Modelos Populacionais
11ºAno | MACS
Estudar características dos elementos de uma população não é novidade, já que nos pudemos debruçar sobre este assunto no tema Estatística, estudado no 10º ano. O que vamos fazer agora é estudar a evolução do número de indivíduos de uma dada população e procurar um modelo matemático que se ajuste a essa evolução. Chama-se modelo populacional à representação matemática do crescimento de uma população, ou seja, da sua variação. Chama-se população a um conjunto de elementos com as mesmas características, podendo ser pessoas, dinheiro, animais, objetos, …
Como já foi referido, estando as populações e a sua evolução sujeitas a vários fatores externos, a situação vai variando ao longo do tempo. Então podemos distinguir entre: • Crescimento contínuo: quando não há separação entre os valores registados, ou seja, as respetivas mudanças ocorrem permanentemente. Ex: variação da temperatura ao longo de um determinado dia. • Crescimento discreto: quando há uma separação entre os valores registados, ou seja, as respetivas mudanças ocorrem periodicamente. Ex: registo mensal de vendas de um determinado produto.
O estudo das populações, desde os primórdios da civilização, tornou-se importante para, por exemplo, medir a produção de um cereal com o objetivo de poder prever colheitas futuras. De facto, a partir de dados estatísticos e usando o modelo adequado, é possível prever o crescimento futuro de algumas populações e, se necessário, agir em conformidade: controlar o crescimento se este for indesejável ou redimensionar os recursos para que o crescimento ocorra sem problemas. Assim, estudar e modelar populações permite-nos fazer previsões quanto ao futuro das mesmas. O crescimento de uma população depende de muitos fatores externos que não é possível quantificar, como, por exemplo, fatores culturais, políticos ou sociais.
O crescimento discreto é o processo mais utilizado, pois a evolução de uma população é estudada por recolha de informação periódica e não contínua (anualmente, por hora, …).
Os modelos populacionais que vamos analisar são alguns dos mais simples que se usam no estudo das populações:
• Modelo de Crescimento Linear;
• Modelo de Crescimento Exponencial;
• Modelo de Crescimento Logístico;
• Modelo de Crescimento Logarítmico. Todos os problemas de crescimento populacional têm como objetivo principal, a previsão do que acontecerá a uma determinada população ao longo do tempo.
Info
O estudo do crescimento populacional pode então incluir por exemplo a população dos coelhos, bactérias, vírus, automóveis, etc. É necessário ter em conta que “crescimento populacional” não significa apenas aumento da população; pode, igualmente, representar uma diminuição. Assim, podemos distinguir entre: • Crescimento populacional positivo: há um aumento da população inicial; • Crescimento populacional negativo: há uma diminuição da população inicial
Crescimento linear e progressão aritmética
Os modelos de crescimento linear são caracterizados pela evolução da população segundo um padrão constante. Exemplo 1: O Manuel quer comprar uma bicicleta que custa 830 euros. Decidiu começar a juntar a quantia necessária, a partir do seu aniversário, no qual recebeu em conjunto, dos pais e dos avós, 350 euros. Para ajudar, o pai prometeu-lhe uma mesada de 40 euros, que o Manuel decidiu guardar na íntegra. 1.1 Quanto dinheiro terá o Manuel ao fim de:1.1.1 1 mês ? 1.1.2 2 meses ? 1.1.3 5 meses ?
1.2 Descubra uma expressão que permita determinar o dinheiro que o Manuel tem ao fim de n meses. 1.3 Quantos meses terá de esperar o Manuel para poder comprar a bicicleta com o seu dinheiro ?
Podemos considerar que a população (dinheiro) do exemplo anterior evolui mensalmente de forma regular, isto é, todos os meses é adicionada a mesma quantia:
onde, 350 , 390 , 430, ... , 830 são os termos da sucessão representativa da evolução das poupanças do Manuel ao longo de doze transições. Como a diferença entre um termo e o seu precedente é constante, estas sucessões designam-se por progressões aritméticas.
A sucessão (un) é uma progressão aritmética se:un+1 – un = r , sendo r uma constante real e n um número natural À constante r chamamos razão da progressão aritmética
Definição:
Chama-se progressão aritmética (ou linear) a uma sucessão (sequência infinita de números) onde é constante a diferença entre dois termos (transições) consecutivos. A essa constante chamamos razão da progressão aritmética.
Modelo de crescimento linear discreto
Na nossa progressão, 350 euros é o valor inicial que será representado por P0. Os termos seguintes serão P1 (quantia ao fim de 1 mês), P2, P3, ..., P12. A razão, ou a taxa de crescimento, é 40 euros. Em geral, a evolução de uma população pode traduzir-se por uma sucessão: P0,P1,P2,P3,P4, ..., Pn onde , P0 representa o número de indivíduos de população inicial e Pn representa o número de indivíduos da população ao fim de n transições. A situação que acabámos de analisar (as poupanças do Pedro) é um exemplo de modelo de crescimento linear discreto.
Definição:
Modelo de crescimento linear discreto é um modelo em que a evolução da população é descrita por uma progressão aritmética, isto é, em cada geração (medição) a população altera-se aumentando ou diminuindo segundo uma quantidade fixa. Um modelo de crescimento linear discreto é dado por: onde r é a constante de crescimento, P0 a população inicial e Pn a população ao fim de certo tempo (em dias, horas, semanas,…). Razão vs crescimento da população
Se, r > 0 , a população cresce.
Se, r < 0, a população decresce.
Se, r = 0, a população mantém-se constante.
Exemplo 2:
A agência de moda 2muchStyle tem como principal atividade o agenciamento de modelos fotográficos e a organização de eventos de moda. Quando começou, em 2008, a agência contratou três fotógrafos e, como havia a perspectiva de grande expansão, estabeleceu contratar todos os anos, a partir daí, mais dois fotógrafos que os contratados no ano anterior. Supondo que esta regularidade na contratação anual de fotógrafos se mantém, responde às seguintes questões: 2.1 Quantos fotógrafos foram contratados em 2013? 2.2 Quantos fotógrafos estarão a trabalhar para a agência em 2020? Supõe que todos os fotógrafos contratados até então se mantém na agência.
Exemplo 2:
A agência de moda 2muchStyle tem como principal atividade o agenciamento de modelos fotográficos e a organização de eventos de moda. Quando começou, em 2008, a agência contratou três fotógrafos e, como havia a perspectiva de grande expansão, estabeleceu contratar todos os anos, a partir daí, mais dois fotógrafos que os contratados no ano anterior. Supondo que esta regularidade na contratação anual de fotógrafos se mantém, responde às seguintes questões: 2.1 Quantos fotógrafos foram contratados em 2013? 2.2 Quantos fotógrafos estarão a trabalhar para a agência em 2020? Supõe que todos os fotógrafos contratados até então se mantém na agência.
