Capítulo 4. Introducción a la probabilidad

Introducción a Probabilidad

8 febrero de 2023 Evaluación de Riesgos

Probabilidad

Medida numérica de la posibilidad de que un evento ocurra

Cercana a 1

Cercana a 0

Altamente probable que un evento ocurra

Poco probable que un evento ocurra

Experimento

Proceso que genera resultados bien definidos. Ocurre uno y solo uno de los resultados posibles del experimento

Resultados posibles del experimento

Espacio muestral

Probabilidad como una medida numérica de la posibilidad de que un evento ocurra

Incremento de la probabilidad de ocurrencia

0.5

Probablidad

Que el evento ocurra es tan probable como improbable

Ejemplos de experimento

S = { cara, cruz }

Lanzamiento de una moneda

S = { 1,2,3,4,5,6 }

Lanzamiento de un dado

S = Espacio muestral

Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones

Experimento pasos múltiples

Esta regla aplica a experimentos de más de un paso. Ejemplo: El experimento de lanzar dos monedas

4 resultados experimentales posibles

S = { HT}, {HH}, {TH}, {HT}

Lanzamiento de dos monedas

H = Cara T = Cruz

Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones

Experimento pasos múltiples

Regla de conteo para experimento de pasos múltiples Si un experimento se describe como una secuencia de k pasos con n1 resultados posibles en el primer paso, n2 resultados posibles en el segundo paso, y así sucesivamente, el número total de resultados del experimento está dado por (n1)(n2)... (nk)

Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones

Experimento pasos múltiples

Ejemplo: El experimento de lanzar dos monedas

4 resultados experimentales posibles

S = { HT}, {HH}, {TH}, {HT}

Lanzamiento de dos monedas

Primer intento = 2 posibles resultados Segundo intento = 2 posibles resultados S = (2)(2) = 4

H = Cara T = Cruz

Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones

Representación gráfica que ayuda a visualizar un experimento de pasos múltiples

Diagrama de árbol

Ejemplo: El experimento de lanzar dos monedas

Resultados experimentales

Paso 2: Segundo lanzamiento

Paso 1: Primer lanzamiento

Ejercicio - Experimento pasos múltiples

Un experimento consta de tres pasos con tres resultados posibles para el primer paso, dos resultados posibles para el segundo paso y cuatro para el tercer paso. ¿Cuántos resultados experimentales existen?

5 minutos

Ejercicio - Experimento pasos múltiples

Paso 1 n1

Paso 2 n2

n1 = (3) n2 = (2) n3 = (4) S = n1 * n2 * n3 S = (3*2*4) S = 24

Paso 3 n3

Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones

Combinaciones

Regla de conteo para combinaciones Permite contar el número de resultados cuando el experimento consiste en la selección de n objetos de un conjunto (generalmente mayor) de N objetos

Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones

Combinaciones

El número de combinaciones de N objetos tomados n a la vez es

N! = N(N - 1) (N - 2 ) ....(2)(1) n! = n (n - 1) (n - 2) .....(2)(1) Por definición 0! =1

N! n! (N- n) !

N n

N n

La notación ! significa factorial Ejemplo: 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120

Ejemplo combinaciones

Procedimiento de control de calidad en el cual el inspector selecciona al azar de dos a cinco partes para buscar defectos. En un grupo de 5 partes, ¿Cuántas combinaciones de dos partes pueden seleccionarse?

N! n! (N- n) !

N n

N n

Ejemplo combinaciones

Procedimiento de control de calidad en el cual el inspector selecciona al azar de dos a cinco partes para buscar defectos. En un grupo de 5 partes, ¿Cuántas combinaciones de dos partes pueden seleccionarse?

N = 5 n = 2

N! n! (N- n) !

N n

N n

5! 2! (5- 2) !

