Construction des fractions et des décimaux

Construction des fractions et des décimauxau cycle 3

PRESENTATION

MOI MON ETABLISSEMENT MON NIVEAU COMBIEN DE TEMPS

Notre cadre de travail

• 2 mercredis en présentiel :

- Le mercredi 17 janvier (6h)- Le mercredi 21 février (3h)

• 1 mercredi en distanciel :

- Le mercredi 15 mai (3h)

• Pas de jugement
• Partage, écoute, bienveillance

• Droit à un joker

Comment abordez- vous cette formation ?

MES ATTENTES

MES CRAINTES

QUESTIONS ???

https://digistorm.app/p/2684714

code participant : 2684714

Objectifs de la formation

1. Identifier les étapes de progressivité dans la construction des fractions et des nombres décimaux.2. Concevoir des outils pour sa pratique de classe (jeux ludo-pédagogiques et numériques). 3. Imaginer une séquence dans laquelle j'utilise mes outils.

Aujourd'hui

1. Un constat inquiétant.
2. Les étapes dans la construction du nombre et ce qui se passe dans le cerveau.
3. Place dans les programmes.
4. Programmation, progression.
5. Manuels ... ou pas
6. Analyse de travaux d'élèves
7. Préparer une séquence

Avant de commencer, un petit jeu

QUIZZ

Un constat inquiétant

Ce que l'on peut lire :

Un constat inquiétant

Plusieurs évaluations permettent d'analyser les résultats des élèves : - les évaluations nationales - CEDRE (Cycle d’évaluations disciplinaires réalisée sur échantillons) - TIMSS (Teaching International Mathematics and Science Survey)

Source : CNESCO

Un constat inquiétant

timss-4-2019-cm1-exemples-d-items-de-math-matiques

Un constat inquiétant

timss-4-2019-cm1-exemples-d-items-de-math-matiques

Un constat inquiétant

Un constat inquiétant

Botton, H. (2021). Comprendre les résultats en mathématiques des élèves en France - Timss 2019 : des difficultés qui concernent tous les élèves à l’école primaire, plus prononcées parmi les élèves socialement défavorisés. Document de travail. Paris : Cnesco-Cnam.

Un constat inquiétant

Botton, H. (2021). Comprendre les résultats en mathématiques des élèves en France - Timss 2019 : des difficultés qui concernent tous les élèves à l’école primaire, plus prononcées parmi les élèves socialement défavorisés. Document de travail. Paris : Cnesco-Cnam.

Ce qui se passe dans notre cerveau

évolution des croyances grâce notamment aux neurosciences (De Piaget aux études de S. Dehaene)

Tout se passe dans le lobe pariétal

• Tout le monde a un sens du nombre, une intuition mathématique
• Intuition des nombres peut- être subliminale
• Intuition des nombres est présente chez les animaux (pour les petits nombres

la construction du nombre : 5 étapes

1. Représenter un nombre : comment faire ?
2. Grouper pour dénombrer
3. Ecrire des nombres de plus en plus grands
4. Ranger, c'est organiser ses dénombrements
5. La numération un système très efficace

La construction des nombres décimaux

Recherche par groupe

Quelles sont les différentes étapes par lesquelles doit-on faire passer nos élèves dans leur construction des nombres décimaux ?

Botton, H. (2021). Comprendre les résultats en mathématiques des élèves en France - Timss 2019 : des difficultés qui concernent tous les élèves à l’école primaire, plus prononcées parmi les élèves socialement défavorisés. Document de travail. Paris : Cnesco-Cnam.