Resolução:
2.1 P5 = 3 + 2 x 5 = 13 Resposta: Em 2013 foram contratados 13 fotógrafos. 2.2 Para responder a esta questão teriamos de determinar a soma P0 + P1 + P2 + ... + P12, mas para isso seria necessário calcular todos os termos até P12 (soma de 13 parcelas). Para facilitar esta tarefa existe uma fórmula que nos permite determinar essa soma conhecendo apenas P0 e P12.
Soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética
Resposta: Em 2020 estarão a trabalhar na agência 195 fotógrafos.
Há situações nas quais, após uma recolha de dados relativa a determinada experiência, se torna necessário construir um modelo matemático que melhor se ajuste a esses dados. Exemplo disso é a reta de regressão estudada no tema Estatística, no 10º ano: a partir de uma recolha de dados é possível, com o auxílio da calculadora gráfica, por exemplo, determinar a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos do diagrama de dispersão. Trata -se de uma regressão linear.
Modelo de crescimento linear contínuo
- Um modelo de crescimento linear contínuo é dado por uma função afim, do tipo P(t) = P0 + r x t, sendo P0 = P(0), t a variável independente (representa o tempo) e P(t) a variável dependente (representa o tamanho de uma população num determinado momento ou tempo/instante).
- Se r >0, P(t) aumenta à medida que t aumenta (existe crescimento)
- Se r<0, P(t) diminui à medida que t aumenta (existe decrescimento)
O seu gráfico é uma reta:
(proporcionalidade direta)
Exemplo 3
Na tabela seguinte foram registados alguns valores da temperatura do ar (em graus centígrados) em diferentes níveis de altitude (em metros):
Com o auxílio da calculadora gráfica:
- Represente o conjunto de dados através de uma nuvem de pontos.
- Determine o modelo de regressão linear, de equação y = ax + b que se ajusta à nuvem de pontos. Indique os valores de a e de b com aproximação às milésimas.
- Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos
- Represente o conjunto de dados através de uma nuvem de pontos
Introduzem-se os valores da tabela nas listas da calculadora:
e de seguida representa-se graficamente
2. Determine o modelo de regressão linear, de equação y = ax + b que se ajusta à nuvem de pontos. Indique os valores de a e de b com aproximação às milésimas. A partir dos valores introduzidos
obtendo o modelo de crescimento linear:
y = -0,007x + 15,545
3. Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos
Questão 1: Estime o valor da temperatura a uma altitude de 7500 metros. No modelo determinado
basta substituir o valor da variável independente, , por 7500, pois nesta situação a altitude desempenha o papel da variável independente, sendo a temperatura a variável dependente:
A temperatura deverá ser, aproximadamente, de - 37graus.
Questão 2: Estime o valor da altitude com uma temperatura de -20 graus.
Exemplo 4
Na tabela seguinte, registou-se a contagem mensal do número de animais de uma certa espécie existentes numa área reservada, desde a sua criação:
4.1 De acordo com a tabela, durante quanto tempo foi feita a recolha de dados?4.2 Representa os dados da tabela através de uma nuvem de pontos. 4.3 Com o auxílio da calculadora gráfica, determine o modelo de regressão linear, de equação y = ax + b, que se ajusta à nuvem de pontos da alínea anterior. Indica os valores de a e de b com uma aproximação às centésimas. 4.4 Segundo o modelo determinado, qual é a previsão para o número de animais existentes na reserva ao fim de dois anos?
Resolução:
4.1 O registo dos dados foi feito durante doze meses. 4.2 O gráfico de dispersão pode ser obtido através da calculadora gráfica.
4.3 Após a indicação do tipo de regressão pretendida (regressão linear), a calculadora fornece os dados seguintes:
Assim, o nosso modelo de crescimento linear será dado por: y = 3,86 x + 5,70 Podemos ainda observar como o modelo observado se ajusta aos dados da tabela
4.4 Substituindo no modelo determinado y = 3,86 x + 5,70 o valor de x ( em meses) por 24 ( 2 anos), obtemos: y = 3,86 x 24 + 5,70 = 98,34 Assim, prevemos que daqui a dois anos o número de animais existentes na reserva seja de aproximadamente 98.
Crescimento exponencial e progressão geométrica
Enquanto que o modelo de crescimento linear consiste num crescimento uniforme, o crescimento exponencial é um crescimento mais acentuado, a partir de uma certa altura, o crescimento é mais rápido.
Exemplo 1
O Sr. Mateus depositou no seu banco 1500 euros numa conta poupança. O banco paga 10% de juros anualmente (juros compostos). Se este juro se mantiver, qual a quantia acumulada pelo S. Mateus ao fim de 20 anos?
Resolução:
P0 = 1500 P1 = 1500 x 1,1 =1650 euros P2 = 1500 x 1,1 x 1,1 = 1500 x 1,1^2 = 1815 euros P3= 1500 x 1,1 x 1,1 x 1,1 = 1500 x 1,1 ^3 = 1996,5 euros ........................................................... Pn = P0 x 1,1^n ou Pn = P0 x (1 + i) ^n Ao fim de 20 anos a quantia acumulada pelo Sr. Mateus será:
P20 = 1500 x 1,1 ^20 =10091,25 euros
Uma sequência deste tipo, em que é constante o quociente entre dois termos (transições) consecutivos denomina-se por progressão geométrica. A essa constante chamamos razão, r, da progressão.
Definição
Uma sequência (un) de termos não nulos é uma progressão geométrica se existe um número real, tal que:
r – razão da progressão
Definição
Numa progressão geométrica de razão r e termo inicial u0, o termo geral é :
A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de razão r e termo inicial u0 é:
Modelo de crescimento exponencial discreto é um modelo em que a evolução da população é descrita por uma progressão geométrica, isto é, quando a cada geração (medição) a população aumenta ou diminui segundo um fator fixo.
onde r é a constante de crescimento ( r >0).
Exemplo 2
Utilizou-se um inseticida para combater uma praga de mosquitos estimada em 800 000 toneladas. Foi registado o número de mosquitos ao longo de cinco dias, como se segue.
Ao fim de quanto tempo desaparecerão os mosquitos?
Resolução
Verificamos que em cada dia existem metade dos insetos do dia anterior, ou seja,
Estamos perante uma progressão geométrica de razão 0,5, logo temos uma situação de crescimento exponencial decrescente.