(5)(4)(3)(2)(1) (2)(1)(3)(2)(1)

120 12

5 2

10

5 2

5 2

10

Ejercicio combinaciones

¿De cuántas maneras pueden seleccionarse tres elementos de un grupo de 6? Utilice las letras A,B,C,D,E y F para identificar los elementos y elabore una lista de las distintas combinaciones de tres elementos.

5 minutos

Solución - Ejercicio combinaciones

¿De cuántas maneras pueden seleccionarse tres elementos de un grupo de 6? Utilice las letras A,B,C,D,E y F para identificar los elementos y elabore una lista de las distintas combinaciones de tres elementos.

N = 6 n = 3

N! n! (N- n) !

N n

N n

6! 3! (6- 3) !

(6)(5)(4)(3)(2)(1) (3)(2)(1)(3)(2)(1)

720 36

6 3

20

6 3

6 3

20

Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones

Permutaciones

Un experimento produce más permutaciones que combinaciones para el mismo número de objetos, debido a que cada selección de n objetos se ordena n! de maneras distintas

El número de permutaciones de N objetos tomados n a la vez es

N! (N- n) !

N n

N n

n!

Ejemplo permutaciones

Procedimiento de control de calidad en el cual el inspector selecciona al azar de dos a cinco partes para buscar defectos. En un grupo de 5 partes, ¿Cuántas permutaciones de dos partes pueden seleccionarse?

N! (N- n) !

N n

N n

n!

Ejemplo permutaciones

N = 5 n = 2

Procedimiento de control de calidad en el cual el inspector selecciona al azar de dos a cinco partes para buscar defectos. En un grupo de 5 partes, ¿Cuántas permutaciones de dos partes pueden seleccionarse?

N! (N- n) !

N n

5! 3!

(5)(4)(3)(2)(1) (3)(2)(1)

120 6

5! (5- 2) !

20

5 2

5 2

20

Ejercicio permutaciones

¿De cuántas maneras pueden seleccionarse tres elementos de un grupo de 6? Utilice las letras A,B,C,D,E y F para identificar los elementos.

5 minutos

Ejercicio permutaciones

N = 6 n = 3

¿De cuántas maneras pueden seleccionarse tres elementos de un grupo de 6? Utilice las letras A,B,C,D,E y F para identificar los elementos

N! (N- n) !

N n

6! 3!

(6)(5)(4)(3)(2)(1) (3)(2)(1)

720 6

6! (6- 3) !

120

6 3

6 3

120

Asignación de probabilidades

Requisitos básicos

1. La probabilidad asignada a cada resultado experimental debe estar entre 0 y 1, inclusive si Ei denota el i-ésimo resultado del experimento y P(Ei) su probabilidad, entonces este requisito se escribe:

0≤P(Ei) ≤1 para toda i

Asignación de probabilidades

Requisitos básicos

2. La suma de las probabilidades para todos los resultados del experimento debe ser igual a 1. Para n resultados, este requisito se escribe como:

P(Ei) +P(E2)+.......P(En) = 1

Asignación de probabilidades

Método clásico

Es apropiado cuando todos los resultados del experimiento son igualmente probables. Si n resultados son posibles, una probabilidad de 1/n se asigna a cada resultado experimental. Se utiliza este método cuando los dos requisitos básicos para la asignación de probabilidades se cumplen de manera automática

Asignación de probabilidades

Podríamos concluir que los 6 resultados posibles, son igualmente probables. P(1) = 1/6= 0.1667 P(2)= 1/6= 0.1667 P(3)= 1/6= 0.1667 P(4)= 1/6= 0.1667 P(5)= 1/6= 0.1667 P(5)= 1/6= 0.1667

Ejemplo: Método clásico

Lanzamiento de un dado

P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=1 0.1667+0.1667+0.1667+0.1667+0.1667+0.1667=1

