1.3 Teoremas y leyes de circuitos eléctricos

1.3

Teoremas y leyes de circuitos eléctricos

Circuito Eléctrico

• Un circuito eléctrico es un conjunto de componentes eléctricos interconectados que forman una trayectoria cerrada que permite el flujo de corriente eléctrica.
• Está compuesto por fuentes de energía (baterías o generadores), conductores (cables metálicos) y dispositivos eléctricos (focos, resistencias, capacitores e inductores).

Clasificación de circuitos eléctricos

Por su forma de interconexión hay:

• Circuito Serie.
• Circuito Paralelo.
• Circuito Mixto

Clasificación de circuitos eléctricos

Por los elementos que lo forman:

• Circuitos R.
• Circuito RC.
• Circuito RL.
• Circuito RLC.

Circuito Serie

Circuito Serie

En un circuito en serie, los componentes están conectados uno después del otro, de manera que solo comparten una de sus terminales. Si se desconecta un componente, todo el circuito se interrumpe y los demás componentes dejan de funcionar.

Resistencia equivalente en Serie

La resistencia total en un circuito en serie es la suma de las resistencias individuales de cada componente.

Resistencia equivalente en Serie

R1 = 3Ω

R2 = 15Ω

RS = 3 + 15 = 18Ω

Circuito Paralelo

Circuito Paralelo

En un circuito en paralelo, los componentes están conectados de manera que cada uno tiene su propio camino independiente para que la corriente fluya. Si un componente se desconecta o falla, los demás continúan funcionando.

Resistencia equivalente en Paralelo

La resistencia total en un circuito en paralelo es inversamente proporcional a la suma inversa de las resistencias individuales.

Resistencia equivalente en Paralelo

Rp = (6)(3)/(6+3)

Rp = 18/9 = 2Ω

3Ω

6Ω

Ley de Ohm

Ley de Ohm

La Ley de Ohm es un principio fundamental en la teoría de circuitos eléctricos, y establece la relación entre el voltaje (V), la corriente (I), y la resistencia (R) en un circuito eléctrico. La ecuación matemática de la Ley de Ohm es la siguiente:

Ley de Ohm. Despejes

• V es el voltaje en voltios (V).
• I es la corriente en amperios (A).
• R es la resistencia en ohms (Ω).

Ley de Ohm. Ejemplo 1

Supongamos que tenemos un circuito con una resistencia de 10Ω y se aplica un voltaje de 20V. Podemos usar la Ley de Ohm para calcular la corriente que fluye a través de la resistencia.

I =?

Ley de Ohm. Ejemplo 1

Resultado

Sustitución

Fórmula

Datos

I = (20)/10

I = 2A

I = V / R

• R = 10Ω
• V = 20v
• I = ???

Ley de Ohm. Ejemplo 2

Supongamos que tenemos un circuito con una corriente de 3A y se aplica un voltaje de 15V. Podemos usar la Ley de Ohm para calcular la resistencia del circuito:

R =?

V =15V

I =3A

Ley de Ohm. Ejemplo 2

Resultado

Sustitución

Fórmula

Datos

R = (15)/3

R = 5Ω

R = V / I

• I = 3A
• V = 15v
• R = ???

Leyes de Kirchoff

de Voltaje y de Corriente

Ley de Kirchoff de voltaje (LKV)

Establece que la suma algebraica de las caídas de voltaje en cualquier lazo cerrado de un circuito es igual a la suma algebraica de los voltajes suministrados en ese lazo. Es decir, la suma de las caídas de voltaje alrededor de cualquier lazo cerrado en un circuito debe ser igual a la suma de los voltajes suministrados en ese lazo.

Ley de Kirchoff de voltaje (LKV)

n: es el número de caídas de voltaje en el lazo.m: es el número de fuentes de voltaje en el lazo. Vi : son las caídas de voltaje en el lazo. Vj : son los voltajes suministrados en el lazo.

