CI_U2_L10_Infografía interactiva

Aplicaciones de la integral definida

Cálculo de la derivada

La integral indefinida es un concepto en cálculo que se utiliza para encontrar una familia de funciones cuyas derivadas son iguales a una función dada.

La notación de la integral indefinida es:

ƒ (x)

dx

El resultado de esta operación es una familia ƒ (x), llamadas antiderivadas o primitivas de ƒ (x), y se denota como:

F (x)

+ C

Reglas de integración básicas

En otro aspecto, existen reglas específicas para integrar una función. Algunas de estas reglas incluyen:

2. Regla de linealidad

1. Integral de potencias

4. Integral de la exponencial

3. Integral del logaritmo natural

Técnicas de integración

Por otra parte, al no tener métodos completamente efectivos dentro del cálculo integral, se han desarrollado técnicas de integración, y entre las más útiles se encuentran:

Función implícita

Función explícita

Integral definida

A diferencia de la integral indefinida, queda como resultado una función, la integral definida proporciona un número real y representa el área acumulada entre una función y el eje x de un intervalo específico.

Notación de la integral definida:

¿Qué representa la integral definida?

¿Para qué sirve la integral definida?

dx

ab

ƒ (x)

Por otra parte el proceso de cálculo de la integral definida implica encontrar una función anti derivada de F (x) y luego evaluar la de los límites de integración. Matemáticamente esto se expresa como:

ƒ (x) dx

F (b)- F(a)

Propiedades de la integral definida

Las propiedades de la integral definida son las siguientes:

[c ·ƒ(x)+d· g(x)]dx = c

ƒ(x)dx+d

g(x)dx

Linealidad

Si ƒ (x) es una finción par

ƒ(x)dx=-

ƒ(x)dx

Simetría

Aditividad

ƒ (x)dx+

ƒ(x)dx=

ƒ(x)dx

En consecuencia, la integral definida es esencial en diversas disciplinas como física, ingeniería, economía y muchas otras, ya que permite modelar y analizar situaciones que involucran acumulación y cambio. Su comprensión profunda es crucial para desarrollar habilidades en cálculo y para aplicar conceptos matemáticos en contextos prácticos.

Aplicaciones

A continuación, te invito a que escuches el siguiente podcast para que conozcas algunas de las aplicaciones de las integrales definidas.

Audio / Podcast

Autor: Saulo Isaac Gasca García Título: ¿Cuáles son las aplicaciones de la integral definida?

Ejemplos de aplicación

Ahora, revisa algunos ejemplos de las aplicaciones:

ƒ(x)=

s (t)=t3

a = 0

b = 6

b = 4

a = 0,

Función explícita

Función explícita

ƒ(x)=2x[N ]

a = 1

b = 3

W=?[J]

ƒ(x)=X2

a= 0,

b = 2

Función explícita

Función explícita

Por último, te invito a que experimentes en una calculadora gráfica como Desmos o GeoGebra (ambas tienen una versión en línea) la representación gráfica de los ejemplos, modificando los intervalos y/o la función original.

Morales Téllez, F., Colín Uribe, M. P. e Islas Salomón, C. A. (2019). Cálculo integral (4ª ed.). Grupo Editorial Éxodo. Disponible en la base de datos elibrocatedra. Salazar Guerrero, L. J. y Bahena Román, H. (2017). Cálculo integral parabachilleratos tecnológicos. Grupo Editorial Patria. Disponible en la base de datos elibrocatedra.

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dx: indica sobre qué variable se está realizando la integración.

F (x): Es una antiderivada de ƒ(x). El proceso de encontrar la antiderivada de una función implica revertir el proceso de derivación. Dado que hay muchas funciones cuya derivada es la misma función ƒ (x) la integral indefinida representa una familia de soluciones. En otras palabras hay infinitas funciones F(x) + C que tienen la misma derivada ƒ (x).

:Representa el proceso de integración donde a y b son los límites de integración.

ƒ (x): Es la función que se está integrando.

Aditividad

La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales definidas de esas funciones. Esta propiedad permite dividir una integral definida de una suma en dos integrales definidas separadas, facilitando el proceso de evaluación. Gráficamente es dividir en secciones el área a calcular, tal y como se ve en la imagen.

Figura 4. Gráfica secciones del área.

∫: La noración ∫ representa el proceso de integración.

¿Para qué sirve la integral definida?