La construction des nombres décimaux

1. Découverte des fractions

2. De la fraction simple à la fraction décimale.

3. Introduction de l'écriture à virgule.

4. Comparer, ranger, encadrer et intercaler des nombres décimaux

5. Calculer avec des nombres décimaux

6. La fraction pour exprimer un quotient

La construction des nombres décimaux

ruptures qui existent entre les nombres entiers et les nombres décimaux :

- les nombres décimaux s’étendent au-delà des nombres entiers qui servent à dénombrer des collections d’objets ; - l’unité devient une entité que l’on peut partager ; - on ne peut pas parler du successeur d’un nombre décimal, par exemple : quel nombre viendrait après 7,3 ? ; - lorsqu’on compare deux nombres décimaux, celui dont l’écriture à virgule s’écrit avec le plus de chiffres n’est pas nécessairement le plus grand ; - entre deux nombres décimaux on peut intercaler une infinité d’autres nombres décimaux ; - la multiplication d’un nombre décimal par un nombre décimal ne peut plus être conçue comme une addition itérée ; - lorsqu’on multiplie un nombre par un nombre décimal on n’obtient pas toujours un nombre plus grand que le nombre de départ (4 x 0,7 = 2,8 et 2,8 est inférieur à 4)…

Les programmes (Fractions)

Connaître diverses désignations des fractions : orales, écrites et décompositions additives et multiplicatives (ex : quatre tiers ; 4/3 ; 1/3+1/3+1/3+1/3 ; 1+1/3 ; 4x1/3).

Connaître et utiliser quelques fractions simples comme opérateur de partage en faisant le lien entre les formulations en langage courant et leur écriture mathématique (ex : faire le lien entre « la moitié de » et multiplier par 1/2).

source : www.edumoov.com

Les programmes (Fractions)

Utiliser des fractions pour rendre compte de partages de grandeurs ou de mesures de grandeurs.

Repérer et placer des fractions sur une demi-droite graduée adaptée.

Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs.

Comparer deux fractions de même dénominateur.

Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.

Connaître des égalités entre des fractions usuelles (exemples : 5/10=1/2 ; 10/100 = 1/10 ; 2/4=1/2). Utiliser des fractions pour exprimer un quotient.

source : www.edumoov.com

Les programmes (nombres décimaux)

Connaître les unités de la numération décimale (unités simples, dixièmes, centièmes, millièmes) et les relations qui les lient.

Comprendre et appliquer aux nombres décimaux les règles de la numération décimale de position (valeurs des chiffres en fonction de leur rang).

Connaître et utiliser diverses désignations orales et écrites d’un nombre décimal (fractions décimales, écritures à virgule, décompositions additives et multiplicatives).

Utiliser les nombres décimaux pour rendre compte de mesures de grandeurs. Connaitre le lien entre les unités de numération et les unités de mesure (par exemple :

source : www.edumoov.com

Les programmes (nombres décimaux)

Repérer et placer un nombre décimal sur une demi-droite graduée adaptée.

Comparer, ranger des nombres décimaux.

Encadrer un nombre décimal par deux nombres entiers, par deux nombres décimaux.

Trouver des nombres décimaux à intercaler entre deux nombres donnés.

source : www.edumoov.com

Les programmes Compétences fondamentales

CHERCHER

MODELISER

REPRESENTER

RAISONNER

CALCULER

COMMUNIQUER

source : www.edumoov.com

Programmation - progression

Dégager les points forts et les limites de cette programmation de CM1-CM2

source : la classe de Mallory

Programmation - progression

POINTS FORTS : - document simple, synthétique ; - la progression fractions → fractions décimales → nombres à virgule. LIMITES : - absence de progression en calcul mental ; - peut- être approche trop tardive des fractions en CM1 ; - pas de réactivation affichée des notions ; - manque de cohérence entre les domaines présentés lors d'une même période (par exemple, approches des aires et des fractions dissociées).

source : la classe de Mallory

Manuels ... ou pas

Suite à commande du CNESCO, Eric MOUNIER et Maryvonne Priolet ont fiat une analyse des manuels selon l'offre éditoriale.