Considere el siguiente circuito en serie con dos resistencias, R1=5Ω y R2=3Ω, conectadas a una fuente de voltaje de V=12V. calcular las caídas de voltaje en R1 y R2 . Es decir, se pide calcular cuanto voltaje consume cada resistencia.

LVK. Ejemplo 1

VR1 = ?

VR2 = ?

R2 =3Ω

R1 =5Ω

V =12V

I =?

LKV. Ejemplo 1

Resultado

Sustitución

Fórmula

Datos

Usando la ley de Ohm (V=RI)

I = 1.5A

• R1 = 5Ω
• R2 = 3Ω
• V = 12v
• I = ???
• VR1 = ???
• VR2 = ???

VR1 = 7.5v

12-5I-3I=0

VR2 = 4.5v

Aplicamos la LKV

12-8I=0

I=-12/-8

I=1.5A

VR1=I.R1

VR1=(1.5)(5)

VR2=I.R2

VR2=(1.5)(3)

Ley de Kirchoff de corriente (LKI)

La Ley de Corrientes Kirchhoff, establece que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo en un circuito es igual a cero. En otras palabras, la cantidad total de corriente que fluye hacia un nodo debe ser igual a la cantidad total de corriente que sale del mismo.

Ley de Kirchoff de corriente (LKI)

n: es el número de corrientes que entran o salen del nodo.Ii : es la corriente en la i-ésima rama del nodo.

LKI. Ejemplo 1

Utilizando la ley de Kirchoff de corriente calcula las corriente I3 e I4.

LKI. Ejemplo 1

I1 e I2 entran al nodo a

I3 sale del nodo a

Por LKI la suma de las corrientes que entran es igual a la suma de las que salen, queda:

I1 + I2 = I3

2A + 3A = I3

I3 = 5A

LKI. Ejemplo 1

I3 e I5 entran al nodo b

I4 sale del nodo b

Por LKI la suma de las corrientes que entran es igual a la suma de las que salen, queda:

I3 + I5 = I4

5A + 1A = I4

I4 = 6A

Circuito Mixto

Circuitos Mixtos

Un circuito mixto es una configuración de los circuitos electricos y electrónicos que contienen algunas partes en serie y otras en paralelo, es decir, es una combinación de serie y paralelo.

Resistencia equivalente en Circuitos Mixtos

No existe una ecuación general para calcular la resistencia total en un circuito mixto. Lo que se hace es identificar bloques de elementos que estan serie o paralelo e irlos reduciendo de tal forma que se encontren circuitos equivalentes que sean mas sencillos. El proceso se repite hasta que quede una sola resistencia.

Resistencia equivalente en Circuitos Mixtos

Observamos que en el circuito hay 3 bloques que nombramos A,B y C

Resistencia equivalente en Circuitos Mixtos

Resolvemos los elementos en serie del bloque C. RC = R4 + R5 RC = 0.5 + 1.5 = 2Ω

Resistencia equivalente en Circuitos Mixtos

Resolvemos los elementos en paralelo del bloque B. RB = (R2)(R3)/(R2 + R3 ) RB = (4)(4)/(4 + 4) = 16/8=2Ω

Resistencia equivalente en Circuitos Mixtos

Resolvemos los elementos en paralelo entre los bloques B y C. RBC = (RB)(RC)/(RB + RC ) RBC = (2)(2)/(2 + 2) = 4/4 = 1Ω

Resistencia equivalente en Circuitos Mixtos

Resolvemos los elementos en serie entre R1 y RBC RT = R1 + RBC RT = 4 + 1 = 5Ω por ley de Ohm: IS = V/R IS = 10/5 IS = 2 A

Leyes de Kirchoff para circuitos Mixtos

Leyes de Kirchoff para Circuitos Mixtos

Se pide calcular las corrientes IS , IB , IC

Leyes de Kirchoff para Circuitos Mixtos

Aprovechamos los calculos de ejemplo anterior, por lo que sabemos que IS = 2 A.Por LKV: E = VR1 + VRBC Despejando: VRBC = E - VR1 VRBC = E - IR1 VRBC = 10 - (2)(4) VRBC = 2 v

