisettrice di un angolo

Posizione di una retta rispetto a una circonferenza

Funzione omografica

Retta

Esempi di problemi di ottimizzazione

Fasci di circonferenze

Fasci di rette

Parabola

Ellisse

Conclusioni

Cos'è un luogo geometrico?

Un luogo geometrico è l'insieme di tutti i punti del piano o dello spazio che godono di una certa proprietà descritta tramite equazioni. In particolare si ha:

• Luogo geometrico del piano, quando si lavora nel piano cartesiano.
• Luogo geometrico dello spazio, quando si lavora in uno spazio tridimensionale.

Qui in alto sono riportate le immagini di un'iperbole equilatera e di un asse di un segmento.

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Asse di un segmento

L'asse di un segmento è la retta passante per il del segmento e perpendicolare ad esso. Gode di queste proprietà:

• È asse di simmetria del segmento.
• Gli assi dei segmenti che definiscono i lati di un triangolo si incontrano in uno stesso punto detto circocentro.
• Gli assi dei segmenti che individuano i lati di un poligono regolare si incontrano in un punto interno ad esso che è il centro della circonferenza inscritta e circoscritta al poligono.

È il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento stesso.

punto medio

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Bisettrice di un angolo

La bisettrice di un angolo è la semiretta con origine nel vertice dell'angolo che lo divide in due angoli congruenti. È il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dai due lati che delimitano l'angolo. Equazioni per trovare la bisettrice:

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Distanza punto-retta

Retta

La retta è un'insieme infinito di punti allineati nel piano o nello spazio. Nel piano cartesiano viene individuata da un'equazione e presenta alcune caratteristiche come:

• Il coefficiente angolare (m), esprime la pendenza della retta rispetto all'asse x.
• L'ordinata all'origine (q), è l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse y.

La sua equazione può essere espressa in due forme. Esplicita: Implicita:

Formule utili per l'equazione della retta.

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Fasci di rette

Consideriamo una retta r del piano:

• L'insieme formato da r e da tutte le rette a essa parallele si chiama di rette parallele a r.

• L'insieme di tutte le rette del piano che passano per uno stesso punto P si chiama di rette per P, dove P è detto centro del fascio.

fascio improprio

fascio proprio

Equazione per fasci generati da due rette

Fascio proprio generato da due rette

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Parabola

Presi nel piano un punto F e una retta d , si chiama parabola la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da F e da d. Il punto F è detto fuoco. La retta d è detta direttrice. La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice è detta , che può coincidere o meno con l'asse y. Il punto in cui la parabola interseca il suo asse è detto vertice, che può coincidere o meno con l'origine. La parabola ha equazione:

asse della parabola

Concavità

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Posizione di una retta rispetto a una parabola

Una retta può assumere quattro possibili posizioni rispetto ad una parabola:

• Secante: la interseca in due punti
• Tangente: un punto di intersezione, gli altri sono esterni alla parabola
• Esterna: nessuna intersezione
• Parallela all'asse della parabola: un punto di intersezione.

Ricordiamo che l'equazione della parabola è: Il dell'equazione risolvente, ottenuta dal sistema con l'equazione della retta e della parabola, determina i punti di intersezione della retta con la parabola:

• Δ>0, secante;
• Δ=0, tangente;
• Δ<0, esterna.

discriminante

Tangenti e formula di sdoppiamento

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Fasci di parabole

Prese le parabole di equazione: si definisce fascio di parabole l'insieme di tutte le parabole di equazione: γ e γ' sono dette parabole generatrici del fascio. I punti in cui le parabole si intersecano sono detti punti base del fascio. Quando k=-1 allora la prabola è detta degenere.

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Circonferenza

Preso nel piano un punto C, detto centro, la circonferenza è la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da C. La distanza tra ognuno dei punti e il centro è detta raggio. L'equazione della circonferenza è: Il centro ha coordinate: Il raggio si calcola con:

Casi particolari

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Posizione di una retta rispetto ad una circonferenza

Indichiamo con d la distanza tra una circonferenza ed una retta r:

• Se d>r, la retta è esterna alla circonferenza.
• Se d=r, la retta è tangente alla circonferenza.
• Se d<r, la retta è secante la circonferenza.

Preso un punto P:

• Se è esterno, le tangenti sono due.
• Se è sulla circonferenza, la tangente è una.

• Se è interno, non ci sono tangenti.

Tangenti e formula di sdoppiamento

Posizione di due circonferenze

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Fasci di circonferenze

Prese due circonferenze, C e C' , l'insieme di infinite circonferenze rappresentate da questa equazione: è detto fascio di circonferenze. Le circonferenze C e C' sono dette generatrici del fascio. Se K=-1, otteniamo l'equazione dell'asse radicale. I punti di intersezione tra C e C' sono detti punti base del fascio.

