Studio della funzione

STUDIO DI FUNZIONE

1. Dominio della funzione

2. Studio di parità e disparità

5. Studio dei limiti agli estremi della funzione

Pagina iniziale

DOMINIO DELLA FUNZIONE

Il dominio di una funzione f(x) è l'insieme dei valori di x per i quali la funzione è definita.

Per determinare il dominio di una funzione basta individuare in quali punti o intervalli la funzione non è definita.

In pratica, dobbiamo determinare le condizioni di esistenza per qualsiasi termine per cui è necessario (clicca sui pulsanti qui sotto per avere più spiegazioni per ogni caso) :

• esponenziale con base variabile: base maggiore di 0

• rapporti: il denominatore dovrà essere diverso da 0

• radici con indici pari: radicando maggiore o uguale a 0

• arcoseno/arcocoseno: argomento compreso tra -1 e 1

• logaritmi: se la base è un numero, l'argomento deve essere maggiore di 0; se la base dipende dall'incognita, la base deve essere maggiore di 0 e diversa da 1

Pagina iniziale

Quando avremo trovato tutte le condizioni di esistenza richieste dai termini di f(x), le dovremo combinare. Avremo così trovato il dominio della funzione f(x). Guarda il video qua sotto per vedere un esempio.

Pagina iniziale

Mettiti alla prova

Trova:

Pagina iniziale

Mettiti alla prova

Trova:

Pagina iniziale

Mettiti alla prova

Trova:

Pagina iniziale

Mettiti alla prova

Trova:

Pagina iniziale

STUDIO di PARITà e disparità

Lo studio della parità e della disparità di una funzione è una parte importante dell'analisi matematica. Queste proprietà possono essere utilizzate per determinare il comportamento di una funzione e per risolvere problemi di equazioni e disequazioni.

Una funzione è dispari se f(-x) = -f(x) per ogni valore di x nel suo dominio. In altre parole, una funzione è dispari se il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.

Una funzione è pari se f(-x) = f(x) per ogni valore di x nel suo dominio. In altre parole, una funzione è pari se il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y.

f(x)=x2

f(x)=x3

Pagina iniziale

Per determinare se una funzione è pari o dispari, possiamo utilizzare i seguenti test:

Se f(-x) = f(x), allora la funzione è pari.

Test di sostituzione: Sostituiamo "x" con "-x" nella definizione della funzione.

Se f(-x) = -f(x), allora la funzione è dispari.

Test di esponente: Se la funzione è della forma f(x) = ax^n, dove n è un numero intero, allora la funzione è pari se n è pari e dispari se n è dispari.

Pagina iniziale

STUDIO dEI LIMITI

Lo studio dei limiti agli estremi della funzione consente di determinare il comportamento di una funzione in prossimità dei suoi estremi, sia che si tratti di estremi del dominio, sia che si tratti di asintoti.

Per estremi del dominio di una funzione si intendono i valori di x che non appartengono al dominio della funzione.

Il comportamento di una funzione agli estremi del dominio può essere determinato valutando la funzione in quei punti.

CASO 1

CASO 2

Se la funzione è definita in un estremo del dominio, allora il limite della funzione in quel punto è uguale al valore della funzione in quel punto.

Se la funzione non è definita in un estremo del dominio, allora il limite della funzione in quel punto può essere infinito, finito o non esistere.

Pagina iniziale

STUDIO dEI LIMITI - CASO 1

Come già scritto, se la funzione è definita in un estremo del dominio, allora il limite della funzione in quel punto è uguale al valore della funzione in quel punto. Consideriamo la funzione:

Il dominio di f(x) è:

L'estremo del dominio "-2" è incluso. In tal caso possiamo limitarci a valutare il valore della funzione per x=-2.

(-2 ; 0)

Il punto (-2 ; f(-2)), ovvero (-2 ; 0), appartiene al grafico della funzione.

Pagina iniziale

STUDIO dEI LIMITI - CASO 2

Come già scritto, se la funzione non è definita in un estremo del dominio, allora il limite della funzione in quel punto può essere infinito, finito o non esistere. Consideriamo nuovamente la funzione:

Il dominio di f(x) è:

L'estremo del dominio "-∞" è escluso. Non potendo valutare la funzione in quel punto, devo valutare il comportamento della stessa funzione in prossimità di x=-∞, ovvero nel suo intorno.

Per farlo, uso il seguente metodo:

Pagina iniziale

STUDIO dEI LIMITI - CASO 2

Procedo come esemplificato di seguito:

Sostituisco il valore a cui x tende, ovvero -∞, in f(x). Dopodichè continuo lo svolgimento.

+∞

-∞

Pagina iniziale

STUDIO dEI LIMITI - CASO 2

Il caso appena trattato era il calcolo del limite ad un estremo escluso e illimitato (∞) del dominio.

Vediamo ora il calcolo del limite ad un estremo escluso e limitato (non ∞) del dominio.

Consideriamo la funzione:

Il cui dominio è:

Vediamo come calcolare:

Pagina iniziale

STUDIO dEI LIMITI - CASO 2

Dobbiamo dividere questo studio in due casi:

...ma perchè?(e cosa sono i "+" e i "-" messi come esponenti?)