Méthodologie de l'étude

source : Les manuels scolaires de mathématiques à l’école primaire. De l’analyse descriptive de l’offre éditoriale à son utilisation en classe élémentaire. Éric MOUNIER & Maryvonne PRIOLET. Novembre 2015

Manuels ... ou pas

source : Les manuels scolaires de mathématiques à l’école primaire. De l’analyse descriptive de l’offre éditoriale à son utilisation en classe élémentaire. Éric MOUNIER & Maryvonne PRIOLET. Novembre 2015

Manuels ... ou pas

Les auteurs peuvent être classés en 2 catégories : - Des universitaires et chercheurs avec des acteurs de terrain - Uniquement des acteurs de terrain.

source : Les manuels scolaires de mathématiques à l’école primaire. De l’analyse descriptive de l’offre éditoriale à son utilisation en classe élémentaire. Éric MOUNIER & Maryvonne PRIOLET. Novembre 2015

Manuels ... ou pas

source : Les manuels scolaires de mathématiques à l’école primaire. De l’analyse descriptive de l’offre éditoriale à son utilisation en classe élémentaire. Éric MOUNIER & Maryvonne PRIOLET. Novembre 2015

Manuels ... ou pas

source : Les manuels scolaires de mathématiques à l’école primaire. De l’analyse descriptive de l’offre éditoriale à son utilisation en classe élémentaire. Éric MOUNIER & Maryvonne PRIOLET. Novembre 2015

Manuels ... ou pas

Seulement 4 manuels proposent l'effet loupe

source : Les manuels scolaires de mathématiques à l’école primaire. De l’analyse descriptive de l’offre éditoriale à son utilisation en classe élémentaire. Éric MOUNIER & Maryvonne PRIOLET. Novembre 2015

Repérer les difficultés, analyse d'erreurs

Voici 9 situations proposées à des élèves de cycle 3 - Trouver l'erreur - L'analyser - Piste de remédiation

Une réponse n'est jamais le fruit du hasard

Repérer les difficultés, analyse d'erreurs

Quelques exemples

Une réponse n'est jamais le fruit du hasard

Préparer sa séquence

Quelles méthodes d'apprentissages utilisées dans sa séquence ?

Préparer sa séquence

Ma séance de découverte sur les fractions

Temps d'échange sur vos séances de découverte

Préparer sa séquence

Ma séance de découverte sur les fractions

Préparer sa séquence

Des outils, de la manipulation et des jeux

Préparer sa séquence

DIGIPAD

https://digipad.app/p/623646/1eb7971e5c768

5 < 27/5 < 6

Donner progressivement aux fractions le statut de nombre. CM2 CM1 Connaitre diverses désignations des fractions : orales, écrites et des décompositions additives et multiplicatives ex : quatre tiers 4/3 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3 1 + 1/3 4 x 1/3). CM2 CM1

Intercale un nombre entre 2,7 et 2,8 Réponse : Impossible

Calculer avec des nombres décimaux et des fractions simples, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne, ou en posant les opérations). Contrôler la vraisemblance de ses résultats.

5,3 5,4

5,382

Parmi ces nombres entoure les nombres décimaux :

Utiliser des outils pour représenter un problème : dessins, schémas, diagrammes, graphiques, écritures avec parenthésages, …. Produire et utiliser diverses représentations des fractions simples et des nombres décimaux.

17/4 = 4 + 1/4

5 < 5,46< 6 7,43 < 7,438 < 7,44

5,34 < 5,59 6,4 > 6,238 12,302 < 12,43 < 12,9

Utiliser les fractions simples (comme 2/3, 1/4, 5/2) dans le cadre de partage de grandeurs ou de mesures de grandeurs, et des fractions décimales (1/10, 1/100), il fait le lien entre les formulations en langage courant et leur écriture mathématique (par exemple faire le lien entre « la moitié de » et 1/2 dans l'expression « une demi-heure »). (CM1 et CM2). Faire le lien entre "la moitié de" et multiplier par 1/2 (CM2) Manipuler des fractions jusqu'à 1/1000. CM1 et CM2

trente quatre et quarante trois millièmes 34 + 43/1000 34 043/1000 34,043 34 + 4/100 + 3/1000 34 + 0,034 34 + 0,03 + 0,004