Utilizando o termo geral de uma progressão geométrica encontramos o modelo desta situação:
Através da calculadora gráfica, verificamos graficamente que a praga de mosquitos decresce rapidamente, tendendo a desaparecer.
Através da tabela verificamos que, ao fim de 20 dias, o número de mosquitos é aproximadamente 0,76, pelo que se considera que a praga já está extinta.
Modelo de crescimento exponencial contínuo
Um modelo de crescimento exponencial contínuo é dado por
- se r > 1 , P(t) aumenta à medida que t aumenta (crescimento)
- se 0 < r < 1 , P(t) diminui à medida que t aumenta (decrescimento)
Alternativamente, o modelo exponencial contínuo também pode ser apresentado da seguinte forma:
- sendo r a constante e e o número de Neper ou número de Euler
Assim, um modelo de crescimento exponencial contínuo não é mais do que uma função exponencial com equação , 𝑎, 𝑏∈ℝ (ou 𝑦=𝑎×𝑒^𝑏𝑥 )
O seu gráfico é uma curva:
Função decrescente
Função crescente
Exemplo 3
O crescimento e uma população animal é dada pelo seguinte modelo exponencial:
em que Pt representa o número de animais ao fim de t anos, P0 representa a população animal inicial ( no instante t = 0) e o valor e chama-se número de Neper ou número de Euler e é um número irracional cujo valor é aproximadamente 2,718281828.
1. Supondo que P0 = 500, qual é a população ao fim de 10 anos?
2. Ao fim de quanto tempo será a população de 50.000 animais?
Resolução
Exemplo 4
Na tabela seguinte foram registados alguns valores da concentração de um medicamento (em miligramas por litro), após a sua administração (em horas):
Com o auxílio da calculadora gráfica:
- Represente o conjunto de dados através de uma nuvem de pontos.
- Determine o modelo de regressão exponencial, de equação que se ajusta à nuvem de pontos. Indique os valores de a e de b com aproximação às milésimas.
- Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos
- Represente o conjunto de dados através de uma nuvem de pontos
Introduzem-se os valores da tabela nas listas da calculadora:
e de seguida representa-se graficamente
2. Determine o modelo de regressão exponencial, de equação que se ajusta à nuvem de pontos. Indique os valores de a e de b com aproximação às milésimas. A partir dos valores introduzidos
obtendo o modelo de crescimento
exponencial
3. Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos.
Questão 1: Estime o valor da concentração do medicamento na corrente sanguínea um dia depois da sua administração. No modelo determinado,
basta substituir o valor da variável independente, 𝑥, por 24 (1 dia corresponde a 24 horas), pois nesta situação o tempo desempenha o papel da variável independente, sendo a concentração a variável dependente:
A concentração deverá ser, aproximadamente, de 0,25 mg/l
Questão 2: Estime ao fim de quanto tempo, após a administração, a concentração do medicamento na corrente sanguínea é de 5 mg/l.
Ao fim de, aproximadamente, 6 horas atinge-se essa concentração
Modelo linear versus modelo exponencial
- O modelo linear caracteriza-se por um crescimento constante e ilimitado
- O modelo exponencial caracteriza-sr por um crescimento inicial lento que vai aumentando progressivamente de forma muito rápida a partir de certo momento. Também é um crescimento ilimitado, tal como o modelo linear.
Taxa de crescimento de uma população
Dado que a dimensão de uma população tem tendência a alterar-se com o passar do tempo, uma das formas de "medir" essa mudança é feita através daquilo a que se chama por taxa de crescimento, que nos dá a percentagem de aumento ou diminuição da população em estudo num determinado intervalo de tempo.
Definição:
Modelo de crescimento logarítmico
Antes de estudarmos o modelo de crescimento logarítmico, precisamos de saber um pouco sobre logaritmos. Consideremos a equação . Qual é o valor de x para o qual . Não é difícil verificar que 3^4 = 81 e, portanto, o expoente que procuramos tem o valor 4. Dizemos que 4 é o logaritmo, na base 3, de 81 e escreve-se,
Definição
Logaritmo de um número positivo y, em determinada base a (positiva e diferente de 1), é o expoente a que é preciso elevar a base para obter y. Então Em geral, temos que:
Mas como calcular o valor de ?De uma das seguintes formas:
- Com a calculadora: a máquina apenas possui duas funções para o cálculo dos logaritmos:
• Base 10: log • Base e : ln Como existem logaritmos em qualquer base (positiva e diferente de 1), podemos convertê-los em logaritmos de base 10 ou de base e para mais facilmente os podermos calcular. Para isso, basta fazer: Agora, podemos facilmente usar a calculadora, pois:
O modelo logarítmico contínuo, em qualquer base, pode ser dado por: onde k e h são constantes reais e p é um número real positivo (diferente de 1) Outra configuração habitual envolve apenas o logaritmo de base e:
O seu gráfico é uma curva:
Exemplo 1
Os dados da tabela referem-se ao crescimento médio de um certo tipo de árvore num pomar, plantadas com 1 ano:
Com o auxílio da calculadora gráfica:
- Represente o conjunto de dados através de uma nuvem de pontos.
- Determine o modelo de regressão logarítmico, de equação
que se ajusta à nuvem de pontos. Indique os valores de a e de b com aproximação às milésimas. 3. Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos
Resolução do exemplo 1 com recurso às calculadoras TI82 STAT; TI83; TI84 Plus
- Represente o conjunto de dados através de uma nuvem de pontos
Introduzem-se os valores da tabela nas listas da calculadora:
e de seguida representa-se graficamente
2. Determine o modelo de regressão logarítmica, de equação que se ajusta à nuvem de pontos. Indique os valores de a e de b com aproximação às milésimas. A partir dos valores introduzidos
obtendo o modelo de crescimento logarítmico
3. Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos.
Resolução do exemplo 1 com recurso à calculadora TI-Nspire
1. Apresente um conjunto de dados através de uma nuvem de pontos
Introduzem se os valores nas listas da calculadora:
E de seguida representa-se graficamente
Escrever Idade e enter
Escrever altura e enter
Menu → 6: Estatística → 1: Cálculos estatísticos →
B: Regressão logarítmica
Obtendo modelo de crescimento
logarítmico
𝑦=1,6114+1,9183× ln𝑡
3. Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos
Clique na tecla menu: Selecione 1. Tipo de Gráfico Selecione 6. Regressão Selecione 9. Mostrar logaritmíca
Questão 1: Estime a altura de uma árvore desta espécie ao fim de 15 anos.
