Teorema de Pitágoras

Teorema de pitágoras

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Teorema de Pitágoras

História

qual é??

Demonstração

Exercício

Aplicação no dia a dia

Terno Pitagórico

Exemplos

Teorema recíproco

Exemplo

problema

História do teorema de pitágoras

• O Teorema de Pitágoras foi feito por Pitágoras, que era um filósofo e matemático grego.

• Pitágoras nasceu a cerca de 570 a.C e morreu a 500 a.C. Foi responsável por grandes desenvolvimentos na matemática, astronomia e na teoria da música.

• A invenção do teorema de pitágoras tem várias lendas e mitos, mas a história que se acredita é que Pitágoras, enquanto visitava o Egito, estaria a deslumbrado com as pirâmides e desenvolveu o Teorema de Pitágoras.

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Qual é o Teorema de Pitágoras?

• Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados de cada um dos catetos.

We don’t like to bore. We don’t want to be repetitive.

Legenda:

• C ⇨ hipotenusa
• A ⇨ cateto
• B ⇨ cateto

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Demonstração do Teorema de Pitágoras

We don’t like to bore. We don’t want to be repetitive.

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exercício aplicando Teorema de Pitágoras

• Calcula o valor da hipotenusa no triângulo retângulo a seguir:

Resolução:

⇨ x² = b² + c² x² = 7² + 24² x² = 49 + 576 x² = 625 x = √625 x = 25 cm

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Aplicação do teorema de Pitágoras no dia a dia

• O Teorema de Pitágoras é, muitas vezes, preciso para resolver problemas do dia a dia.

Exemplo:

• Um motorista de um camião de entrega de eletrodomésticos precisa saber qual é a distância entre as cidades A e B, pois dependendo da distância precisa de pôr gasolina, para não ter surpresas desagradáveis na viagem: falta de combustível ou atraso na entrega.
• De acordo com a imagem seguinte, qual é a distância entre a cidade A e B?

resolução:

Resposta:

d²= 60² + 80² d² = 3600 + 6400 d²= 1000 d= √1000 d= 100 km

• A distância entre a cidade A e B é de 100 km.

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Ternos Pitagóricos

• Um Terno Pitagórico é um conjunto formado por três números naturais, ou seja, os três números formam o comprimento dos lados de um triângulo retângulo.

por exemplo:

Os valores de a, b e c são 3 , 4 e 5 , sendo este o o lado maior

We don’t like to bore. We don’t want to be repetitive.

c² = a²+ b² 5² = 4²+ 3² 25 = 16 + 9 25 = 25

• Logo 3,4 e 5 é um terno pitagórico pois confirma a igualdade do Teorema de Pitágoras, ou seja, existe um triângulo retângulo formado com as medidas de a, b e c.

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Exemplos de Ternos Pitágoricos

We don’t like to bore. We don’t want to berepetitive.

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Teorema Recíproco do Teorema de Pitágoras

• Enquanto o Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados de cada um dos catetos, o Teorema Recíproco parte do princípio de que essa relação é verdadeira e conclui que o triângulo é retângulo.

• O Teorema Recíproco é dito da seguinte forma:

Se em um triângulo qualquer, a soma dos quadrados dos dois catetos for igual ao quadrado da hipotenusa, então esse triângulo é retângulo.

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como saber se um triângulo é retângulo - exemplos

• Considerando como exemplos:

1 : um triângulo X cujas medidas são 25, 24 e 7 e outro Y com 15, 8 e 10, 2 : um triângulo Z cujas medidas são 20, 5 e 7 e outro S com 13, 12 e 5.

• Como sabemos se algum é triângulo retângulo? E qual é?

• Temos que aplicar o Teorema Recíproco do Teorema de Pitágoras e verificar se o mesmo é uma equação verdadeira.

• Então, aplicando o mesmo vem:

We don’t like to bore. We don’t want to be repetitive.

Exemplo 1 :

Y ⇨ c = 15 ; a = 8 e b = 10 152 = 82 + 102 <=> <=> 225 = 64 + 100 <=> <=> 225 = 164 ⇨ 225 ≠ 164 ⇨ NÃO CONFIRMA

X ⇨ c = 25 ; a = 24 e b = 7 252 = 242 + 72 <=> <=> 625 = 576 + 49 <=> <=> 625 = 625 ⇨ CONFIRMA

Exemplo 2 :

c2 = a2 + b2

We don’t like to bore. We don’t want to be repetitive.

Z ⇨ c = 20 ; a = 5 e b = 7 202 = 52 + 72 <=> <=> 400 = 25 + 49 <=> <=> 400 = 74 ⇨ 400 ≠ 74 ⇨ NÃO CONFIRMA

S ⇨ c = 13 ; a = 12 e b = 5 132 = 122 + 52 <=> <=>169 = 144 + 25 <=> <=> 169 = 169 ⇨ CONFIRMA

Da aplicação do Teorema Recíproco do Teorema de Pitágoras nos triângulos X /Y e Z / S, conclui-se que X e S são os triângulos retângulos.

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Problema: Calcular a diagonal do paralelepípedo

• Dada a imagem seguinte, calcula o valor da diagonal D do paralelepídedo.

resolução:

We don’t like to bore. We don’t want to be repetitive.

• Da figura retiram-se os seguintes valores :

a = 7 cm b = 6 cm c = 6 cm

• Para calcular a diagonal (D) usa-se o Teorema de Pitágoras, pois a diagonal forma um triângulo retângulo junto com as arestas do paralelepípedo.

• Para se calcular a D , é a necessário saber o valor de d (diagonal da base).

d2 = a2 + b2 <=> <=> d2 = 72 + 62 <=> <=> d2 = 49 + 36 <=> <=> d2 = 85 <=> <=> d = √85 <=> <=> d = 9,22 cm

• Aplicando o Teorema de Pitágoras vem:

D2 = d2 + c2

We don’t like to bore. We don’t want to be repetitive.

D2 = 9,222 + 62 <=> <=> D2 = 85 + 36 <=> <=> D2 = 121 <=> <=> D = √121 <=> <=> d = 11 cm

R :

O valor da diagonal D é 11 cm.

Fontes Utilizadas:

• https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

• https://prezi.com/p/zqjnkbxfzq49/pitagoras/

• https://matika.com.br/cubo-e-paralelepipedo/diagonal-do-paralelepipedo

• Caderno diário

• Manual do Aluno

Fim!!

Trabalho realizado por : Ana Branquinho nº1 8ºA