Este proceso es esencial para entender problemas de acumulación, como la distancia recorrida por un objeto en movimiento, la cantidad total de un fluido que pasa a través de un conducto o la acumulación de cantidades variables en el tiempo.

ƒ (x): Es la función que se está integrando.

F(b) - F (a): Donde F(x) es una antiderivada de ƒ(X), F(b) es la antiderivada evaluada en b y F (a) es evaluada en a. Este teorema fundamental del cálculo conecta la integral definida con la integral indefinida y proporciona una herramienta poderosa para calcular áreas y resolver problemas de acumulación.

¿Qué representa la integral definida?

El resultado de la integral definida representa el área bajo la curva de ƒ(x) de entre los límites a y b. Este valor puedes interpretarse como la acumulación neta de la función ƒ(x) en este intervalo. En la imagen se observa el área bajo la curva FX = 2 + x2/4, desde a = -4 hasta b= 5

Figura 1. Gráfica de área bajo la curva.

+C: es una constante de integración. Es importante tener en cuenta que, al calcular la integral indefinida la constante de integración +C incluye porque la derivada de cualquier constante es cero.

Linealidad

La integral definida es lineal respecto a la función que se está integrando y respecto a la constante por la cual se multiplica esa función. Esta propiedad permite separar una integral combinada de dos funciones o constantes multiplicadas por funciones en dos integrales separadas, cada una de las cuales se evalúa de manera independiente.

Probabilidad en una distribución de probabilidad continua

Tenemos una función de densidad de población F(x)= 1/4 para x en el intervalo [0,4]. Para calcular la probabilidad de que x estén en el intervalo [1,3], utilizamos la integral definida: Cálculo para la integral definida: Por lo tanto la probabilidad de que x esté en el intervalo 1,3 es de 1/2.

P ([1,3])= 1 dx

[ ]

P ([1,3])= 1 dx= = (3-1)=

Gráfica 7. Gráfica probabilidad en una distribución de probabilidad continua.

Pulsa aquí para descargar la versión estenográfica

Posición en la función del tiempo

Considera que la posición de un objeto en una función de tiempo está dada por s(t)=t3 en el intervalo de tiempo [0,6]. Para calcular la distancia total recorrida utilizamos la integral definida: distancia = Cálculo de la integral definida: Distancia = Por lo tanto la distancia recorrida es de 324 unidades (metros).

t3dt

t3dt= t4 = 1 (64-03)=1296 = 324

[ ]

Gráfica 5. Gráfica posición en función del tiempo.

dx: indica sobre qué variable se está realizando la integración.

Trabajo realizado

Imagina que una fuerza variable varía en función de la posición F(x)=2x, actúa sobre un objeto en línea recta desde x1 = 1 hasta x 2 =3, para calcular el trabajo realizado al mover el objeto de x1 a x2, utilizamos la integral definida: Cálculo de la integral definida: Por lo tanto, el trabajo realizado es un 8 unidades de trabajo (si la unidad de fuerza está dada en newtons, y la de distancia en metros, las unidades de trabajo serán Joules.)

W = 2x dx

W = 2x dx

= [x] = 32 -12 =9-1=8

ƒ(x)=2x[N ]

a = 1

b = 3

W=?[J]

W=?[J]

Gráfica 6. Gráfica trabajo realizado.

Simetría

La integral definida de una función sobre un intervalo simétrico es cero si la función es impar. Para funciones impares, la simetría en relación con el eje vertical central del intervalo resulta en una cancelación de áreas positivas y negativas, haciendo que la integral definida sea cero.

Figura 2. Gráfica izquierda línea roja.

Figura 3. Gráfica derecha línea azul

Recuerda que una función impar (gráfica izquierda, línea roja) tiene una simetría rotacional de 180° respecto al origen, y una función par (gráfica derecha, línea azul) es simétrica respecto al eje de las ordenadas.

Cálculo de área bajo la curva

La función en el intervalo actúa sobre un objeto [0,2] para calcular el área bajo la curva y=x2, utilizamos la integral definida: Cálculo de la integral definida: Por lo tanto el área bajo la curva es de ocho tres unidades cuadradas.

Áerea= x2 dx

[ ]

x3

Áerea= x2 dx

= = (23-03)=

ƒ(x)=X2

a= 0,

b = 2

Gráfica 8. Gráfica cálculo de área bajo la curva.