No modelo determinado
basta substituir o valor da variável independente, 𝑥, por 15, pois nesta situação a idade desempenha o papel da variável independente, sendo a altura a variável dependente:
A altura da árvore deverá ser, aproximadamente, de 6,8 metros.
Questão 2: Estime ao fim de quantos anos a altura das árvores poderá ser em média, de 8 metros.
Resolução do exercício com recurso às calculadoras TI82; TI83; TI84
Ao fim de, aproximadamente, 28 anos.
Questão 2: Estime ao fim de quantos anos a altura das árvores poderá ser em média, de 8 metros.
Resolução do exercício com recurso à calculadora TI-Nspire
Clicar na tecla Doc →Inserir →selecionar 4 Gráfico → Com o cursor em
Selecionar a função f1
Posteriormente inserir a função f2
Menu → 6 Analisar gráfico → 4 interseção (movimentar as retas de forma a conterem o ponto de intersecção)
Modelo de crescimento logístico
Por volta do ano de 1944, a guarda-costeira americana transferiu uma população de cerca de 30 renas para uma ilha no estreito de Bering com habitat favorável. Passados 20 anos, verificou-se que a população de renas tinha tido um crescimento exponencial e era agora de cerca de 6000 animais. Pouco depois e em consequência da falta de espaço e de alimentos, a população de renas entrou em colapso.
Esta situação é um exemplo de que o crescimento exponencial não é viável em termos ilimitados. Para mudar este crescimento existem duas opções: aumentar a mortalidade (impensável se em causa estiverem populações humanas) ou diminuir a natalidade. Um modelo mais realista de crescimento populacional é o modelo de crescimento logístico. É o modelo mais adequado quando a taxa de crescimento de uma população não é constante.
Vejamos então como evolui este tipo de crescimento.
Um modelo de crescimento logístico pode ser dado por:
Assim, um modelo logístico contínuo não é mais do que uma função logística com equação
O seu gráfico é uma curva com o seguinte formato:
Exemplo 1
A Margarida vai casar-se. E o que era para ser um segredo, propagou-se rapidamente na aldeia de Roseiral. O número de pessoas que tinham conhecimento do segredo t horas depois de o primeiro grupo de pessoas saber é dado (milhares) pelo modelo:
1. Quantas pessoas sabiam inicialmente do segredo?
2. Quantas pessoas sabem do segredo ao fim de cinco horas?
3. Quantas pessoas souberam do segredo durante a 5.ª hora? E na 20.ª hora? E na 50.ª hora? Comenta os valores obtidos.
4. Ao fim de quanto tempo o segredo se torna conhecido por 500 habitantes da aldeia?
5. À medida que as horas vão passando, mais pessoas vão sabendo do segredo, até que toda a aldeia o saberá. Quantos habitantes tem a aldeia?
Resolução
1. O que pretendemos é calcular P(t) no início da contagem, isto é, para t=0:
donde, inicialmente, 12 pessoas (0,012 milhares = 12 pessoas) sabem o segredo.
2. Ao fim de cinco horas, t = 5, teremos:
Logo, passadas cinco horas, cerca de 32 pessoas conhecem o segredo.
3. Colocamos a expressão analítica da função na calculadora e observamos a tabela de valores para os valores pretendidos.
Para saber quantas pessoas souberam do segredo durante a 5ª hora basta fazer: P(5) – P(4) = 0,03173 – 0,02618 = 0,00555 ( cerca de 6 pessoas) Para saber quantas pessoas souberam do segredo durante a 20ª hora basta fazer: P(20) – P(19) = 0,34875 – 0,31252 = 0,03623 ( cerca de 36 pessoas) Para saber quantas pessoas souberam do segredo durante a 50ª hora basta fazer: P(50) – P(49) = 0,73001 – 0,72957 = 0,00044 ( não chega a uma pessoa)
4. Como 500 habitantes corresponde a 0,5 milhares, pretendemos calcular:
Com o auxílio da calculadora, podemos resolver graficamente esta equação. Introduzimos as funções (a variável x representa a variável independente t ):
e determinamos a sua interseção.
Assim, o valor de t para o qual P(t) = 0,5 é ,isto é, ao fim de aproximadamente 24 horas e 19 minutos, 500 habitantes da aldeia conhecem o segredo.
5. O objetivo é calcular P(t) para valores cada vez mais elevados de t e verificar em que valor P(t) tende a estabilizar:
P(300) = 0,732
P(0) = 0,012
P(100) = 0,732
P(200) = 0,732
P(50) = 0,730
Facilmente se observa que, à medida que o tempo passa, a população tende a estabilizar no valor 0,732. Podemos concluir que a aldeia tem uma população aproximada de 732 habitantes.
O gráfico de um modelo de crescimento logístico tem aproximadamente a forma de um “S” e contempla três fases distintas:
• Crescimento lento (inicialmente): fase de adaptação
• Crescimento rápido: fase de reprodução ou propagação
• Crescimento muito lento: fase de estabilização ou de equilíbrio.
No caso concreto do exemplo da Margarida:
• 1ª fase – crescimento lento: o segredo vai-se espalhando lentamente porque há ainda poucas pessoas que sabem;
• 2ª fase – crescimento rápido: a propagação do segredo é cada vez mais rápida porque cada vez mais pessoas o sabem e o transmitem;
• 3ª fase – crescimento muito lento: visto que o número de pessoas que ainda não sabe o segredo já é muito pequeno.
Podemos afirmar que, num modelo de crescimento logístico, quando uma população está distante do seu limite de crescimento, a tendência é que essa população cresça de forma exponencial, mas, à medida que se aproxima do seu limite, a sua taxa de crescimento abranda e a dimensão da população estabiliza.
Chama-se modelo de crescimento logístico quando a cada geração (medição) a população aumenta ou diminui segundo a sua capacidade de reprodução e a capacidade do habitat onde está inserida.
Exemplo 2
Numa floricultura foi feito um estudo com túlipas e registou-se o número de flores desta espécie que floresceram em cada dia. A tabela que se segue contém os dados recolhidos:
Com o auxílio da calculadora gráfica:
- Represente o conjunto de dados através de uma nuvem de pontos.
- Determine o modelo de regressão logístico, de equação
que se ajusta à nuvem de pontos. Indique os valores de a, de b e de c com aproximação às milésimas. 3. Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos
- Represente o conjunto de dados através de uma nuvem de pontos
Introduzem-se os valores da tabela nas listas da calculadora:
e de seguida representa-se graficamente
2. Determine o modelo de regressão logístico, de equação, , que se ajusta à nuvem de pontos.
Indique os valores de 𝑎, 𝑏 e de 𝑐 com uma aproximação às milésimas. A partir dos valores introduzidos
obtendo o modelo de crescimento logístico:
3. Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos.