Leyes de Kirchoff para Circuitos Mixtos

Del cálculo anterior y como el voltaje es el mismo para elementos en paralelo:VRB = VRC = 2 v

Leyes de Kirchoff para Circuitos Mixtos

Del cálculo anterior y como el voltaje es el mismo para elementos en paralelo:IB = VRB /RB IB = 2/2 = 1 A

Leyes de Kirchoff para Circuitos Mixtos

Por LKI:Is = IB + IC Despejando IC IC = IS - IB IC = 2 - 1 IC = 1 A

Regla del divisor de voltaje

Regla del divisor de Voltaje

En un circuito en serie, el voltaje en los elementos resistivos se dividirá en función de la magnitud de los niveles de resistencia.Matemáticamente:

donde:

• VX: Voltaje en la resistencia RX
• RT: Resistencia total en serie
• E: Voltaje de la fuente

Regla del divisor de Voltaje

Se pide calcular los voltajes VR1, VR2, VR3 consumidos por las resistencias R1, R2 y R3

Regla del divisor de Voltaje

Primero calculamos la RT en serie:RT = R1 + R2 + R3 RT = 2000 + 5000 + 8000 = 15000

Para el voltaje VR1 en la resistencia R1VR1 = (R1 / RT) * E VR1 = (2000 / 15000) * 45 VR1 = 6 v

Regla del divisor de Voltaje

Para el voltaje VR2 en la resistencia R2VR2 = (R2 / RT) * E VR2 = (5000 / 15000) * 45 VR2 = 15 v

Regla del divisor de Voltaje

Para el voltaje VR3 en la resistencia R3VR3 = (R3 / RT) * E VR3 = (8000 / 15000) * 45 VR3 = 24v

Regla del divisor de corriente

Regla del divisor de corriente

La regla del divisor de corriente determinará cómo se divide entre los elementos la corriente que entra a un conjunto de ramas paralelas.Matemáticamente:

donde:

• IX: Corriente en la resistencia RX
• RT: Resistencia total en paralelo
• I: corriente de entrada

Regla del divisor de Corriente

Se pide calcular las corrientes IR1, IR3 que pasan por las resistencias R1 y R2

Regla del divisor de Voltaje

Primero calculamos la RT en paralelo:RT = (R1R2 )/(R1 + R2) RT = ( 4000 * 8000)/(4000 + 8000) RT = 2666.66

Para la corriente I1 en R1I1 = (RT / R1 ) * I I1= (2666.66 / 4000) * 6 I1= 4 A

Regla del divisor de Voltaje

Para la corriente I2 en R2I2 = (RT / R2 ) * I I2= (2666.66 / 8000) * 6 I2= 2 A

Método de Mallas

Método de Mallas

Técnica de análisis de circuitos que proporciona procedimiento general para encontrar la corriente de cualquier elemento individual en un circuito mixto.

Se basa en los conceptos de malla y corriente de malla

• Malla: Trayectoria cerrada interna del circuito definida por los nodos.
• Corriente de Malla: Corriente conceptual que circula por una malla.

Mallas

También podemos considerar a las mallas como "ventanas" del circuito.

Corrientes de Malla

Como su nombre lo indica, las corrientes de malla son las corrientes conceptuales que "circulan" por cada malla.

En este ejemplo, hay 3 mallas por lo que también existen 3 corrientes de malla: I1, I2 e I3

Algoritmo del metodo de mallas

Por cada malla:

1. Dar una dirección a cada corriente de malla (preferentemente en el sentido de las manecillas del reloj)
2. Sumar las resistencias que pertenecen a la malla y multiplicando por la corriente de la malla actual.
3. Restar la resistencia compartida entre la malla actual y las otras mallas, multiplicandolas por la corriente de la malla con la que se comparte.
4. Igualar a ecuación resultante a la suma algebráica de las fuentes que pertenecen a la malla tomando en cuenta el sentido de las corrientes de malla.