Quando le circonferenze non sono concetriche, il luogo dei centri delle circonferenze è detto asse centrale.

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Ellisse

Presi nel piano due punti, F1 e F2, l'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che sia costante la somma delle distanze dei punti del piano da F1 e F2. F1 e F2 sono detti dell'ellisse. Il punto medio del segmento F1F2 è detto centro dell'ellisse. La distanza tra F1 e F2 è detta distanza focale e vale . L'equazione canonica è:

fuochi

2c

Vertici e assi

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Posizione di una retta rispetto ad una ellisse

Per studiare la posizione di una retta rispetto ad una ellisse , ottenendo un'equazione di secondo grado detta equazione risolvente. In base al discriminante di questa equazione deduciamo la posizione della retta:

• Δ>0, la retta è secante.
• Δ=0, la retta è tangente.
• Δ<0, la retta è esterna.

Per le rette tangenti vale lo stesso discorso fatto con la circonferenza.

dobbiamo mettere le loro equazioni a sistema

Tangenti e formula di sdoppiamento

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Iperbole

Presi nel piano due punti, F1 e F2, si chiama iperbole il luogo geometrico dei punti del piano che hanno costante la differenza delle distanze da F1 e F2. F1 e F2 sono detti dell'iperbole. Il punto medio del segmento F1F2 è detto centro dell'iperbole. La distanza tra i fuochi è detta distanza focale, che vale . Equazione canonica dell'iperbole: Fuochi sull'asse x Fuochi sull'asse y

fuochi

2c

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Vertici, assi e asintoti

Posizione di una retta rispetto all'iperbole

Lo stesso discorso fatto precedentemente per parabola, circonferenza ed ellisse vale anche per l'iperbole:

Tangenti e formula di sdoppiamento

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Funzione omografica

La funzione omografica è una qualsiasi funzione rappresentata da un'equazione della forma:

con c e d non entrambi nulli

Al variare dei coefficienti la funzione omografica può individuare 3 tipi di luoghi geometrici: 1 CASO: una 2 CASO: una 3 CASO:

retta

retta parallela all'asse delle ascisse

un'iperbole equilatera

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Esempi di problemi di ottimizzazione

1° Esempio con parabola ed iperbole equilatera

2° Esempio con circonferenza

Grazie dell'attenzione

Fonti: Libro Matematica.blu 3

https://www.youmath.it/

Indice

Equazioni degli asintoti:

Se gli asintoti coincidono con gli assi cartesiani allora si parla di iperbole equilatera

Equazione iperbole equilatera: xy=k

2 CASO: se c≠0 e ad = bc

con x≠-d/c

allora

ricaviamo y = a/c, cioe' una retta parallela all'asse delle ascisse

Fuochi sull'asse x:

Fuochi sull'asse y:

Introduciamo anche l'eccentricità, ovvero il rapporto tra la distanza focale e l'asse maggiore:

Ricorda: le rette di un fascio improprio hanno tutte lo stesso coefficiente angolare (m) essendo parallele, ciò che cambia è l'ordinata all'origine (q)

Asse della parabola parallelo all'asse x

Asse della parabola parallelo all'asse y

3 CASO: c ≠ 0 e ad≠bc

Le equazioni degli asintoti sono: x=-d/c y=a/c; Il centro di simmetria ha coordinate: C(-d/c ; a/c). È un'iperbole equilatera traslata.

m=-a/b q=-c/b

Fuochi sull'asse x:

Fuochi sull'asse y:

Introduciamo anche l'eccentricità, ovvero il rapporto tra la distanza focale e l'asse trasverso:

Equazione di una retta passante per un punto e di coefficiente angolare noto:

Coefficiente angolare, note le coordinate di due punti:

Retta passante per due punti:

Con l'equazione:

al variare di m si ottengono tutte le equazioni del fascio di centro P, tranne la parallela all'asse y, di equazione x=x1.Quindi, il fascio di rette completo è descritto dalle equazioni:

Ricorda:

1 CASO: c = 0 e ad≠bc

Ricorda:

• Se a>b, i fuochi sono sull'asse x.
• Se b>a, i fuochi sono sull'asse y.

b2 -4ac

Ricorda: a<c

Ricorda: questo procedimento va applicato anche nel caso della parabola, circonferenza e iperbole.

r: ax + by + c=0 s: a'x +b'y + c'=0

Preso un punto P(x0 ; y0) e una retta r: ax+by+c=0, la distanza d tra essi si calcola così:

Posizione delle possibili tangenti

Formula di sdoppiamento:

Asse parallelo o coincidente con l'asse y:

Quando l'asse della parabola è parallelo o coincidente con l'asse x:

• a>0, concavità verso destra;
• a<0, concavità verso sinistra.

La retta passante per i/il punto/i di intersezione delle circonferenze è detta asse radicale, di equazione: