Números Complejos
¿Qué son?
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
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Operaciones
Resta y división
Suma y multiplicación
Potencias y raices
Aplicaciones
Ingeniería eléctrica
Informática
Economía
Física
Representación
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Historia de los Números Complejos
Los números complejos surgieron en el siglo XVI cuando los matemáticos se encontraron con el problema de resolver la raíz cuadrada de un número negativo 1. En ese momento, se trabajaba con expresiones que René Descartes llamaba números imaginarios. En 1777, el matemático suizo Leonhard Euler introdujo el símbolo i para representar la unidad imaginaria
Ingeniería eléctrica
¿Para qué sirve?
El análisis de circuitos es una rama de la ingeniería eléctrica que se ocupa del estudio y la comprensión de cómo funcionan los circuitos eléctricos. Un circuito eléctrico es un sistema de componentes eléctricos interconectados que permiten el flujo de corriente eléctrica. Los números complejos son herramientas esenciales en este campo.
Cuando se trabaja con corriente alterna (CA), que es común en muchos sistemas eléctricos, los números complejos son útiles para representar tanto la magnitud como la fase de las señales. Esto simplifica el análisis de la respuesta de un circuito a una señal alterna, ya que se pueden usar técnicas algebraicas y trigonométricas de manera más eficiente.
Representación en un eje de Números Reales(Eje x) e Imaginarios(Eje y)
Representación en un eje cartesiano
La resta de números complejos se realiza de manera similar a la resta de expresiones algebraicas, teniendo en cuenta tanto la parte real como la parte imaginaria. La forma estándar de un número complejo es a+bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.
La división de números complejos se realiza de manera similar a la división de expresiones algebraicas. La forma estándar de un número complejo es a+bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.
Para potenciar los números complejos hay que tener en cuenta que solo existen 4 posibles soluciones a i^n: +- i o +- 1
Calcular raíces cuadradas, cúbicas u otras raíces de números complejos se puede hacer utilizando la fórmula de Moivre, que se basa en la identidad trigonométrica de De Moivre. Aquí te muestro cómo se calculan las raíces cuadradas como ejemplo:
Dado un número complejo z=a+bi, su forma polar se expresa como (cos
+ sin)
r(cosθ+isinθ), donde r es la magnitud de z y θ es el argumento de z.
Física
¿Para qué sirven?
Los fenómenos cuánticos se refieren a los comportamientos y fenómenos observados en el ámbito de la mecánica cuántica, una rama de la física que estudia el comportamiento de partículas subatómicas. Aquí, los números complejos también desempeñan un papel crucial.Algunos fenómenos cuánticos notables incluyen: 1. Superposición: Las partículas cuánticas, como electrones y fotones, pueden existir en múltiples estados al mismo tiempo, conocidos como superposición cuántica. 2. Dualidad onda-partícula: Las partículas cuánticas exhiben comportamientos tanto de partículas como de ondas. Este fenómeno se manifiesta en el principio de dualidad onda-partícula. 3. Principio de incertidumbre: Formulado por Werner Heisenberg, establece que no se puede conocer simultáneamente con precisión la posición y el momento (cantidad de movimiento) de una partícula.
Informática
Gráficos:
En el contexto de gráficos computacionales, los números complejos a menudo se utilizan para representar puntos en el plano complejo. La relación entre la parte real e imaginaria de un número complejo se puede asociar con las coordenadas X e Y en un sistema de coordenadas. Esto es especialmente útil en la generación de fractales, donde se utilizan iteraciones de fórmulas que involucran números complejos para crear patrones visualmente interesantes y recursivos. Además, en el diseño de juegos y gráficos por computadora, los números complejos pueden ser empleados para manipular transformaciones geométricas.
¿Para qué sirve?
Procesamiento de señales:
El procesamiento de señales implica la manipulación, análisis y transformación de señales para extraer información útil. Estas señales pueden ser de naturaleza eléctrica, acústica, óptica o cualquier otra forma de onda. En este campo, los números complejos son comúnmente utilizados para representar señales en el dominio de la frecuencia, mediante la transformada de Fourier. Esta herramienta matemática permite analizar el contenido espectral de una señal y es esencial en áreas como la comunicación, la medicina (imágenes médicas), y el procesamiento de audio y video.