Questão 1: Estime o número de túlipas existentes ao fim de 15 dias.
No modelo determinado
basta substituir o valor da variável independente, 𝑥, por 15, pois nesta situação o número de dias desempenha o papel da variável independente, sendo o número de túlipas a variável dependente:
O número de túlipas será, aproximadamente, 28.
Questão 2: Estime ao fim de quanto tempo, o número de túlipas atingiu as 10 flores (resultado em dias e horas)
Ao fim de, aproximadamente, 2,67 dias ou 2 dias e 16 horas, floriram 10 túlipas.
Modelos Populacionais - Cláudia
Claúdia Freitas
Created on January 10, 2024
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Modelos Populacionais
11ºAno | MACS
Estudar características dos elementos de uma população não é novidade, já que nos pudemos debruçar sobre este assunto no tema Estatística, estudado no 10º ano. O que vamos fazer agora é estudar a evolução do número de indivíduos de uma dada população e procurar um modelo matemático que se ajuste a essa evolução. Chama-se modelo populacional à representação matemática do crescimento de uma população, ou seja, da sua variação. Chama-se população a um conjunto de elementos com as mesmas características, podendo ser pessoas, dinheiro, animais, objetos, …
Como já foi referido, estando as populações e a sua evolução sujeitas a vários fatores externos, a situação vai variando ao longo do tempo. Então podemos distinguir entre: • Crescimento contínuo: quando não há separação entre os valores registados, ou seja, as respetivas mudanças ocorrem permanentemente. Ex: variação da temperatura ao longo de um determinado dia. • Crescimento discreto: quando há uma separação entre os valores registados, ou seja, as respetivas mudanças ocorrem periodicamente. Ex: registo mensal de vendas de um determinado produto.
O estudo das populações, desde os primórdios da civilização, tornou-se importante para, por exemplo, medir a produção de um cereal com o objetivo de poder prever colheitas futuras. De facto, a partir de dados estatísticos e usando o modelo adequado, é possível prever o crescimento futuro de algumas populações e, se necessário, agir em conformidade: controlar o crescimento se este for indesejável ou redimensionar os recursos para que o crescimento ocorra sem problemas. Assim, estudar e modelar populações permite-nos fazer previsões quanto ao futuro das mesmas. O crescimento de uma população depende de muitos fatores externos que não é possível quantificar, como, por exemplo, fatores culturais, políticos ou sociais.
O crescimento discreto é o processo mais utilizado, pois a evolução de uma população é estudada por recolha de informação periódica e não contínua (anualmente, por hora, …). Os modelos populacionais que vamos analisar são alguns dos mais simples que se usam no estudo das populações: • Modelo de Crescimento Linear; • Modelo de Crescimento Exponencial; • Modelo de Crescimento Logístico; • Modelo de Crescimento Logarítmico. Todos os problemas de crescimento populacional têm como objetivo principal, a previsão do que acontecerá a uma determinada população ao longo do tempo.
Info
O estudo do crescimento populacional pode então incluir por exemplo a população dos coelhos, bactérias, vírus, automóveis, etc. É necessário ter em conta que “crescimento populacional” não significa apenas aumento da população; pode, igualmente, representar uma diminuição. Assim, podemos distinguir entre: • Crescimento populacional positivo: há um aumento da população inicial; • Crescimento populacional negativo: há uma diminuição da população inicial
Crescimento linear e progressão aritmética
Os modelos de crescimento linear são caracterizados pela evolução da população segundo um padrão constante. Exemplo 1: O Manuel quer comprar uma bicicleta que custa 830 euros. Decidiu começar a juntar a quantia necessária, a partir do seu aniversário, no qual recebeu em conjunto, dos pais e dos avós, 350 euros. Para ajudar, o pai prometeu-lhe uma mesada de 40 euros, que o Manuel decidiu guardar na íntegra. 1.1 Quanto dinheiro terá o Manuel ao fim de:1.1.1 1 mês ? 1.1.2 2 meses ? 1.1.3 5 meses ?
1.2 Descubra uma expressão que permita determinar o dinheiro que o Manuel tem ao fim de n meses. 1.3 Quantos meses terá de esperar o Manuel para poder comprar a bicicleta com o seu dinheiro ?
Podemos considerar que a população (dinheiro) do exemplo anterior evolui mensalmente de forma regular, isto é, todos os meses é adicionada a mesma quantia:
onde, 350 , 390 , 430, ... , 830 são os termos da sucessão representativa da evolução das poupanças do Manuel ao longo de doze transições. Como a diferença entre um termo e o seu precedente é constante, estas sucessões designam-se por progressões aritméticas.
A sucessão (un) é uma progressão aritmética se:un+1 – un = r , sendo r uma constante real e n um número natural À constante r chamamos razão da progressão aritmética
Definição:
Chama-se progressão aritmética (ou linear) a uma sucessão (sequência infinita de números) onde é constante a diferença entre dois termos (transições) consecutivos. A essa constante chamamos razão da progressão aritmética.
Modelo de crescimento linear discreto
Na nossa progressão, 350 euros é o valor inicial que será representado por P0. Os termos seguintes serão P1 (quantia ao fim de 1 mês), P2, P3, ..., P12. A razão, ou a taxa de crescimento, é 40 euros. Em geral, a evolução de uma população pode traduzir-se por uma sucessão: P0,P1,P2,P3,P4, ..., Pn onde , P0 representa o número de indivíduos de população inicial e Pn representa o número de indivíduos da população ao fim de n transições. A situação que acabámos de analisar (as poupanças do Pedro) é um exemplo de modelo de crescimento linear discreto.
Definição:
Modelo de crescimento linear discreto é um modelo em que a evolução da população é descrita por uma progressão aritmética, isto é, em cada geração (medição) a população altera-se aumentando ou diminuindo segundo uma quantidade fixa. Um modelo de crescimento linear discreto é dado por: onde r é a constante de crescimento, P0 a população inicial e Pn a população ao fim de certo tempo (em dias, horas, semanas,…). Razão vs crescimento da população Se, r > 0 , a população cresce. Se, r < 0, a população decresce. Se, r = 0, a população mantém-se constante.
Exemplo 2:
A agência de moda 2muchStyle tem como principal atividade o agenciamento de modelos fotográficos e a organização de eventos de moda. Quando começou, em 2008, a agência contratou três fotógrafos e, como havia a perspectiva de grande expansão, estabeleceu contratar todos os anos, a partir daí, mais dois fotógrafos que os contratados no ano anterior. Supondo que esta regularidade na contratação anual de fotógrafos se mantém, responde às seguintes questões: 2.1 Quantos fotógrafos foram contratados em 2013? 2.2 Quantos fotógrafos estarão a trabalhar para a agência em 2020? Supõe que todos os fotógrafos contratados até então se mantém na agência.