P(Ei) +P(E2)+.......P(En) = 1

0≤P(1) ≤1 = 0≤0.1667 ≤1, 0≤P(2) ≤1 = 0≤0.1667 ≤1,

0≤P(Ei) ≤1 para toda i

Asignación de probabilidades

Método frecuencia relativa

Es apropiado cuando los datos están disponibles para estimar la proporción del tiempo en que ocurrirá el resultado si el experimento se repite un gran número de veces. Se utiliza este método cuando los dos requisitos básicos para la asignación de probabilidades se cumplen de manera automática

Asignación de probabilidades

Estudio de los tiempos de espera en el departamento de rayos X para un hospital local. Un empleado registró el número de pacientes que esperan el servicio a las 9:00 a.m durante 20 días consecutivos y obtuvo los siguientes resultados:

Ejemplo: Frecuencia relativa

Estudio de los tiempos de espera del hospital

P(.10)+P(.25)+P(.30)+P(.20)+P(.16)=1 0.10+0.25+0.30+0.20+0.15=1

P(Ei) +P(E2)+.......P(En) = 1

0≤P(.10) ≤1 = 0≤0.10 ≤1, 0≤P(.25) ≤1 = 0≤0.25 ≤1, 0≤P(.30) ≤1 = 0≤0.30 ≤1, 0≤P(.20) ≤1 = 0≤0.20 ≤1, 0≤P(.15) ≤1 = 0≤0.15 ≤1,

0≤P(Ei) ≤1 para toda i

Asignación de probabilidades

Método subjetivo

Es apropiado cuando no se pueden asumir en forma realista que los resultados del experimento son igualmente probables y cuando se dispone de pocos datos relevantes. Se utiliza este método cuando los dos requisitos básicos para la asignación de probabilidades se cumplen de manera automática

Tom y Judy hacen una oferta para la compra de una casa. Hay dos resultados posibles: E1 = La oferta es aceptada; E2 = La oferta es rechazada Judy cree que la probabilidad de que su oferta sea aceptada es de 0.80, por lo tanto sería P(E1)= 0.80 P(E2)=0.20 Tom cree que la probabilidad de que su oferta de aceptada es de 0.60 por lo tanto: P(E1) = 0.60 P(E2) = 0.40

Asignación de probabilidades

Ejemplo: Método subjetivo

Oferta de compra de un inmueble

Judy

Tom

P(.80)+P(.20) =1 0.80 + 0.20 =1

P(.60)+P(.40) =1 0.60 + 0.40 =1

P(Ei) +P(E2)+.......P(En) = 1

P(Ei) +P(E2)+.......P(En) = 1

0≤P(.80) ≤1 = 0≤0.80 ≤1, 0≤P(.20) ≤1 = 0≤0.20 ≤1,

0≤P(.60) ≤1 = 0≤0.60 ≤1, 0≤P(.40) ≤1 = 0≤0.40 ≤1,

0≤P(Ei) ≤1 para toda i

0≤P(Ei) ≤1 para toda i

Asignación de probabilidades

Ejercicio

Suponga que un experimento tiene cinco resultados igualmente probables: E1, E2, E3, E4, E5. Asigne probabilidades a cada resultado y muestre que cumplen con los requisitos de las ecuaciones. (P(Ei) +P(E2)+.......P(En) = 1) y (0≤P(Ei) ≤1 para toda i), ¿Qué método utilizó?

5 minutos

Asignación de probabilidades

Solución Ejercicio

Suponga que un experimento tiene cinco resultados igualmente probables: E1, E2, E3, E4, E5. Asigne probabilidades a cada resultado y muestre que cumplen con los requisitos de las ecuaciones. (P(Ei) +P(E2)+.......P(En) = 1) y (0≤P(Ei) ≤1 para toda i), ¿Qué método utilizó?