Economía
¿Para qué sirve?
Se pueden usar modelos para representar cómo diferentes variables como la oferta y la demanda, tasas de interés y niveles de inversión están interrelacionadas y cómo cambian en respuesta a diversas condiciones. Los números complejos pueden entrar en juego al analizar fenómenos económicos que tienen componentes tanto reales como imaginarios.
Para sumar números complejos, se separan las dos partes, la real y la imaginaria. Después se suman las partes reales y las imaginarias.
Para multiplicar números complejos es igual qu epor ejemplo multiplicar en una ecuación con dos incognitas todo por todo pero en el resultado la parte imaginaria separada de la real
Bibliografía
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwin1Nz8-vuDAxXjhf0HHa0mCfYQFnoECBoQAw&url=https%3A%2F%2Fwww.ferrovial.com%2Fes%2Fstem%2Fnumeros-complejos%2F&usg=AOvVaw1OwDqiryTv7ce174QpT04O&opi=89978449
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=video&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjz0tCW-_uDAxWp7rsIHQRsDKoQtwJ6BAgSEAI&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DLqyBrrgmIro&usg=AOvVaw0DO6dVp-r1NP_ylS-3crTd&opi=89978449
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=video&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjz0tCW-_uDAxWp7rsIHQRsDKoQtwJ6BAgUEAI&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DnudZJB-wQGk&usg=AOvVaw1vq9BsutTSiHiy0H4dfhjx&opi=89978449
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwi8i5jA-_uDAxW4fKQEHYmcA_sQFnoECBUQAQ&url=https%3A%2F%2Fes.wikipedia.org%2Fwiki%2FN%25C3%25BAmero_complejo&usg=AOvVaw23Ha5HpaMhbCbspx0zij4T&opi=89978449
https://www.problemasyecuaciones.com/complejos/numeros-complejos-imaginarios-forma-polar-trigonometrica-binomica-ejemplos-problemas.html
Representación de los números complejos
Forma Trigonométrica
Forma Binómica
Forma Polar
Números Complejos
Sma Sma
Created on January 8, 2024
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Números Complejos
¿Qué son?
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
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Operaciones
Resta y división
Suma y multiplicación
Potencias y raices
Aplicaciones
Ingeniería eléctrica
Informática
Economía
Física
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Historia de los Números Complejos
Los números complejos surgieron en el siglo XVI cuando los matemáticos se encontraron con el problema de resolver la raíz cuadrada de un número negativo 1. En ese momento, se trabajaba con expresiones que René Descartes llamaba números imaginarios. En 1777, el matemático suizo Leonhard Euler introdujo el símbolo i para representar la unidad imaginaria
Ingeniería eléctrica
¿Para qué sirve?
El análisis de circuitos es una rama de la ingeniería eléctrica que se ocupa del estudio y la comprensión de cómo funcionan los circuitos eléctricos. Un circuito eléctrico es un sistema de componentes eléctricos interconectados que permiten el flujo de corriente eléctrica. Los números complejos son herramientas esenciales en este campo. Cuando se trabaja con corriente alterna (CA), que es común en muchos sistemas eléctricos, los números complejos son útiles para representar tanto la magnitud como la fase de las señales. Esto simplifica el análisis de la respuesta de un circuito a una señal alterna, ya que se pueden usar técnicas algebraicas y trigonométricas de manera más eficiente.
Representación en un eje de Números Reales(Eje x) e Imaginarios(Eje y)
Representación en un eje cartesiano
La resta de números complejos se realiza de manera similar a la resta de expresiones algebraicas, teniendo en cuenta tanto la parte real como la parte imaginaria. La forma estándar de un número complejo es a+bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.
La división de números complejos se realiza de manera similar a la división de expresiones algebraicas. La forma estándar de un número complejo es a+bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.