Pagina iniziale

STUDIO dEI LIMITI - CASO 2

FORMA INDETERMINATA

A questo punto serve trasformare la funzione in modo da non alterarla, ma in modo da permetterci di "aggirare" il problema della forma indeterminata. Per farlo, in questo caso possiamo sfruttare alcune proprietà dei logaritmi.

Vediamo come.

Pagina iniziale

STUDIO dEI LIMITI - CASO 2

Dal momento che:

Allora vale l'uguaglianza:

Calcoliamo quindi il limite:

Logaritmi

Condizioni di esistenza

Se la base dipende dall'incognita

Se la base è un numero

(a = numero noto)

(a = numero noto)

Per determinare le CE, pongo:

Per determinare le CE, pongo:

Esponenziale con base variabile

Condizioni di esistenza

Nel caso

Per determinare le CE, pongo:

Got an idea?

Bring it to life with an interactive window

Create a new layer with all the Genially features.

• Generate experiences with your content.
• It’s got the Wow effect. Very Wow.
• Make sure your audience remembers the message.
• Activate and surprise your audience.

Got an idea?

Bring it to life with an interactive window

Create a new layer with all the Genially features.

• Generate experiences with your content.
• It’s got the Wow effect. Very Wow.
• Make sure your audience remembers the message.
• Activate and surprise your audience.

Got an idea?

Use this space to add awesome interactivity. Include text, images, videos, tables, PDFs... even interactive questions! Premium tip: Get information on how your audience interacts with your creation:

• Visit the Analytics settings;
• Activate user tracking;
• Let the communication flow!

Got an idea?

Use this space to add awesome interactivity. Include text, images, videos, tables, PDFs... even interactive questions! Premium tip: Get information on how your audience interacts with your creation:

• Visit the Analytics settings;
• Activate user tracking;
• Let the communication flow!

Radici con indici pari

Condizioni di esistenza

Nel caso

(con n = numero pari, cioè 2 o 4 o 6 o 8...)

Per determinare le CE, pongo:

Rapporti

Condizioni di esistenza

Nel caso di un rapporto

(a = numero noto)

Per determinare le CE, pongo:

Verifichiamo la parità di:

Verifico quindi se:

Ovvero

E visto che:

Concludo che f(x) è pari.

Got an idea?

Bring it to life with an interactive window

Create a new layer with all the Genially features.

• Generate experiences with your content.
• It’s got the Wow effect. Very Wow.
• Make sure your audience remembers the message.
• Activate and surprise your audience.

Estremi del dominio inclusi

Mentre "a" e "b" sono esclusi, "c" e "d" sono inclusi. Questo significa che i punti (c ; f(c)) e (d; f(d)) appartengono al grafico della funzione.

In questi casi si dice che la funzione è definita negli estremi "c" e "d" del dominio.

Estremi del dominio esclusi

Mentre "a" e "b" sono estremi del domionio esclusi. Questo significa che i punti (a ; f(a)) e (b; f(b)) non appartengono al grafico della funzione.

In questi casi si dice che la funzione non è definita negli estremi "a" e "b" del dominio.

Got an idea?

Bring it to life with an interactive window

Create a new layer with all the Genially features.

• Generate experiences with your content.
• It’s got the Wow effect. Very Wow.
• Make sure your audience remembers the message.
• Activate and surprise your audience.

L'intorno di un punto

In matematica, l'intorno di un punto è un insieme di punti che sono "vicini" a quel punto. In una dimensione, un intorno di un punto x0 è un intervallo aperto che contiene x0, avente come estremi (x0-ɛ; x0+ɛ), dove ɛ è un numero intero positivo arbitrario.Ad esempio, l'intorno di 0 nella retta reale è l'intervallo (-ε, ε).

-ɛ 0 ɛ

Arcoseno e arcocoseno

Condizioni di esistenza

Nei casi

Per determinare le CE, pongo:

!Clicca qui: come risolvere una doppia disequazione!

Sono pari le seguenti funzioni:

Sono dispari le seguenti funzioni:

f(x) = x3 f(x) = cos(x) f(x) = ln(x)

f(x) = x2f(x) = ex f(x) = sin(x)

Sono pari le funzioni con queste strutture:

Sono dispari le funzioni con queste strutture:

f(x) = x2n+1, dove "n" è un numero intero non negativof(x) = e-ax, dove "a" è un numero reale non nullof(x) = cos(ax), dove "a" è un numero reale non nullo.

f(x) = xn, dove "n" è un numero pari non negativof(x) = eax, dove "a" è un numero reale non nullo f(x) = sin(ax), dove "a" è un numero reale non nullo.

Got an idea?

Bring it to life with an interactive window

Create a new layer with all the Genially features.

• Generate experiences with your content.
• It’s got the Wow effect. Very Wow.
• Make sure your audience remembers the message.
• Activate and surprise your audience.

Guarda il video qui sotto per avere maggiori informazioni!

Forma indeterminata

Ci troviamo di fronte a questa situazione:

Non possiamo sapere quanto valgano i due infiti o quale dei due sia "più infinito" dell'altro.Non è possibile dunque determinare un risultato a priori. Dovremo procedere diversamente.

!Clicca qui: maggiori informazioni sulle forme indeterminate!