Principios de Modelación 2024

PRINCIPIOS DE MODELACIÓN MATEMÁTICA

M.I. Jiménez Ordóñez Dunia del Carmen Tecnológico de Monterrey Campus Querétaro Preparatoria

Índice parte 1

14. Sistemas de Ecuaciones lineales

1. Repaso de álgebra

8. Función lineal y su gráfica

2. Igualdad, desigualdad e intervalos

15 Posición relativa de dos rectas

9. Modelado de función lineal

3. Tipos de Intervalos

16. Función cuadrática forma general

10. Forma punto-pendiente

4. Relación y Función

17. Raíces de la Función cuadrática

11. Forma General

5. Graficos de Función

18. Forma estándar de la función cuadrática

12. Forma Simétrica

6. Ecuación Lineal

13. Todas las formas de la recta

7. Evaluación de Funciones

19. Convertir de forma general a estándar

Índice parte 2

30. Forma factorizada o Teorema del resto

20. Convertir de forma estándar a general

25. Modelado de funciones con datos reales

31. Forma Factorizada a forma Desarrollada

21. Cuestionario interactivo de función cuadrática

26. Contracción y alargamiento

32. Multiplicidad y extremos e inferir la gráfica función polinomial

27. Características Función polinomial

22. Método de completar el cuadrado

28. Ceros o Raíces de la función polinomial

33. Propiedades de una gráfica de una función polinomial

23. Obtener la función a partir del gráfico

29. Ceros Racionales de la función polinomial

24. Transformaciones de la función cuadrática

34. Graficar una función polinomial

REPASO DE ÁLGEBRA

Realiza correctamente las siguientes operaciones

iGUALDAD, dESIGUALDAD E INTERVALOS

Anota en la celda el símbolo correcto para que la expresión sea verdadera

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intervalo

Espacio en la recta numérica comprendido entre dos valores determinados

intervalos finitos

Intervalo abierto:

Intervalo cerrado:

INTERVALOS INFINITOS

Semiabierto por la derecha:

Semiabierto por la izquierda:

ejemplos

relación Y Función

Una función es una regla de asociación entre dos conjuntos que relaciona a cada elemento del primer conjunto con uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

Tipo de paleta Precio

8 16 24 32

fresa vainilla pistache nuez

Figuras No. de lados

2 3 4 5

A B

1 2 3

A B C D

C D

1 2 3 4 5

X Y Z W

F K

1 2 3

0 1 2 3

H J

R H J

1 2 3 4

GRAFICAS DE FUNCIÓN Y RELACIÓN

GRAFICAS DE FUNCIÓN Y RELACIÓN

GRAFICAS DE FUNCIÓN Y RELACIÓN

Ecuación Lineal

ecuaciones

Expresiones algebráicas

Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen una o más incógnitas

Conjunto de números y símbolos unidos mediante operaciones algebraicas

ecuación lineal

Propiedades de las ecuaciones

Una igualdad se mantiene cuando:Se realiza la misma operación a ambos lados de la igualdad

ejemplo 1

Resolver para x las siguientes ecuaciones

ejemplo 2

Realiza los despejes que se te indican

Evaluación de Funciones

evaluar una función

Sustituir los valores conocidos de las incógnitas y realizar las operacionesNo olvides la jerarquía de operaciones

FUNCIÓN LINEAL

Es una función directamente proporcional, es decir, si la variable independiente incrementa la variable dependiente aumenta también

FUNCIÓN lineal

Por ello se conoce como función lineal Donde: -m es la pendiente -b es la desviación lineal con respecto al origen

Graficar una función lineal

Se necesitan al menos dos puntos 1) Ordenada al origen 2) Punto de la pendiente 3) Abscisa al origen

graficar una función lineal

De Gráfica a Función

Forma pendiente ordenada al origen

La función de la recta se encuentra siguiendo el proceso para graficar pero a la inversa

ejemplos

Modelado de Funciones Lineales

Pasos:

1. Ubicar la variable dependiente e independiente2. Encontrar el valor de la pendiente y la ordenada al origen 3. Armar la función preferentemente de la forma: y= mx+b

Carlos gana $128.50 pesos de comisión por auto vendido.a) Calcula la función que representa su dinero obtenido mediante comisiones b) Identifica la variable dependiente e independiente c) Si le pagaron $1927.5, ¿Cuántos autos vendió?