Exemplo 2:
A agência de moda 2muchStyle tem como principal atividade o agenciamento de modelos fotográficos e a organização de eventos de moda. Quando começou, em 2008, a agência contratou três fotógrafos e, como havia a perspectiva de grande expansão, estabeleceu contratar todos os anos, a partir daí, mais dois fotógrafos que os contratados no ano anterior. Supondo que esta regularidade na contratação anual de fotógrafos se mantém, responde às seguintes questões: 2.1 Quantos fotógrafos foram contratados em 2013? 2.2 Quantos fotógrafos estarão a trabalhar para a agência em 2020? Supõe que todos os fotógrafos contratados até então se mantém na agência.
Resolução:
2.1 P5 = 3 + 2 x 5 = 13 Resposta: Em 2013 foram contratados 13 fotógrafos. 2.2 Para responder a esta questão teriamos de determinar a soma P0 + P1 + P2 + ... + P12, mas para isso seria necessário calcular todos os termos até P12 (soma de 13 parcelas). Para facilitar esta tarefa existe uma fórmula que nos permite determinar essa soma conhecendo apenas P0 e P12.
Soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética
Resposta: Em 2020 estarão a trabalhar na agência 195 fotógrafos.
Há situações nas quais, após uma recolha de dados relativa a determinada experiência, se torna necessário construir um modelo matemático que melhor se ajuste a esses dados. Exemplo disso é a reta de regressão estudada no tema Estatística, no 10º ano: a partir de uma recolha de dados é possível, com o auxílio da calculadora gráfica, por exemplo, determinar a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos do diagrama de dispersão. Trata -se de uma regressão linear.
Modelo de crescimento linear contínuo
O seu gráfico é uma reta:
(proporcionalidade direta)
Exemplo 3
Na tabela seguinte foram registados alguns valores da temperatura do ar (em graus centígrados) em diferentes níveis de altitude (em metros):
Com o auxílio da calculadora gráfica:
- Represente o conjunto de dados através de uma nuvem de pontos
Introduzem-se os valores da tabela nas listas da calculadora:e de seguida representa-se graficamente
2. Determine o modelo de regressão linear, de equação y = ax + b que se ajusta à nuvem de pontos. Indique os valores de a e de b com aproximação às milésimas. A partir dos valores introduzidos
obtendo o modelo de crescimento linear: y = -0,007x + 15,545
3. Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos
Questão 1: Estime o valor da temperatura a uma altitude de 7500 metros. No modelo determinado
basta substituir o valor da variável independente, , por 7500, pois nesta situação a altitude desempenha o papel da variável independente, sendo a temperatura a variável dependente:
A temperatura deverá ser, aproximadamente, de - 37graus.
Questão 2: Estime o valor da altitude com uma temperatura de -20 graus.
Exemplo 4
Na tabela seguinte, registou-se a contagem mensal do número de animais de uma certa espécie existentes numa área reservada, desde a sua criação:
4.1 De acordo com a tabela, durante quanto tempo foi feita a recolha de dados?4.2 Representa os dados da tabela através de uma nuvem de pontos. 4.3 Com o auxílio da calculadora gráfica, determine o modelo de regressão linear, de equação y = ax + b, que se ajusta à nuvem de pontos da alínea anterior. Indica os valores de a e de b com uma aproximação às centésimas. 4.4 Segundo o modelo determinado, qual é a previsão para o número de animais existentes na reserva ao fim de dois anos?
Resolução:
4.1 O registo dos dados foi feito durante doze meses. 4.2 O gráfico de dispersão pode ser obtido através da calculadora gráfica.
4.3 Após a indicação do tipo de regressão pretendida (regressão linear), a calculadora fornece os dados seguintes:
Assim, o nosso modelo de crescimento linear será dado por: y = 3,86 x + 5,70 Podemos ainda observar como o modelo observado se ajusta aos dados da tabela
4.4 Substituindo no modelo determinado y = 3,86 x + 5,70 o valor de x ( em meses) por 24 ( 2 anos), obtemos: y = 3,86 x 24 + 5,70 = 98,34 Assim, prevemos que daqui a dois anos o número de animais existentes na reserva seja de aproximadamente 98.
Crescimento exponencial e progressão geométrica
Enquanto que o modelo de crescimento linear consiste num crescimento uniforme, o crescimento exponencial é um crescimento mais acentuado, a partir de uma certa altura, o crescimento é mais rápido.
Exemplo 1
O Sr. Mateus depositou no seu banco 1500 euros numa conta poupança. O banco paga 10% de juros anualmente (juros compostos). Se este juro se mantiver, qual a quantia acumulada pelo S. Mateus ao fim de 20 anos?
Resolução:
P0 = 1500 P1 = 1500 x 1,1 =1650 euros P2 = 1500 x 1,1 x 1,1 = 1500 x 1,1^2 = 1815 euros P3= 1500 x 1,1 x 1,1 x 1,1 = 1500 x 1,1 ^3 = 1996,5 euros ........................................................... Pn = P0 x 1,1^n ou Pn = P0 x (1 + i) ^n Ao fim de 20 anos a quantia acumulada pelo Sr. Mateus será: P20 = 1500 x 1,1 ^20 =10091,25 euros
Uma sequência deste tipo, em que é constante o quociente entre dois termos (transições) consecutivos denomina-se por progressão geométrica. A essa constante chamamos razão, r, da progressão.
Definição
Uma sequência (un) de termos não nulos é uma progressão geométrica se existe um número real, tal que:
r – razão da progressão
Definição
Numa progressão geométrica de razão r e termo inicial u0, o termo geral é :
A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de razão r e termo inicial u0 é:
Modelo de crescimento exponencial discreto é um modelo em que a evolução da população é descrita por uma progressão geométrica, isto é, quando a cada geração (medição) a população aumenta ou diminui segundo um fator fixo.
onde r é a constante de crescimento ( r >0).
Exemplo 2
Utilizou-se um inseticida para combater uma praga de mosquitos estimada em 800 000 toneladas. Foi registado o número de mosquitos ao longo de cinco dias, como se segue.
Ao fim de quanto tempo desaparecerão os mosquitos?
Resolução
Verificamos que em cada dia existem metade dos insetos do dia anterior, ou seja,
Estamos perante uma progressão geométrica de razão 0,5, logo temos uma situação de crescimento exponencial decrescente.
