Infografía de límites en álgebra

Álgebra II v1

Límite de una función

Definición: es el límite de una función f(x), a medida que x se aproxima a un valor a, indicado como lim⁡ x→a f(x), es el valor al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a.

1. Límite de una función
2. Teorema de los límites
3. Continuidad de funciones

Ejemplo

Teoremas de los limites

Procedimiento para calcular límites

Lo primero que hacemos para calcular el límite de f en el punto x 0 es comprobar si se puede calcular f ( x 0 ).

Límites unilaterales

Límites bilaterales

Es decir, en este caso sólo hay que cambiar las x por x 0.Por ejemplo,

Límites al infinito

Es importante comprobar que la función está escrita en su mínima expresión. Por ejemplo, el siguiente límite parece indeterminado porque no se puede dividir 0 entre 0:

Límites infinitos

Sin embargo, podemos simplificar la función:

Continuidad de funciones

De este modo, el límite es muy fácil de calcular:

Una función es continua en un punto si su límite y su valor en ese punto son iguales. Ademas, debe cumplir con las siguientes condiciones: 1. La función existe en a. 2. Existe límite de f(x) cuando x tiende a a. 3. El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:

Referencias

+ GrÁfica

Fernández, José. (31 de enero de 2019). Límite de una función en un punto. Fisica Lab. https://www.fisicalab.com/apartado/concepto-limite-funcion.

Sus propiedades:

Función matemática. (13 de febrero de 2023). Función continua y descontinua. Función matemática. https://funcionmatematica.com/continua-y-discontinua/.

-El cociente de dos funciones continuas en un intervalo dado es otra función continua para todos los valores del argumento que no anulen el denominador. -Las funciones polinómicas son continuas en cada punto de su dominio que es .

Matemáticas Profe Alex. 30 de octubre de 2017. Límite de una función en un punto. Matemáticas Profe Alex. Youtube.

-La suma y producto de un numero finito de funciones continuas, es otra función continua en el mismo intervalo de estudio.

Limítes infinitos

Cuando el valor de una función crece sin límite o decrece sin límite a medida que la variable independiente se aproxima a un cierto valor.Su expresión es: lim x→a f(x) = ∞ o lim x→a f(x) = -∞, donde a es el valor al que x se aproxima. Ejemplo con la función f(x) = 1/X² El límite de f(x) cuando x se aproxima a 0 desde cualquier dirección ( tanto desde la izquierda como desde la derecha) es infinito. lim x→0 1/x² = ∞.

El límite bilateral de una función en un punto x=a es aquel que tiene el mismo valor cuando x se aproxima a a tanto desde la izquierda como desde la derecha. Para que exista un límite bilateral en x=a, la función debe a acercarse a un mismo número L por ambos lados.

Cuando la variable independiente se aproxima al infinito, denotado como lim x → ∞ f(x) o lim x → ∞ f(x), describe el comportamiento de la funció a medida que x se hace muy grande o muy pequeño.Por ejemplo con la función f(x) = 1/x. A medida que x se aproxima a +∞ (hacia la derecha en el eje x), la función f(x) se acerca a 0. De la misma manera, cuando x se aproxima a -∞ (hacia la izquierda en el eje x).

Límites al infinito

El límite bilateral de una función en un punto x=a es aquel que tiene el mismo valor cuando x se aproxima a a tanto desde la izquierda como desde la derecha. Para que exista un límite bilateral en x=a, la función debe a acercarse a un mismo número L por ambos lados.

Simplificación de función La evaluación directa produce una forma indeterminada como 0/0. Se simplifica la función para resolver el límite. Se muestra un límite donde x tiende a 1 para la función, después de simplificar x-1 facilitaría el cálculo del límite.

Un límite unilateral se puede evaluar ya sea desde la izquierda o desde la derecha. Dado que la izquierda y la derecha no son direcciones absolutas, una forma más precisa de pensar la dirección es “desde el lado negativo” o “desde el lado positivo”. Su anotación:

Este paso es una demostración de una evaluación directa, indica que el primer paso en el cálculo de límites es intentar sustituir el valor de x en la función directamente. Si esto es posible y la función está definida entonces el límite es simplemente el valor de la función en ese punto y concluye correctamente en 0.

Un límite unilateral se puede evaluar ya sea desde la izquierda o desde la derecha. Dado que la izquierda y la derecha no son direcciones absolutas, una forma más precisa de pensar la dirección es “desde el lado negativo” o “desde el lado positivo”. Su anotación:

Limítes infinitos

Cuando el valor de una función crece sin límite o decrece sin límite a medida que la variable independiente se aproxima a un cierto valor.Su expresión es: lim x→a f(x) = ∞ o lim x→a f(x) = -∞, donde a es el valor al que x se aproxima. Ejemplo con la función f(x) = 1/X² El límite de f(x) cuando x se aproxima a 0 desde cualquier dirección ( tanto desde la izquierda como desde la derecha) es infinito. lim x→0 1/x² = ∞.

Cuando la variable independiente se aproxima al infinito, denotado como lim x → ∞ f(x) o lim x → ∞ f(x), describe el comportamiento de la funció a medida que x se hace muy grande o muy pequeño.Por ejemplo con la función f(x) = 1/x. A medida que x se aproxima a +∞ (hacia la derecha en el eje x), la función f(x) se acerca a 0. De la misma manera, cuando x se aproxima a -∞ (hacia la izquierda en el eje x).

Límites al infinito