la sezione aurea

LA SEZIONE AUREA

"Il prezioso gioiello o Divina proporzione"

start

La sezione aurea

"La geometria ha due grandi tesori, uno è il teorema di Pitagora, l'altro è la sezione aurea: il primo si può paragonare a un oggetto d'oro, il secondo a un gioiello prezioso"

Next

Indice

Lezioni

Presentazione

Note storiche

Sezione aurea nell'arte e nella natura

Prova tu!

Introduzione

Nella sezione aurea si coglie un idea di bellezza e armonia, utilizzato in architettura, pittura e scultura.

Le sue proprietà geometriche e matematiche e la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell'uomo la conferma dell'esistenza di un rapporto tra macrocosmo e microcosmo, tra Dio e l'uomo, l'universo e la natura: un rapporto tra il tutto e la parte, tra la parte più grande e quella più piccola che si ripete all'infinito attraverso infinite suddivisioni. Diversi filosofi e artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di aureo e divino.

Back

Learning sessions

LEZIONI

Lezione 01 segmento aureo e numero di Fidia

Lezione 02 poligoni aurei

Lezione 03 spirale aurea e successione di Fibonacci

Lezione / 01

Lezione 01

Il segmento aureo e phi

Detta a la lunghezza del segmento AB e x la lunghezza della parte AC che abbiamo definito "sezione aurea", impostiamo la proporzione a : x = x : (a-x)

Per le note proprietà ricaviamo x2= a (a-x) , da cui x2 + ax - a = 0 . Applicando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado ricaviamo le due radici dell'equazione e consideriamo solo quella positiva, visto che rappresenta la lunghezza di un segmento.

che rappresenta la sezione aurea di un segmento di lunghezza a (nel caso in esame è la lunghezza di AC). Il rapporto tra la lunghezza del segmento e la sua sezione aurea è detto "rapporto aureo" e il suo valore è definito come "numero aureo", indicato con la lettera greca ϕ

quindi

costruzione sezione aurea di un segmento

quindi

Back

Lezione 02

I poligoni aurei

Utilizzando ϕ, possiamo costruire alcune interessanti figure geometriche. Il primo esempio di figura aurea è il rettangolo aureo, che è un rettangolo le cui dimensioni a e b sono in rapporto aureo: cioè a/b=ϕ.

pentagono aureo

triangolo aureo

decagono aureo

Back

1/5

PER L'INSTALLAZIONE LUMINOSA SULLA MOLE ANTONELLIANA E' STATA USATA LA SERIE DI FIBONACCI?

VERO

FALSO

Sesiones de aprendizaje / 02

2/5

QUALI SONO LE DIMENSIONI DELLA DOPPIA ELICA DEL DNA CHE RICORDANO LA SERIE DI FIBONACCI?

21-34

1-20

12-21

Sesiones de aprendizaje / 02

Corretto

Sul tetto della Mole, da diverso tempo, c'è una una sottile linea rossa verticale. Ma di cosa si tratta? Si chiama Il volo dei numeri ed è la luminosa serie dei numeri di Fibonacci, opera dell'artista Mario Merz e realizzata nel 2000 per la manifestazione torinese Luci d'Artista.

foto

Continue

Learning sessions / 02

Sesiones de aprendizaje / 02

3/5

QUALE BRANO E' STATO COSTRUITO BASANDOSI SULLA SERIE DI FIBONACCI?

LA VITA E' BELLA

IMAGINE

LATERALUS

Learning sessions / 02

Sesiones de aprendizaje / 02

Corretto!

Se si mettesse in fila il DNA contenuto in tutte Le cellule dell'organismo di un solo uomo, il filamento sarebbe Lungo tre miliardi di miliardi di metri. La molecola di DNA misura, in Lunghezza 34A (3,4 nm) e in Larghezza 21Â (2,1 nm). I numeri 34 e 21 sono numeri nella serie di Fibonacci. Dunque, La molecola di DNA è perimetrabile con un rettangolo aureo il cui rapporto tra Lato maggiore/Lato minore è pari a: 34/21=1,61...

FOTO

Continue

Learning sessions / 02

Sesiones de aprendizaje / 02

Corretto!

Calcolando le sillabe del testo di Lateralus, disposte nel brano in questa modalità da Keenan, osserviamo: [1] black [1] then [2] white are [3] all I see [5] in my infancy [8] red and yellow then came to be [5] reaching out to me [3] lets me see [2] there is [1] so [1] much [2] more and [3] beckons me [5] to look through to these [8] infinite possibilities [13] as below so above and beyond I imagine [8] drawn beyond the lines of reason [5] push the envelope [3] watch it bend

Inoltre, nell’ultima parte del brano vengono pronunciati versi contenenti la parola “spiral” (spirale), e il brano termina con la ripetizione del seguente verso: “Spiral out, keep going...”