Utilizando o termo geral de uma progressão geométrica encontramos o modelo desta situação:
Através da calculadora gráfica, verificamos graficamente que a praga de mosquitos decresce rapidamente, tendendo a desaparecer. Através da tabela verificamos que, ao fim de 20 dias, o número de mosquitos é aproximadamente 0,76, pelo que se considera que a praga já está extinta.
Modelo de crescimento exponencial contínuo
Um modelo de crescimento exponencial contínuo é dado por
- se r > 1 , P(t) aumenta à medida que t aumenta (crescimento)
- se 0 < r < 1 , P(t) diminui à medida que t aumenta (decrescimento)
Alternativamente, o modelo exponencial contínuo também pode ser apresentado da seguinte forma:Assim, um modelo de crescimento exponencial contínuo não é mais do que uma função exponencial com equação , 𝑎, 𝑏∈ℝ (ou 𝑦=𝑎×𝑒^𝑏𝑥 )
O seu gráfico é uma curva:
Função decrescente
Função crescente
Exemplo 3
O crescimento e uma população animal é dada pelo seguinte modelo exponencial: em que Pt representa o número de animais ao fim de t anos, P0 representa a população animal inicial ( no instante t = 0) e o valor e chama-se número de Neper ou número de Euler e é um número irracional cujo valor é aproximadamente 2,718281828. 1. Supondo que P0 = 500, qual é a população ao fim de 10 anos? 2. Ao fim de quanto tempo será a população de 50.000 animais?
Resolução
Exemplo 4
Na tabela seguinte foram registados alguns valores da concentração de um medicamento (em miligramas por litro), após a sua administração (em horas):
Com o auxílio da calculadora gráfica:
- Represente o conjunto de dados através de uma nuvem de pontos
Introduzem-se os valores da tabela nas listas da calculadora:e de seguida representa-se graficamente
2. Determine o modelo de regressão exponencial, de equação que se ajusta à nuvem de pontos. Indique os valores de a e de b com aproximação às milésimas. A partir dos valores introduzidos
obtendo o modelo de crescimento exponencial
3. Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos.
Questão 1: Estime o valor da concentração do medicamento na corrente sanguínea um dia depois da sua administração. No modelo determinado,
basta substituir o valor da variável independente, 𝑥, por 24 (1 dia corresponde a 24 horas), pois nesta situação o tempo desempenha o papel da variável independente, sendo a concentração a variável dependente:
A concentração deverá ser, aproximadamente, de 0,25 mg/l
Questão 2: Estime ao fim de quanto tempo, após a administração, a concentração do medicamento na corrente sanguínea é de 5 mg/l.
Ao fim de, aproximadamente, 6 horas atinge-se essa concentração
Modelo linear versus modelo exponencial
Taxa de crescimento de uma população
Dado que a dimensão de uma população tem tendência a alterar-se com o passar do tempo, uma das formas de "medir" essa mudança é feita através daquilo a que se chama por taxa de crescimento, que nos dá a percentagem de aumento ou diminuição da população em estudo num determinado intervalo de tempo.
Definição:
Modelo de crescimento logarítmico
Antes de estudarmos o modelo de crescimento logarítmico, precisamos de saber um pouco sobre logaritmos. Consideremos a equação . Qual é o valor de x para o qual . Não é difícil verificar que 3^4 = 81 e, portanto, o expoente que procuramos tem o valor 4. Dizemos que 4 é o logaritmo, na base 3, de 81 e escreve-se,
Definição
Logaritmo de um número positivo y, em determinada base a (positiva e diferente de 1), é o expoente a que é preciso elevar a base para obter y. Então Em geral, temos que:
Mas como calcular o valor de ?De uma das seguintes formas:
- Com a calculadora: a máquina apenas possui duas funções para o cálculo dos logaritmos:
• Base 10: log • Base e : ln Como existem logaritmos em qualquer base (positiva e diferente de 1), podemos convertê-los em logaritmos de base 10 ou de base e para mais facilmente os podermos calcular. Para isso, basta fazer: Agora, podemos facilmente usar a calculadora, pois:O modelo logarítmico contínuo, em qualquer base, pode ser dado por: onde k e h são constantes reais e p é um número real positivo (diferente de 1) Outra configuração habitual envolve apenas o logaritmo de base e:
O seu gráfico é uma curva:
Exemplo 1
Os dados da tabela referem-se ao crescimento médio de um certo tipo de árvore num pomar, plantadas com 1 ano:
Com o auxílio da calculadora gráfica:
- Represente o conjunto de dados através de uma nuvem de pontos.
- Determine o modelo de regressão logarítmico, de equação
que se ajusta à nuvem de pontos. Indique os valores de a e de b com aproximação às milésimas. 3. Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontosResolução do exemplo 1 com recurso às calculadoras TI82 STAT; TI83; TI84 Plus
- Represente o conjunto de dados através de uma nuvem de pontos
Introduzem-se os valores da tabela nas listas da calculadora:e de seguida representa-se graficamente
2. Determine o modelo de regressão logarítmica, de equação que se ajusta à nuvem de pontos. Indique os valores de a e de b com aproximação às milésimas. A partir dos valores introduzidos
obtendo o modelo de crescimento logarítmico
3. Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos.
Resolução do exemplo 1 com recurso à calculadora TI-Nspire
1. Apresente um conjunto de dados através de uma nuvem de pontos Introduzem se os valores nas listas da calculadora: E de seguida representa-se graficamente
Escrever Idade e enter Escrever altura e enter Menu → 6: Estatística → 1: Cálculos estatísticos → B: Regressão logarítmica Obtendo modelo de crescimento logarítmico 𝑦=1,6114+1,9183× ln𝑡
3. Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos
Clique na tecla menu: Selecione 1. Tipo de Gráfico Selecione 6. Regressão Selecione 9. Mostrar logaritmíca
Questão 1: Estime a altura de uma árvore desta espécie ao fim de 15 anos. No modelo determinado
basta substituir o valor da variável independente, 𝑥, por 15, pois nesta situação a idade desempenha o papel da variável independente, sendo a altura a variável dependente:
A altura da árvore deverá ser, aproximadamente, de 6,8 metros.
Questão 2: Estime ao fim de quantos anos a altura das árvores poderá ser em média, de 8 metros.
Resolução do exercício com recurso às calculadoras TI82; TI83; TI84
Ao fim de, aproximadamente, 28 anos.
Questão 2: Estime ao fim de quantos anos a altura das árvores poderá ser em média, de 8 metros.