Complète cette suite numérique avec le nombre suivant : 6,6 - 6,7 - 6,8 - 6,9 - ..... Réponse : 6,10

Fractions simples Ecriture fractionnaire Fractions simples comme opérateur Repérage sur une demi- droite graduée et décomposition

Donne l'écriture décimale de ce nombre

Réponse :

Ecris ces nombres en chiffres : Douze unités et trente quatre millièmes : 12,34 Deux unités et sept centièmes : 2,007

Calcule : 2,37 x 10 = élève A : 2,370 élève B : 20,37

Méthodologie de l’étude – Période de l’étude : début février 2015 - fin mars 2015. – Recensement de la littérature scientifique et des textes institutionnels traitant des manuels scolaires de mathématiques. – Recensement des manuels scolaires de mathématiques présents en janvier 2015 sur le marché de l’édition pour l’école élémentaire. – Analyse didactique d’un échantillon de 48 manuels issus de 10 collections. – Analyse de l’utilisation de manuels à partir d’observations et d’entretiens dans 12 classes (académies de Clermont-Ferrand, Paris, Reims).

Utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne. Reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité.

Quel nombre correspond à la partie colorée?

élève B

élève A

Liens entre les différentes unités de numération, manipulation de diverses écritures de nombres décimaux utilisant les fractions décimales, décompositions diverses Comparaisons de nombres décimaux et demi-droite graduée

13/7 > 11/7

- Les situations problèmes - La manipulation - Le jeu - La transversalité

En considérant ces auteurs, deux grandes catégories de collections de manuels peuvent être distinguées : – une première catégorie dont les auteurs sont en majorité des enseignants-chercheurs ou des formateurs spécialisés en didactique des mathématiques, laissant ainsi augurer la prise en compte des travaux de recherche dans ces ouvrages. Des universitaires qualifiés en didactique des mathématiques sont par exemple présents dans l’ensemble des ouvrages des collections Euro maths, Maths Tout Terrain, Tous en maths ! Un maître de conférences en psychologie dirige la collection J’apprends les maths. D’autres spécialistes des mathématiques, en règle générale des professeurs agrégés formateurs actuellement en ÉSPÉ ou antérieurement en IUFM comptent parmi les auteurs (Euro maths, J’apprends les maths ; La clé des maths ; Pour comprendre les mathématiques), voire sont directeurs de collection (Cap Maths). Pour six de ces collections, des acteurs de terrain comptent également parmi les auteurs (CPC, IEN, PEMF, PE). Pour le septième, des professeurs des écoles ou des équipes sont cités en page de titre pour avoir testé ou relu le contenu desdits ouvrages. – une seconde catégorie composée de manuels dont les auteurs sont exclusivement des acteurs de terrain (CPC, IEN, professeurs des écoles (PE)), par exemple Litchi 13 , Outils pour les maths ; Maths +.

Résoudre des problèmes nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche qui combine des étapes de raisonnement. Progresser collectivement dans une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui. Justifier ses affirmations et rechercher la validité des informations dont on dispose.

Compare 3,82 ... 3,9 3,61 ... 3,048

élève A 3,82 > 3,9 3,61 > 3,048

élève B 3,82 > 3,9 3,61 < 3,048

Les positionner sur une droite graduée.

Utiliser progressivement un vocabulaire adéquat et/ou des notations adaptées pour décrire une situation, exposer une argumentation. Expliquer sa démarche ou son raisonnement, comprendre les explications d’un autre et argumenter dans l’échange.

Prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc. S’engager dans une démarche, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre des hypothèses, en mobilisant des outils ou des procédures. Tester, essayer plusieurs pistes de résolution.

a/ Calcule 2,4 + 3,15 = Réponse : 2,4+3,15 = 5,19 b/ Pose et calcule : 43,52 + 26,61 = 124,8+83,36= Réponses : 43,52 + 26,61 = 69,113 124,8+83,36=95,84

dixième → dm , dg, dL centième → cm, cg, cl, centimes