Continue

4/5

LE DIMENSIONI DELLA TUA MANO RISPETTANO LE DIMENSIONI AUREE?

VERO

FALSO

Sesiones de aprendizaje / 02

Correct!

Continue

5/5

CURBUSIER E' UN ARCHIETETTO CHE BASAVA LE SUE COSTRUZIONI SULLA SEZIONE AUREA. IN PARTICOLARE QUESTA VENIVA UTILIZZATA

IN OGNI PARTE DELL'EDIFICIO

IN PIANTA

IN FACCIATA

Corretto!

Le Corbusier si prefisse di utilizzare la sezione aurea e la successione di Fibonacci quale sistema su cui basare le proporzioni di TUTTI gli spazi dedicati alla vita dell’uomo con l’intento di creare uno standard che fosse allo stesso tempo armonico e funzionale alle esigenze del vivere quotidiano; l’idea sottostante era che poiché era possibile riscontrare la sezione aurea nelle proporzioni del corpo umano, nonché in altri svariati esempi naturali, questa potesse essere la base ottimale su cui strutturare tutto l’ambiente circostante, in modo che risultasse armonico e armonizzato ad esso secondo una presupposta regola naturale, identificata appunto nella proporzione aurea. L’idea di armonia implicita cela ancora un volta la concezione di un’estetica superiore legata alla sezione aurea.

Awesome!

Continue

Congratulazioni! Hai risposto a tutto in maniera corretta

Grazie per l'attenzione,gli alunni della 4A:

• Roberta Fucci
• Luigi Coscia
• Tramontano Alessio
• Fransiska Lowe
• Valerio Pisano
• Fabio Spisso
• Alessandro De Lucia
• Francesca Izzo
• Valentino Huner
• Marcello Caserta
• Vittoria Migliaccio
• Pasqualina Franco

Questo è un paragrafo pronto a contenere creatività, esperienze e storie geniali.

goals

Learning sessions / 03

Spirale aurea e sequenza di fibonacci

La sequenza di Fibonacci, detta anche Serie di Fibonacci o Successione di Fibonacci, fu individuata dal matematico Leonardo Pisano nel 1202. Letteralmente, la sequnza di Fibonacci è una successione di numeri interi positivi dove ogni numero è il risultante della somma dei due precedenti. La sequenza di Fibonacci ha una grande utilità: può essere utilizzata per il calcolo delle probabilità, nella sezione aurea e nel triangolo aureo. La successione di Fibonacci è da sempre circondata da un’aura di mistero e ha sempre esercitato un grande fascino in ambiti anche distanti dalla matematica poiché si presta a descrivere alcune regolarità osservabili in fenomeni naturali di crescita.

È una particolare spirale logaritmica di equazione polare r=aφ^θ; Sostanzialmente la sezione aurea è un rapporto tra due numeri. In particolare, è un rapporto tra due numeri che dà come risultato il numero irrazionale 1,618033… (per comodità di lettura il numero è volutamente troncato). Questo numero, essendo veramente unico e particolare, prende il nome di Phi. Un altro modo per definire la sezione aurea è prendere un numero a e un numero b, e dire che a+b sta ad a come a sta a b. La sezione aurea è alla base di molte delle forme più armoniose della natura. Lo stesso nome, “aureo”, indica il senso di armonia e di perfezione generato dalle forme che si basano su questo numero nel nostro cervello.

Curiosità

Osserva

Osserva

Back

Note storiche

Il rapporto aureo fu introdotto dai pitagorici come rapporto tra la diagonale e il lato del pentagono regolare: la diagonale del pentagono regolare era in realtà il lato del pentagono stellato, simbolo dei pitagorici. Non è ancora chiaro se, prima dei greci, babilonesi ed egizi conoscessero la sezione aurea e la utilizzassero consapevolmente; ad esempio nella piramide di Cheope la metà del lato di base sarebbe la sezione aurea dell'altezza. Sarebbe stato il pitagorico Ippaso di Metaponto, nel VI secolo a.C., a scoprire il rapporto aureo e ad associarvi il concetto di incommensurabilità. Sarà poi Euclide, intorno al 300 a.C., a darne una definizione rigorosa nel XIII libro degli Elementi fornendo la definizione di divisione di un segmento in "ultima e media ragione".

Back

Sezione aurea nell'arte

L'importante rapporto tra la matematica e l'arte non può essere sottovalutato quando si parla delle opere di Leonardo, e in numerosi documenti, lettere e note, la rilevanza di ciò è ben documentata. A volte sembra ossessionato da questi temi: mentre lavora alla Gioconda, ad esempio, Fra' da Novellara riferisce che Leonardo si concentra intensamente sulla geometria.