Modelado de Funciones Lineales

Pasos:

1. Ubicar la variable dependiente e independiente2. Encontrar el valor de la pendiente y la ordenada al origen 3. Armar la función preferentemente de la forma: y= mx+b

Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra 25 euros por revisión, y 20 euros adicionales por cada hora que necesite para terminar la reparación. a) Escribe la ecuación que describe la relación entre su salario y el tiempo b) ¿Cuánto se pagaría si la reparación dura 3 horas? c) Si cobró 71 euros, ¿Cuánto tiempo duró la reparación?

forma punto pendiente

Grficar una recta dado un punto y la pendiente

ejemplo

Calcular la ecuación de la recta en forma pendiente-ordenada al origen y en forma punto pendiente que pasa por el punto P (-1, 2) y cuya pendiente es 4/2

Forma general de una función lineal

La forma General de la recta (Función lineal) es de la forma: Se obtiene al despejar las otras formas de la recta

Forma Simétrica de una Función Lineal

ó forma canónica

Localiza las intersecciones con ambos ejes, por lo que es la más sencilla de graficar

ejemplo

Encontrar la forma simétrica de las siguientes funciones lineales:

Formas de la Ecuación de la Recta

Forma Punto-pendiente

Forma Pendiente-ordenada al origenTambién conocida como forma estándar

Forma General

Forma Simétrica

sistemas de ecuaciones lineales

sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

• También conocido como sistema lineal
• Es la asociación de dos o más ecuaciones lineales que presentan las mismas incógnitas
• Cada ecuación también se llama condición o restricción

Métodos de resolución para sistemas lineales

Métodos de resolución para sistemas lineales

Métodos de resolución para sistemas lineales

Método Gráfico

• Se deben graficar ambas líneas
• El punto donde se interceptan señala la solución, solo hay que interpretar las coordenadas

Métodos de soluciones para sistemas lineales de 2x2

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

PARALELAS

PERPENDICULARES

OBLICUAS

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

PERPENDICULARES Y OBLICUAS

PARALELAS

COINCIDENTES

ejemplo 1

Verifica si las siguientes rectas con paralelas, perpendiculares u oblicuas:

ejemplo 2

Hallar la recta paralela a la recta y= 2x -3 que pase por el punto (-3, 1)

Función Cuadrática

Características de la función cuadrática

Características de la función cuadrática

FUNCIÓN CUADRÁTICA

ejemplo 1

Explica el comportamiento de las siguientes funciones y traza sus gráficas

ejemplo 2

Explica el comportamiento de la siguiente función y traza su gráfica

función CUADRÁTICA

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ejemplo 1 Metodo de factorización

Analiza la siguiente función y traza su gráfica

ejemplo 2 Metodo de factorización

Analiza la siguiente función y traza su gráfica

FORMA ESTÁNDAR O NORMAL DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

FORMA ESTÁNDAR O NORMAL DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

PASAR DE LA FORMA GENERAL a la FORMA ESTÁNDAR

ejemplo 2

Dadas las siguientes funciones obtener:a) Su forma estándar b) la ecuación del eje de simetría c) Vértice Máximo o mínimo d) Concavidad

Pasar de forma Estándar a General

Pasos:

1. Ubicar el binomio cuadrado en la forma estándar2. Desarrollar el trinomio cuadrado perfecto 3. Multiplicar el trinomio por "a" en cada uno de sus términos (por ley distributiva) 4. Sumar Términos semejantes

ejemplo 2

Dada la siguiente función cuadrática obtener:a) Su forma General b) La concavidad c) Hacia dónde se desplaza la gráfica d) La intersección con el eje y

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Método de completar el cuadrado para encontrar las raíces

Pasos:

1. Se utiliza el mismo procedimiento que el usado para cambiar hacia función estándar2. Las únicas diferencias son: 3. Como es para ser ecuaciones el f(x)=0 4. Para finalizar se deben despejar las x, (utilizar la raíz cuadrada)

Obtener función a partir de gráfico

Con un Vértice Inexacto

Usamos la Forma General y dos puntos, para tener un sistema de ecuaciones y obtener A y B

Obtener función a partir de gráfico

Con un Vértice Exacto (h,k)

Usamos la forma estándar sustituyendo el vértice y un punto para obtener a

tRANSFORMACIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

TRASLACIÓN DE UNA PARÁBOLA

ejemplo 3

A partir de la parábola f(x) = x2 +2 determina que parábola es la representación de f(x) = (x-6)2 + 2

Reflexión de la función cuadrática

Horizontal

Vertical

Involucra a toda la función dado que f(x) es y

Involucra únicamente los valores de x en la función

La gráfica se reflejará en el eje y

La gráfica se reflejará en el eje x

ejemplo 2

Dada la siguiente función cuadrática : a) Obtener su reflexión vertical b) Obtener su reflexión horizontal

ejemplo 3

Dada la siguiente gráfica :a) Obtener su reflexión vertical b) Obtener su reflexión horizontal

MODELADO DE FUNCIONES LINEALES

Para modelar una función lineal mediante un conjunto de datos se utiliza la Regresión Lineal

MODELADO DE FUNCIONES polinomiales

Para modelar una función polinomial debemos ajustar el grado correspondiente para la forma del gráfico

Contracción y Alargamiento

Horizontal

Vertical

Involucra a toda la función dado que f(x) es y

Involucra únicamente los valores de x en la función

ejemplo 2

Dada la siguiente función cuadrática : a) Dilatar (alargar) verticalmente al doble b) Contraer verticalmente a la mitad c) Dilatar (alargar) horizontalmente al triple d) Contraer horizontalmente al triple