Podríamos concluir que los 5 resultados posibles, son igualmente probables. P(1) = 1/5= 0.20 P(2)= 1/5= 0.20 P(3)= 1/5= 0.20 P(4)= 1/5= 0.20 P(5)= 1/5= 0.20

Experimento de 5 resultados igualmente probables

P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)=1 0.20+0.20+0.20+0.20+0.20+0.20=1

P(Ei) +P(E2)+.......P(En) = 1

0≤P(1) ≤1 = 0≤0.20 ≤1, 0≤P(2) ≤1 = 0≤0.20 ≤1, 0≤P(3) ≤1 = 0≤0.20 ≤1, 0≤P(4) ≤1 = 0≤0.20 ≤1, 0≤P(5) ≤1 = 0≤0.20 ≤1,

0≤P(Ei) ≤1 para toda i

Método utilizado : Método Clásico

Asignación de probabilidades

Ejercicio

Alguien que toma decisiones asignó de manera subjetiva las probabilidades siguientes a los cuatro resultados de un experimento: P(E1) = 0.10, P(E2)=0.15, P(E3)=0.40, y P(E4) = 0.20. ¿Son válidas estas asignaciones de probabilidad? Explique porqué

5 minutos

Asignación de probabilidades

Solución Ejercicio

Alguien que toma decisiones asignó de manera subjetiva las probabilidades siguientes a los cuatro resultados de un experimento: P(E1) = 0.10, P(E2)=0.15, P(E3)=0.40, y P(E4) = 0.20. ¿Son válidas estas asignaciones de probabilidad? Explique porqué

Podríamos concluir que los 5 resultados posibles, son igualmente probables. P(E1) = 0.10 P(E2) = 0.15 P(E3) = 0.40 P(E4) = 0.20

Experimento de 4 resultados asignados de manera subjetiva

P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=1 0.10+0.15+0.40+0.20 =0.85

P(Ei) +P(E2)+.......P(En) = 1

No son válidas las asignaciones, ya que sólo cumple una de las reglas de asignación. No cumple la regla que la suma de todas las probabilidades debe sumar 1

0≤P(1) ≤1 = 0≤0.10 ≤1, 0≤P(2) ≤1 = 0≤0.15 ≤1, 0≤P(3) ≤1 = 0≤0.40 ≤1, 0≤P(4) ≤1 = 0≤0.20 ≤1,

0≤P(Ei) ≤1 para toda i

Asignación de probabilidades

Ejercicio

5 minutos

Asignación de probabilidades

Solución Ejercicio

c) Instituciones donde la media de deuda de los graduados sea mayor a $30,000 = 2/8 La probabilidad de que escoja una institución donde la deuda media de los graduados sea mayor a $30,000 es de 0.25

a) La probabilidad de que un estudiante de Morehouse se haya graduado con deuda es del 0.94 o 94%.

b) Instituciones con % de deuda mayores al 60% = 5/8 La probabilidad de que una insitución tenga más de 60% de alumnos graduados con deuda es del 0.625

d) La probabilidad de que un graduado de Pace University no tenga deuda es del (1 - 0.74) = 0.26

Distribución de probabilidad normal

Curva normal

La forma de distribución normal de los datos se ilustra por medio de una curva con forma de campana. Está determinada por dos parámetros: media y desviación estándar

Distribución de probabilidad normal

Curva normal

El punto más alto de una curva normal es la media. La media de una distribución normal puede tener cualquier valor numérico: negativo, positivo o cero.

Distribución de probabilidad normal

Curva normal

La distribución normal es simétrica: la forma de la curva normal a la izquierda de la media es una imagen espejo de la forma de la curva derecha de la media. No están sesgadas. La desviación estándar determina que tan plana y ancha es la curva. Valores más altos de desviación estándar dan como resultado curvas más anchas y planas, mostrando mayor variabilidad entre los datos.

Distribución de probabilidad normal

Curva normal

Los porcentajes de valores de algunos intervalos de uso común son los siguientes: a) 68.3% de los valores de una variable aleatoria normal, se sitúan mas o menos a una desviación estándar de la media. b) el 95.4% de los valores se encuentran a dos desviaciones estándar de la media c) el 99.7% de los valores se encuentran a 3 desviaciones estándar de la media.