Text button

Reveal

E nell'architettura?

Learning sessions / 03

Sezione aurea in natura

La sezione aurea in natura assume spesso la forma della spirale costruita su rettangoli che seguono il rapporto 1,618:1

Alcuni esempi della spirale aurea in natura possono essere alcune forme di conchiglie, la disposizione degli stami dei fiori, la forma delle galassie e dei cicloni e tantissime altre.

Case study Resolution

MELE STELLATE

Maeriali:- mela - 5 stecchini - 5 pennarelli di colori diversi - forbici - filo

Reveal

Come fare: - colora a metà ogni stecchino con un colore diverso - taglia a metà una mela trasversalmente. Vedrai che in una delle metà ci sono 5 semi disposti in una posizione particolare - infila gli stecchini vicino alla punta di un semino, in modo che la parte colorata rimanga fuori, in senso orario nell’ordine: nero, verde, arancione, blu, rosso - annoda il filo attorno allo stecchino nero e poi fagli fare un giro attorno a quello arancione, poi rosso, verde, e blu descrivendo una stella a 5 punte.

Back

oops!

Questa risposta è sbagliata

Perchè non riprovi?

back

Architettura nel Rinascimento

Nell'architettura del Rinascimento si preferirono griglie di moduli quadrati mentre nell'epoca barocca il tema era spesso il cerchio e l'ellissi. Solo nel XX secolo viene recuperata la sezione aurea in architettura. Con il razionalismo Le Corbusier riprese questa proporzione per disegnare edifici e arredi. Ridisegnò la sezione aurea applicata al corpo umano (detto Modulor) affinché questo diventasse l'unità di misura di tutto.

Il decagono aureo

Una immediata conseguenza della proprietà dei triangoli aurei di primo tipo è che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è la parte aurea del raggio. Un decagono regolare può essere scomposto in dieci triangoli aurei aventi le basi sui lati e vertici in comune. I lati uguali dei triangoli coincidono con raggi della circonferenza circoscritta. La misura del lato del decagono risulta l=r/ϕ

Se ragioniamo in una circonferenza goniometrica, l=1/ϕ, ma anche l= 2sin18°. Allora sin18° non è altro che la metà del reciproco di phi (sin18°= 1/2ϕ).

Hai ottenuto un pentagramma stellato. Questa figura nasconde φ, il numero della bellezza. Esiste infatti un rapporto speciale tra la lunghezza dei lati della stella disegnati con il filo e la distanza tra due vertici (ovvero la distanza tra due stecchini). Più questo rapporto si avvicina a φ= 1,618… più la mela è perfetta!

Arco di Costantino

Nell'Arco di Costantino, il più importante degli archi trionfali romani, costruito nel 313 d.C. per celebrare la vittoria dell'imperatore Costantino su Massenzio, l'altezza dell'arco divide l'altezza totale secondo la sezione aurea, mentre i due archi più piccoli giocano lo stesso ruolo nella distanza tra la base e il listello inferiore.

Intorno alla metà del XX secolo si ritrova la sezione aurea nel proporzionamento della facciata del palazzo dell'ONU a New York, mentre a Washington viene inaugurato il Pentagono sede del Dipartimento della Difesa.

La Gioconda

Nel caso della Gioconda, la spirale incornicia magnificamente il suo viso, con il lato arrotondato a destra e il lato verticale a sinistra. Inoltre, la spirale si snoda dalla punta del naso, sfiorando la parte inferiore del mento, e tutto intorno al braccio destro, dal gomito al pollice.

Disegnando un rettangolo attorno al suo viso, notiamo che questo è aureo e se dividiamo quel rettangolo con una linea tracciata sotto i suoi occhi, otteniamo un altro rettangolo aureo, il che significa che la proporzione tra la lunghezza della sua testa e i suoi occhi è aurea. Ci sono altri rettangoli aurei che possono essere disegnati sul resto del suo corpo, come dal collo alla parte superiore delle mani.

Lorem ipsum dolor

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do eiusmod.

• Lorem ipsum dolor sit amet.
• Consectetur adipiscing elit.
• Sed do eiusmod tempor incididunt ut.
• Labore et dolore magna aliqua.

Architettura gotica

Tutte le cattedrali gotiche sono sempre basate sul quadrato, sul cerchio e sul pentagono, coniugando la simmetria razionale con quella irrazionale. E' possibile dedurre che esiste una diretta connessione fra i sistemi greci e romani e quelli gotici; del resto, la presenza della Sectio Aurea ne è una indiscutibile prova. Nell'immagine sono evidenziati i segmenti aurei individuati sulla facciata di Notre Dame.