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Dar una dirección a cada corriente de malla (preferentemente en el sentido de las manecillas del reloj)

M1

M2

I1

I2

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Para M1:

Sumar las resistencias que pertenecen a la malla y multiplicando por la corriente de la malla actual.

M1

(R1 + R3)I1

I1

I2

Sustituyendo valores de resistencias:

(2 + 4)I1 6I1

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Para M1:

Restar la resistencia compartida entre la malla actual y las otras mallas, multiplicandolas por la corriente de la malla con la que se comparte.

M1

I1

I2

Sustituyendo valores de resistencias:

6I1

-R3I2

6I1-4I2

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Igualar a ecuación resultante a la suma algebráica de las fuentes que pertenecen a la malla tomando en cuenta el sentido de las corrientes de malla para asignar el signo de la fuente. Como E1 es la unica fuente de M1:

Para M1:

M1

I1

I2

6I1-4I2

= E1

6I1-4I2 = 2

La fuente E1 queda positiva porque siguiendo el giro de I1 va de - a +

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Para M2:

Sumar las resistencias que pertenecen a la malla y multiplicando por la corriente de la malla actual.

M2

(R2 + R3)I2

I1

I2

Sustituyendo valores de resistencias:

(1 + 4)I2 5I2

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Para M2:

Restar la resistencia compartida entre la malla actual y las otras mallas, multiplicandolas por la corriente de la malla con la que se comparte.

M2

I1

I2

Sustituyendo valores de resistencias:

5I2

-R3I1

5I2-4I1

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Igualar a ecuación resultante a la suma algebráica de las fuentes que pertenecen a la malla tomando en cuenta el sentido de las corrientes de malla para asignar el signo de la fuente. Como E2 es la unica fuente de M2:

Para M2:

M2

I1

I2

5I2-4I1

= -E2

5I2-4I1 = -6

La fuente E2 queda negativa porque siguiendo el giro de I2 va de + a -

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Del análisis anterior se obtienen 2 ecuaciones y 2 incógnitas, lo cual es obvio ya que se tienen 2 mallas en este ejemplo.

6I1-4I2 = 2

-4I1+5I2 = -6

Se resuelve el sistema con algún método de álgebra lineal para obtener I1 e I2

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Definimos los determinantes del sistema:

| 6 2| |-4 -6|

| 2 -4| |-6 5|

I2 = ________

I1 = ________

| 6 -4| |-4 5|

| 6 -4| |-4 5|

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Resolvemos para I1:

(2)(5) - (-6)(-4) 10 - 24 -14

| 2 -4| |-6 5|

I1 = ________

= __________________ = ________ = ___ = -1A

(6)(5) - (-4)(-4) 30 - 16 14

| 6 -4| |-4 5|

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Resolvemos para I2:

(6)(-6) - (-4)(2) -36 + 8 -28

| 6 2| |-4 -6|

I2 = ________

= __________________ = ________ = ___ = -2A

(6)(5) - (-4)(-4) 30 - 16 14

| 6 -4| |-4 5|

Metodo de mallas. Ejemplo 2.

M1

M2

M3

Dar una dirección a cada corriente de malla (preferentemente en el sentido de las manecillas del reloj)

I3

I2

I1

Metodo de mallas. Ejemplo 2.

Para M1:

Sumar las resistencias que pertenecen a la malla y multiplicando por la corriente de la malla actual.

M1

(R1 + R2)I1

I1

Sustituyendo valores de resistencias:

(1 + 1)I1 2I1

Metodo de mallas. Ejemplo 2.

Para M1:

Restar la resistencia compartida entre la malla actual y las otras mallas, multiplicandolas por la corriente de la malla con la que se comparte.

M1 y M2

I1

I2

Sustituyendo valores de resistencias:

2I1

-R2I2

2I1-1I2

Metodo de mallas. Ejemplo 2.

Restar la resistencia compartida entre la malla actual y las otras mallas, multiplicandolas por la corriente de la malla con la que se comparte.