Función polinomial de grado 3 al 5

Características:

• Las variables deben tener exponentes enteros y positivos
• No pueden haber variables en el denominador

ejemplo 1

Gráfico de una función polinomial

Ceros de las Funciones Polinomiales

Los Ceros o intersecciones con el eje x, de una función polinomial f(x) son los números reales de x, para los que f(x)=0

ejemplo 1

Obtener los ceros de la siguiente función polinomial

Ceros Racionales de una Función Polinomial

Hallar todos los ceros reales de la siguiente función, sabiendo que existe al menos un cero racional

Teorema de ceros racionales

Ceros de la función polinomial

Determina cuales de los siguientes binomios: (x+1), (x+2), (x-1) son factores del siguiente polinomio

Ceros de la función polinomial

Hallar todos los ceros reales de la siguiente función:

Forma factorizada

1) Hallar la función polinomial f(x) de grado 5 que tiene los siguientes ceros: 0 (multiplicidad 2) , 8, -9 y 7 2) Hallar la función polinomial f(x) de grado 7 que tiene los siguientes ceros: 9 (multiplicidad 2), -13 (multiplicidad 3), 5, -8 y un coeficiente principal 4

Forma factorizada

3) Escribir la función polinomial de grado 7 que tenga como ceros: -1 (multiplicidad 2), 0 (multiplicidad 3), 2 y 5; y que pasa por el punto (1, 32)

Forma factorizada a forma desarrollada

Para convertir se resuelven y multiplican los paréntesis, sumando los términos semejantes.No olvides los productos notables y la jerarquía de operaciones

La forma Desarrollada de la función polinomial es la Forma General vista anteriormente

Multiplicidad en los ceros de la función polinomial

Inferir la gráfica de una función polinomial

Comportamiento de los extremos de una gráfica de función polinomial

Depende del grado de la función y el coeficiente principal

Comportamiento de los extremos de una gráfica de función polinomial

Inferir la gráfica de una función polinomial

Ejemplo: Coeficiente principal: Grado: Extremos: Ceros o intersecciones:

Propiedades de una función dada su gráfica

Para calcular el coeficiente principal de la función sustituimos un punto para encontrar el valor de a, como se ha visto en temas pasados

RangoDominio Intervalos Crecientes Intervalos Decrecientes Mínimos Relativos Máximos Relativos

Propiedades de una función dada su gráfica

RangoDominio Posible Grado de la Función Intervalos Crecientes Intervalos Decrecientes Mínimos Relativos Máximos Relativos

Graficar una Función Polinomial

Ubicar los ceros y el corte en el eje y, también se pueden y evaluar puntos cercanos de ser necesario

¡sigue estudiando!

El valor de A representa:

Tomando A como valor absoluto:Si A>1 la parábola es más estrecha Si A<1 la parábola es más ancha

Resolución de ecuaciones

Forma Pendiente Ordenada al origen

Para graficar se utiliza el método

evaluar una función

Señala la traslación con respecto de la gráfica tipo f(x)= ax2

Contracción y alargamiento

Horizontal

Vertical

Ejemplo Reflexión Horizontal

Forma General de la Recta

Se puede obtener despejando las otras formas de la recta. El despeje más largo es desde la forma punto pendiente:

No olvides que Ax siempre debe quedar positivo y no pueden quedar fracciones en la función final

Hallar todos los ceros reales de la siguiente función, sabiendo que existe al menos un cero racional

evaluar una función

Reflexión

Horizontal

Vertical

Multiplicidad

Cada cero (raíz) de la función polinomial posee algo llamado multiplicidad, que es cuantas veces se repite el valor de esa raíz en la función. Se representa en la forma factorizada como un exponente en el paréntesis del factor Ejemplo: x= 2 tiene multiplicidad 2 x= -3 tiene multiplicidad 5 x= 5 tiene multiplicidad 1

Ejemplo Contracción y alargamiento Vertical

IGUALDAD Y DESIGUALDAD

Ejemplo Contracción y alargamiento Horizontal

Rocío sale en bicicleta desde la plaza hacia un parque cercano a una velocidad de 3 m/s. Sabiendo que la plaza está a 6 m de su casa: a) Hallar la función que define su comportamiento b) ¿A qué distancia estará al cabo de 10 s?

Obtener la función de la siguiente recta de la forma pendiente ordenada al origen

Ejemplo desde la forma punto-pendiente

Forma Simétrica de la recta

Representa la intersección del eje y (b) y la intersección con el eje x (a)

Multiplicidad en las graficas de función polinomial

La multiplicidad se ve reflejada en la forma en que atraviesa la función el eje de las x en la gráfica de la siguiente manera:

Multiplicidad 1 Multiplicidad par Multiplicidad impar

Ejemplos

Cantidad de productos y precio a pagar Tiempo recorrido y distancia recorrida

¿Cuál es una función polinomial?

Ejemplo:

Ejemplo Reflexión Vertical