Resolução do exercício com recurso à calculadora TI-Nspire
Clicar na tecla Doc →Inserir →selecionar 4 Gráfico → Com o cursor em Selecionar a função f1 Posteriormente inserir a função f2
Menu → 6 Analisar gráfico → 4 interseção (movimentar as retas de forma a conterem o ponto de intersecção)
Modelo de crescimento logístico
Por volta do ano de 1944, a guarda-costeira americana transferiu uma população de cerca de 30 renas para uma ilha no estreito de Bering com habitat favorável. Passados 20 anos, verificou-se que a população de renas tinha tido um crescimento exponencial e era agora de cerca de 6000 animais. Pouco depois e em consequência da falta de espaço e de alimentos, a população de renas entrou em colapso. Esta situação é um exemplo de que o crescimento exponencial não é viável em termos ilimitados. Para mudar este crescimento existem duas opções: aumentar a mortalidade (impensável se em causa estiverem populações humanas) ou diminuir a natalidade. Um modelo mais realista de crescimento populacional é o modelo de crescimento logístico. É o modelo mais adequado quando a taxa de crescimento de uma população não é constante. Vejamos então como evolui este tipo de crescimento.
Um modelo de crescimento logístico pode ser dado por:
Assim, um modelo logístico contínuo não é mais do que uma função logística com equação
O seu gráfico é uma curva com o seguinte formato:
Exemplo 1
A Margarida vai casar-se. E o que era para ser um segredo, propagou-se rapidamente na aldeia de Roseiral. O número de pessoas que tinham conhecimento do segredo t horas depois de o primeiro grupo de pessoas saber é dado (milhares) pelo modelo:
1. Quantas pessoas sabiam inicialmente do segredo? 2. Quantas pessoas sabem do segredo ao fim de cinco horas? 3. Quantas pessoas souberam do segredo durante a 5.ª hora? E na 20.ª hora? E na 50.ª hora? Comenta os valores obtidos. 4. Ao fim de quanto tempo o segredo se torna conhecido por 500 habitantes da aldeia? 5. À medida que as horas vão passando, mais pessoas vão sabendo do segredo, até que toda a aldeia o saberá. Quantos habitantes tem a aldeia?
Resolução
1. O que pretendemos é calcular P(t) no início da contagem, isto é, para t=0:
donde, inicialmente, 12 pessoas (0,012 milhares = 12 pessoas) sabem o segredo.
2. Ao fim de cinco horas, t = 5, teremos:
Logo, passadas cinco horas, cerca de 32 pessoas conhecem o segredo.
3. Colocamos a expressão analítica da função na calculadora e observamos a tabela de valores para os valores pretendidos.
Para saber quantas pessoas souberam do segredo durante a 5ª hora basta fazer: P(5) – P(4) = 0,03173 – 0,02618 = 0,00555 ( cerca de 6 pessoas) Para saber quantas pessoas souberam do segredo durante a 20ª hora basta fazer: P(20) – P(19) = 0,34875 – 0,31252 = 0,03623 ( cerca de 36 pessoas) Para saber quantas pessoas souberam do segredo durante a 50ª hora basta fazer: P(50) – P(49) = 0,73001 – 0,72957 = 0,00044 ( não chega a uma pessoa)
4. Como 500 habitantes corresponde a 0,5 milhares, pretendemos calcular:
Com o auxílio da calculadora, podemos resolver graficamente esta equação. Introduzimos as funções (a variável x representa a variável independente t ):
e determinamos a sua interseção.
Assim, o valor de t para o qual P(t) = 0,5 é ,isto é, ao fim de aproximadamente 24 horas e 19 minutos, 500 habitantes da aldeia conhecem o segredo.
5. O objetivo é calcular P(t) para valores cada vez mais elevados de t e verificar em que valor P(t) tende a estabilizar:
P(300) = 0,732
P(0) = 0,012
P(100) = 0,732
P(200) = 0,732
P(50) = 0,730
Facilmente se observa que, à medida que o tempo passa, a população tende a estabilizar no valor 0,732. Podemos concluir que a aldeia tem uma população aproximada de 732 habitantes.
O gráfico de um modelo de crescimento logístico tem aproximadamente a forma de um “S” e contempla três fases distintas: • Crescimento lento (inicialmente): fase de adaptação • Crescimento rápido: fase de reprodução ou propagação • Crescimento muito lento: fase de estabilização ou de equilíbrio.
No caso concreto do exemplo da Margarida: • 1ª fase – crescimento lento: o segredo vai-se espalhando lentamente porque há ainda poucas pessoas que sabem; • 2ª fase – crescimento rápido: a propagação do segredo é cada vez mais rápida porque cada vez mais pessoas o sabem e o transmitem; • 3ª fase – crescimento muito lento: visto que o número de pessoas que ainda não sabe o segredo já é muito pequeno.
Podemos afirmar que, num modelo de crescimento logístico, quando uma população está distante do seu limite de crescimento, a tendência é que essa população cresça de forma exponencial, mas, à medida que se aproxima do seu limite, a sua taxa de crescimento abranda e a dimensão da população estabiliza.
Chama-se modelo de crescimento logístico quando a cada geração (medição) a população aumenta ou diminui segundo a sua capacidade de reprodução e a capacidade do habitat onde está inserida.
Exemplo 2
Numa floricultura foi feito um estudo com túlipas e registou-se o número de flores desta espécie que floresceram em cada dia. A tabela que se segue contém os dados recolhidos:
Com o auxílio da calculadora gráfica:
- Represente o conjunto de dados através de uma nuvem de pontos.
- Determine o modelo de regressão logístico, de equação
que se ajusta à nuvem de pontos. Indique os valores de a, de b e de c com aproximação às milésimas. 3. Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos- Represente o conjunto de dados através de uma nuvem de pontos
Introduzem-se os valores da tabela nas listas da calculadora:e de seguida representa-se graficamente
2. Determine o modelo de regressão logístico, de equação, , que se ajusta à nuvem de pontos. Indique os valores de 𝑎, 𝑏 e de 𝑐 com uma aproximação às milésimas. A partir dos valores introduzidos
obtendo o modelo de crescimento logístico:
3. Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos.
Questão 1: Estime o número de túlipas existentes ao fim de 15 dias.
No modelo determinado
basta substituir o valor da variável independente, 𝑥, por 15, pois nesta situação o número de dias desempenha o papel da variável independente, sendo o número de túlipas a variável dependente:
O número de túlipas será, aproximadamente, 28.
Questão 2: Estime ao fim de quanto tempo, o número de túlipas atingiu as 10 flores (resultado em dias e horas)
Ao fim de, aproximadamente, 2,67 dias ou 2 dias e 16 horas, floriram 10 túlipas.