Para potenciar los números complejos hay que tener en cuenta que solo existen 4 posibles soluciones a i^n: +- i o +- 1
Calcular raíces cuadradas, cúbicas u otras raíces de números complejos se puede hacer utilizando la fórmula de Moivre, que se basa en la identidad trigonométrica de De Moivre. Aquí te muestro cómo se calculan las raíces cuadradas como ejemplo: Dado un número complejo z=a+bi, su forma polar se expresa como (cos + sin) r(cosθ+isinθ), donde r es la magnitud de z y θ es el argumento de z.
Física
¿Para qué sirven?
Los fenómenos cuánticos se refieren a los comportamientos y fenómenos observados en el ámbito de la mecánica cuántica, una rama de la física que estudia el comportamiento de partículas subatómicas. Aquí, los números complejos también desempeñan un papel crucial.Algunos fenómenos cuánticos notables incluyen: 1. Superposición: Las partículas cuánticas, como electrones y fotones, pueden existir en múltiples estados al mismo tiempo, conocidos como superposición cuántica. 2. Dualidad onda-partícula: Las partículas cuánticas exhiben comportamientos tanto de partículas como de ondas. Este fenómeno se manifiesta en el principio de dualidad onda-partícula. 3. Principio de incertidumbre: Formulado por Werner Heisenberg, establece que no se puede conocer simultáneamente con precisión la posición y el momento (cantidad de movimiento) de una partícula.
Informática
Gráficos: En el contexto de gráficos computacionales, los números complejos a menudo se utilizan para representar puntos en el plano complejo. La relación entre la parte real e imaginaria de un número complejo se puede asociar con las coordenadas X e Y en un sistema de coordenadas. Esto es especialmente útil en la generación de fractales, donde se utilizan iteraciones de fórmulas que involucran números complejos para crear patrones visualmente interesantes y recursivos. Además, en el diseño de juegos y gráficos por computadora, los números complejos pueden ser empleados para manipular transformaciones geométricas.
¿Para qué sirve?
Procesamiento de señales: El procesamiento de señales implica la manipulación, análisis y transformación de señales para extraer información útil. Estas señales pueden ser de naturaleza eléctrica, acústica, óptica o cualquier otra forma de onda. En este campo, los números complejos son comúnmente utilizados para representar señales en el dominio de la frecuencia, mediante la transformada de Fourier. Esta herramienta matemática permite analizar el contenido espectral de una señal y es esencial en áreas como la comunicación, la medicina (imágenes médicas), y el procesamiento de audio y video.
Economía
¿Para qué sirve?
Se pueden usar modelos para representar cómo diferentes variables como la oferta y la demanda, tasas de interés y niveles de inversión están interrelacionadas y cómo cambian en respuesta a diversas condiciones. Los números complejos pueden entrar en juego al analizar fenómenos económicos que tienen componentes tanto reales como imaginarios.
Para sumar números complejos, se separan las dos partes, la real y la imaginaria. Después se suman las partes reales y las imaginarias.
Para multiplicar números complejos es igual qu epor ejemplo multiplicar en una ecuación con dos incognitas todo por todo pero en el resultado la parte imaginaria separada de la real
Bibliografía
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https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=video&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjz0tCW-_uDAxWp7rsIHQRsDKoQtwJ6BAgSEAI&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DLqyBrrgmIro&usg=AOvVaw0DO6dVp-r1NP_ylS-3crTd&opi=89978449
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=video&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjz0tCW-_uDAxWp7rsIHQRsDKoQtwJ6BAgUEAI&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DnudZJB-wQGk&usg=AOvVaw1vq9BsutTSiHiy0H4dfhjx&opi=89978449
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwi8i5jA-_uDAxW4fKQEHYmcA_sQFnoECBUQAQ&url=https%3A%2F%2Fes.wikipedia.org%2Fwiki%2FN%25C3%25BAmero_complejo&usg=AOvVaw23Ha5HpaMhbCbspx0zij4T&opi=89978449
https://www.problemasyecuaciones.com/complejos/numeros-complejos-imaginarios-forma-polar-trigonometrica-binomica-ejemplos-problemas.html
Representación de los números complejos
Forma Trigonométrica
Forma Binómica
Forma Polar