Para M1:

M1 y M3

I3

I1

2I1

+0I3

-1I2

Nota: Como no hay resistencia compartida entre M1 y M3 se coloca un 0

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Igualar a ecuación resultante a la suma algebráica de las fuentes que pertenecen a la malla tomando en cuenta el sentido de las corrientes de malla para asignar el signo de la fuente. E1 y E2son las fuentes de M1:

Para M1:

M1

I1

2I1-1I2+0I3

= E1-E2

2I1-1I2+0I3 = 2 - 4

2I1-1I2+0I3 = -2

La fuente E1 queda positiva porque siguiendo el giro de I1 va de - a +

La fuente E2 queda negativa porque siguiendo el giro de I1 va de + a -

Metodo de mallas. Ejemplo 2.

Para M2:

Sumar las resistencias que pertenecen a la malla y multiplicando por la corriente de la malla actual.

M2

(R2 + R3 + R4)I2

I2

Sustituyendo valores de resistencias:

(1 + 2 + 3)I2 6I2

Metodo de mallas. Ejemplo 2.

Para M1:

Restar la resistencia compartida entre la malla actual y las otras mallas, multiplicandolas por la corriente de la malla con la que se comparte.

M2 y M1

I1

I2

Sustituyendo valores de resistencias:

6I2

-R2I1

6I2-1I1

Metodo de mallas. Ejemplo 2.

Para M1:

Restar la resistencia compartida entre la malla actual y las otras mallas, multiplicandolas por la corriente de la malla con la que se comparte.

M2 y M3

I3

I2

6I2-1I1

-R4I3

Sustituyendo valores de resistencias:

6I2-1I1-3I3

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Igualar a ecuación resultante a la suma algebráica de las fuentes que pertenecen a la malla tomando en cuenta el sentido de las corrientes de malla para asignar el signo de la fuente. E2 es la única fuente de M2:

Para M2:

M2

I2

6I2-1I1-3I3

= E2

6I2-1I1-3I3 = 4

La fuente E2 queda positiva porque siguiendo el giro de I2 va de - a +

Metodo de mallas. Ejemplo 2.

Para M3:

Sumar las resistencias que pertenecen a la malla y multiplicando por la corriente de la malla actual.

M3

(R4 + R5)I3

I3

Sustituyendo valores de resistencias:

(3 + 4)I3 7I3

Metodo de mallas. Ejemplo 2.

Restar la resistencia compartida entre la malla actual y las otras mallas, multiplicandolas por la corriente de la malla con la que se comparte.

Para M3:

M3 y M1

I3

I1

7I3

+0I1

Nota: Como no hay resistencia compartida entre M3 y M1 se coloca un 0

Metodo de mallas. Ejemplo 2.

Para M3:

Restar la resistencia compartida entre la malla actual y las otras mallas, multiplicandolas por la corriente de la malla con la que se comparte.

M3 y M2

I3

I2

7I3+0I1

-R4I2

Sustituyendo valores de resistencias:

7I3+0I1-3I2

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Igualar a ecuación resultante a la suma algebráica de las fuentes que pertenecen a la malla tomando en cuenta el sentido de las corrientes de malla para asignar el signo de la fuente. E3 es la única fuente de M3:

Para M2:

M2

I2

7I3+0I1-3I2

= E3

7I3+0I1-3I2 = 2

La fuente E2 queda positiva porque siguiendo el giro de I2 va de - a +

Metodo de mallas. Ejemplo 2.

Del análisis anterior se obtienen 3 ecuaciones y 3 incógnitas, lo cual es obvio ya que se tienen 3 mallas en este ejemplo.