La storia:

“Un allevatore mette una coppia di conigli in un recinto. Quante coppie di conigli possono essere prodotte da quella coppia in un anno, se si suppone che ogni mese ogni coppia genera una nuova coppia, che dal secondo mese in avanti diventa fertile?” La soluzione è contenuta nel “Liber Abaci” di Fibonacci, una matematico italiano del XIII secolo. Il numero di coppie di conigli presenti ogni mese segue una successione ben precisa. Partiamo dal fatto che all’inizio c’è una sola coppia e che dopo un mese questa coppia è appena diventata adulta e quindi non ha ancora potuto avere figli. Per tutti i mesi successivi il numero di coppie presenti nel recinto sarà pari alla somma del numero di coppie dei due mesi precedenti.

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 Al dodicesimo mese l’allevatore si troverà quindi con 233 coppie di conigli!

Il Partenone

Nel Partenone (447-432 a.C.) si realizza l'ideale greco di misura equilibrata e trova definitiva formulazione il rapporto tra le parti, caratteristico del periodo classico. Il tempio è un periptero ottastilo in stile dorico con 8 colonne lungo i lati brevi e 17 lungo i lati lunghi, secondo il principio classico per il quale sul lato lungo il numero delle colonne laterali è il doppio più una di quelle del fronte. L'architetto Ictino ha applicato la sezione aurea nel prospetto e nella pianta, proporzionando di conseguenza tutte le sue parti.

Costruzione sezione aurea

Consideriamo un segmento AB di lunghezza unitaria e, da A, tracciamo la perpendicolare al segmento di lunghezza pari alla metà del segmento stesso. Colleghiamo l'estremo P del segmento AP con il punto B e otteniamo un segmento PB lungo 5/2 (valore calcolato applicando il teorema di Pitagora).

Ora, con apertura pari ad AP, puntiamo il compasso in P e riportiamo la lunghezza di AP sull'ipotenusa PB. La parte rimanente di ipotenusa avrà lunghezza 5/2 - 1/2 . Riportiamo tale lunghezza sul segmento AB e otteniamo il segmento BC, che è appunto la sezione aurea di AB ed ha lunghezza (√5-1)/2 .

Il triangolo aureo

È detto triangolo aureo di primo tipo ogni triangolo isoscele in cui gli angoli alla base sono doppi dell'angolo al vertice. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è π, l'angolo al vertice misura π/5 (36°) e gli angoli alla base misurano 2π/5 (72°). La ragione dell'attributo aureo risiede nel fatto che in tali triangoli la base è la parte aurea del lato.

Tracciando la bisettrice dal vertice B che interseca il lato opposto in D, i triangoli ABC e ABD risultano simili. Vale quindi la proporzione AC:AB=AB:AD I triangoli ABD e BDC risultano pure isosceli: in particolare i tre segmenti AB, BD, DC risultano congruenti. Si ha quindi che AD = AC-AB. La base AB equivale quindi alla parte aurea del lato AC. I triangoli simili al triangolo BCD, cioè i triangoli isosceli in cui l'angolo al vertice è triplo degli angoli alla base, sono detti triangoli aurei di secondo tipo. In questi triangoli isosceli il lato è la parte aurea della base.

L'uomo vitruviano

Nell'uomo vitruviano le varie parti del corpo vengono messe in relazione con il corpo intero, dando luogo ad una serie di rapporti diligentemente riportati nella dettagliata didascalia e facilmente verificabile sul disegno che presenta, pertanto, precisione di tratto e chiarezza di particolari.

Il disegno vinciano esprime genialità soprattutto per essere riuscito a sintetizzare in un’unica immagine le due figure antropometriche che Vitruvio trattò separatamente, riproducendo la simultaneità di percezione di due diverse immagini sovrapposte. Nella sintesi operata da Leonardo fra il cerchio e il quadrato si crea una geometrica corrispondenza: il raggio del cerchio rappresenta la sezione aurea del lato quadrato.

Il pentagono aureo

Negli Elementi di Euclide è presente il seguente teorema: in un pentagono regolare le diagonali si tagliano in estrema e media ragione ed i segmenti più lunghi di questa suddivisione hanno lunghezza uguale al lato del pentagono. Tracciando le diagonali di un pentagono regolare si ottiene il pentagono stellato, assunto a simbolo della scuola di Pitagora. In questa figura il segmento AE è la parte aurea del segmento AD, il segmento AH è la parte aurea del segmento AE, il segmento HG è la parte aurea del segmento AH.

La successione potrebbe continuare all'infinito se si tracciassero le diagonali del pentagono HGCLI, poi quelle del pentagono delimitato da queste diagonali, e così via.