Límites

Cálculo de Límites

Empezar

Análisis matemático - I

Consejos

Antes de empezar con el tema repasa del curso anterior

Concepto de función.

Operaciones con funciones, composición y función inversa.

Características de las funciones: Dominio, recorrido, cortes con los ejes

Asíntotas, simetrías, monotonía, extremos, curvatura, puntos de inflexión y periodicidad.

Funciones elementales. Características gráficas de las mismas.

Funciones reales de variable real

Función real de variable real es una aplicación que transforma números reales en números reales. Se suelen representar por y = f(x) A x se la llama variable independiente. Cuando se representa se hace en el eje horizontal,el eje de abscisas,o eje OX.La y es la variable dependiente. Se representa en el eje vertical o de ordenadas, el eje OY.Ambas variables son números reales. Al conjunto original (valores de x), se le llama campo de existencia o dominio (si no se especifica es el mayor posible, los valores de x para los que la función tiene sentido). Ser aplicación exige que todo elemento tenga una imagen y sólo una.

Ejemplo

Consideremos la función y = f(x) = x2. Mediante una tabla de valores, construimos la gráfica de esta función, que es una parábola con vértice en el origen de coordenadas. Nos hacemos la siguiente pregunta: “Si x se aproxima a 0, ¿a qué valor se aproxima la función?” Fijándonos en la gráfica, podemos responder a la pregunta. Aproximándonos a 0 por la izquierda, la función se aproxima a 0.

Diremos entonces que el límite lateral por la izquierda de la función cuandox tiende a 0 es 0. Simbólicamente, se escribe

Ejemplo

Aproximándonos a 0 por la derecha, la función se aproxima a 0.

Diremos entonces que el límite lateral por la derecha de la función cuando x tiende a 0 es 0. Simbólicamente, se escribe

Observa que al aproximarse x a 0, tanto por la derecha como por la izquierda, los valores correspondientes de la función se aproximan a 0.Por tanto, el 0 se llama límite de la función f(x) en x = 0. Se denota:

Hemos de tener en cuenta que la definición de límite no depende del valor de la función en x = a , es decir, no tiene porqué cumplirse que f (x) = l , de hecho, ni siquiera tiene que estar definida la función en x = a . La idea de límite analiza lo que ocurre con las imágenes cuando nos acercamos, sin llegar a alcanzar (en principio) el valor x = a . En determinadas funciones, como por ejemplo las definidas a trozos, los valores que toma alrededor de un punto, dependen si nos acercamos por la izquierda o por la derecha y el comportamiento puede ser muy distinto en ambas direcciones. Por ello, además de las definiciones de límite, conviene llevar a cabo definiciones que tengan en cuenta dicha circunstancia. Nos referimos a las definiciones de límites laterales que vamos ver a continuación

Ejemplo

Operaciones con límites

Infinitésimos equivalentes

Operaciones con 0 e infinito

Operaciones con 0 e infinito

Orden de infinitud

Cómo resolvemos algunas indeterminaciones

𝒌/𝟎 Funciones racionales (Son asíntotas verticales) Estudiamos los límites laterales El resultado es siempre ±∞. Si coinciden el límite es ±∞. Si no coinciden diremos que la función no tiene límite. El signo depende de los signos que adopten numerador y denominador

Cómo resolvemos algunas indeterminaciones

∞/∞ x->±∞ Dividimos los polinomios por la x de mayor grado O

• Si el numerador tiene mayor grado que el denominador, entonces el límite será o . El signo del límite será el mismo signo que tiene la división de los coeficientes de mayor grado.
• Si el grado del denominador es mayor al grado del numerador, entonces el límite siempre será 0.
• Si el numerador y denominador tienen el mismo grado, entonces el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado

Diagnóstico // Test

∞−∞ Irracionales x->±∞

• Si los coeficientes del término principal son distintos, el límite valdrá +∞ ó − ∞

• Si los coeficientes del término principa son iguales, se multiplica y divide la expresión por su conjugado.

• Se opera, se simplifica y se vuelve a aplicar el límite.

• Operamos las funciones hasta obtener una única fracción. Volvemos a aplicar el límite.

Cómo resolvemos algunas indeterminaciones

∞/∞ Dividimos los polinomios por la x de mayor grado O

• Si el numerador tiene mayor grado que el denominador, entonces el límite será o . El signo del límite será el mismo signo que tiene la división de los coeficientes de mayor grado.
• Si el grado del denominador es mayor al grado del numerador, entonces el límite siempre será 0.
• Si el numerador y denominador tienen el mismo grado, entonces el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado

Cómo resolvemos algunas indeterminaciones

0/0

• Si no hay radicales. Factorizamos numerador y denominador, simplificamos y volvemos a aplicar el límite.

• Si hay radicales. Multiplicamos y dividimos por el conjugado.

Cómo resolvemos algunas indeterminaciones

0·∞

Los transformamos en un límite del tipo 0/0 o ∞/∞Operar y simplificar

Cómo resolvemos algunas indeterminaciones

Aplicamos la siguiente fórmula: O transformamos el límite en uno que tenga la forma

Asíntotas

El estudio de las asíntotas de una función, que abordaremos a continuación, está íntimamente relacionado tanto con el concepto de límite como con la representación gráfica de funciones. Se trata de un aspecto fundamental a la hora de representar funciones y analizar su comportamiento por lo que habrá que prestarle especial atención. Veamos su definición y cálculo.

Definición

Llamamos asíntota de una función a toda recta vertical, horizontal u oblicua a la que se acerca indefinidamente la gráfica de la función para puntos indefinidamente alejados del origen de coordenadas.

A. vertical

A. horizontal

A. Oblicua

f (x) tiene una asíntota vertical en x = a cuando alguno de sus límites laterales en x = a es infinito, es decir, cuando

f (x) tiene una asíntota oblicua en y = mx + n cuando:

f (x) tiene una asíntota horizontal en y = b cuando alguno de sus límites en el infinito es finito, es decir, cuando

Observaciones

• · Una función puede tener infinitas asíntotas verticales y el acercamiento a ellas puede ser por la izquierda, por la derecha o por ambas direcciones. Además, los puntos en los que se encuentran las asíntotas suelen ser valores en los que no está definida la función.

• · Una función puede tener, como máximo dos asíntotas entre horizontales y oblicuas.

• No puede haber simultáneamente asíntotas horizontales y oblicuas en +∞ ni en -∞. Lo que sí puede darse es que haya una horizontal en un lado y una oblicua en otro. Es decir, sí puede haber simultáneamente horizontal y oblicua pero no en el mismo lado.

Observaciones

En el caso de funciones racionales

• Presentan asíntotas verticales en las raíces del denominador (salvo cuando dicha raíz lo es también del numerador).

• Presentan asíntotas horizontales cuando el grado del numerador es menor o igual que el del denominador.

• Presentan asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador es una unidad más que el del denominador.