2I1-1I2+0I3 = -2

-1I1+6I2-3I3 = 4

0I1-3I2+7I3 = 2

Se resuelve el sistema con algún método de álgebra lineal para obtener I1, I2 e I3

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Definimos los determinantes del sistema:

| 2 -2 0| |-1 4 -3| | 0 2 7|

| 2 -1 -2| |-1 6 4| | 0 -3 2|

|-2 -1 0| | 4 6 -3| | 2 -3 7|

I2 = ___________

I3 = ___________

I1 = __________

| 2 -1 0| |-1 6 -3| | 0 -3 7|

| 2 -1 0| |-1 6 -3| | 0 -3 7|

| 2 -1 0| |-1 6 -3| | 0 -3 7|

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Resolvemos por Cramer el denominador. (Notemos que es el mismo para las tres incógnitas)

| 2 -1 0| |-1 6 -3| | 0 -3 7|

| 2 -1 0| 2 -1| |-1 6 -3|-1 6| | 0 -3 7| 0 -3|

Se duplican las dos primeras columnas

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Se multiplican los coeficientes que hacen triadas en diagonal descendente:

| 2 -1 0| 2 -1| |-1 6 -3|-1 6| | 0 -3 7| 0 -3|

(2)(6)(7)

+(-1)(-3)(0)

+(0)(-1)(-3)

84 + 0 + 0 = 84

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Se multiplican los coeficientes que hacen triadas en diagonal ascendente:

| 2 -1 0| 2 -1| |-1 6 -3|-1 6| | 0 -3 7| 0 -3|

(0)(6)(0)

+(-3)(-3)(2)

+(7)(-1)(-1)

0 + 18 + 7 = 25

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Se restan el resultado de las multiplicaciones descendentes menos el resultado de las multiplicaciones ascendentes para obtener el determinante:

84 - 25 = 59

Metodo de mallas. Ejemplo 1.

Resolvemos los demás determinantes para obtener las corrientes:

32

I1 = ___ = -0.54237 A

59

54

I2 = ___ = 0.915254 A

59

40

I3 = ___ = 0.677966 A

59

Método de Nodos

Método de Nodos

Técnica de análisis de circuitos que proporciona un procedimiento general para encontrar la diferencia de potencial entre un nodo y el nodo 0 (GND) en un circuito mixto.

Se basa en los conceptos de Nodo y voltajes de nodo

• Nodo: Punto del circuito donde se enlazan dos o mas elementos formando una nueva rama.
• Voltajes de nodo: Voltaje entre un nodo y GND.

Algoritmo del metodo de nodos

Por cada nodo:

1. Encontrar los nodos independientes. Asignar un voltaje de nodo.
2. Sumar las conductancias que pertenecen al nodo y multiplicando el resultado por el voltaje del nodo actual.
3. Restar la conductancia compartida entre nodo actual y otros nodos, multiplicando el resultado por el voltaje del nodo con el que se comparte.
4. Igualar a ecuación resultante a la suma algebráica de las fuentes de corriente que pertenecen al nodo tomando en cuenta el sentido indicado por la fuente (si entra al nodo es positiva, si sale del nodo es negativa).

Metodo de nodos. Ejemplo 1.

Identificar los nodos independientes incluyendo el nodo 0. Asignar un voltaje de nodo.

N1

N2

N3

Metodo de nodos. Ejemplo 1.

Sumar las conductancias que pertenecen al nodo y multiplicando el resultado por el voltaje del nodo actual

Para N1:

N1

(1/R1 + 1/R2 + 1/R3)V1

Sustituyendo valores de resistencias:

(1/10 + 1/2 + 1/2)V1 (11/10)V1

Metodo de nodos. Ejemplo 1.

Para N1:

Restar la conductancia compartida entre nodo actual y otros nodos, multiplicando el resultado por el voltaje del nodo con el que se comparte.

N1 y N2

-1/R2V2

(11/10)V1

Sustituyendo valores de las resistencias:

(11/10)V1-(1/2)V2

Metodo de nodos. Ejemplo 1.

Para N1:

Restar la conductancia compartida entre nodo actual y otros nodos, multiplicando el resultado por el voltaje del nodo con el que se comparte.

N1 y N3

(11/10)V1-(1/2)V2

-1/R3V3

Sustituyendo valores de las resistencias:

(11/10)V1-(1/2)V2-(1/10)V3

¡Muchas Gracias!