Probabilitat 1BATX CCSS

PROBABILITAT 4ESO + 1BATX CCSS

PROPIETATS DE LA PROBABILITAT

EXPERIMENT

REGLA DE LAPLACE

Determinista

Favorables/possiblesrecompte

Aleatori

Diagrama d'arbre

Esdeveniments independents

ESPAI MOSTRAL

PROBABILITAT COMPOSTA

Esdeveniments dependents

Elemental

Compost

ESDEVENIMENT o SUCCÈS

EXERCICIS RESOLTS 2a part

Segur

PROBABILITAT CONDICIONADA

Impossible

UNIÓ

TEOREMA DE LA PROBABILITAT TOTAL

PROPIETATS

INTERSECCIÓ

EXERCICIS RESOLTS 3a part

EXERCICIS RESOLTS 1a part

DIFERÈNCIA

TEOREMA DE BAYES

@GemmaAlbaladejo

CONTRARI

Què és la probabilitat?

La probabilitat apareix quan es plantejen diferents possiblitats i no tenim la certesa de quina succeirà.

ESDEVENIMENTS INDEPENDENTS Dos esdeveniments A i B són independents si la probabilitat de B no canvia quan se sap que ha ocorregut A.

Experiment:

Procediment sotmès a cert control que permet obtenir uns resulats.

Experiment deterministaÉs aquell que, en repetir-lo amb les mateixes condicions, sempre dona el mateix resultat. La suma dels angles d'un triangle és sempre 180º

Experiment aleatoriÉs aquell que, en repetir-lo amb les mateixes condicions, no podem predir el resultat. El resultat està subjecte a la incertesa. Es llença una moneda a l'aire pot sortir cara o creu.

RECOMPTE favorables/possibles

Esdeveniment o succès elementalSubconjunt amb un únic element Es llença un dau i que surti un 3. S1={3} Es llença un dau i que surti un 5. S2={5}

Esdeveniment o succès compostSubconjunt amb divensos elements. Es llença un dau i que surtin els tres primers nombres. S3={1,2,3}

INTERSECCIÓ d'esdeveniments o succesos

La intersecció de dos succesos A i B està formada pels elements que pertanyen simultàneament a A i a B. Es representa: A B S'expressa: A B = { x E | x A i x B } Si en llençar un dau E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Surt un nombre parell A = {2, 4, 6} Surt un nombre primer B = {2, 3, 5} El succès d'obetnir un nombre parell i un nombre primer és A B = {2} A i B són compatibles perquè tenen elements comuns. Si A i B no tenen elements comuns, són mútuament excloents o incompatibles A B =

TEOREMA DE BAYESSi coneixem: P(A1), P(A2), P(A3),... P(An) P(An)P(B/A1), P(B/A2), P(B/A3),...P(B/An) I són un sistema complet d'esdeveniments: - La probabilitat de cadascun dels esdeveniments és diferent de 0.- Els esdeveniments són incompatibles dos a dos. Ai Aj = - La unió de tots els esdeveniments és igual a l'espai mostral.Aleshores:

Esdeveniment o Succès

Qualsevol subconjunt de l'espai mostral d'un experiment aleatori.

Espai mostral d'un experiment aleatori

És el conjunt de tots els possibles resultats d'un experiment aleatori. S'expressa E oQuan el llença un dau, l'espai mostral és E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Quan una caixa conté 4 peces, dues de les quals son defectuoses. Es proven les peces una a una fins que apareix una defectuosa. E = { D, BD, BBD} Quan seleccionem dos routers i mirem si compleix les especificacions técniques o no. E = {SS, SN, NS, NN }

Esdeveniment o succès segurSempre succeeix. Conté tots els elements possibles i coincideix amb l'espai mostral. Es llença un dau i que surti qualsevol nombre. S5={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Esdeveniment o succès impossibleMai succeeix. No pertany a l'espai mostral. Es llença un dau i que surti el nombre 7. ={7}

PROPIETATS de les operacions amb esdeveniments o succesos

UNIÓ d'esdeveniments o succesos

La unió de dos succesos A i B està formada pels elements d'A i els elements de B. Es representa: AUB S'expressa: AUB = { x E | x A o x B } Si en llençar un dau E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Surt un nombre parell A = {2, 4, 6} Surt un nombre primer B = {2, 3, 5} El succès d'obetnir un nombre parell o un nombre primer és AUB = {2, 3, 4, 5, 6}

Un esdeveniment o succès contrari a A té lloc quan no ocorre A. Està format pels elements de l'Espai mostral que no són A. Es representa: A Si en llençar un dau E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Surt un nombre parell A = {2, 4, 6} El contrari a A: A = {1, 3, 5}

TEOREMA DE LA PROBABILITAT TOTALSi coneixem: P(A1), P(A2), P(A3),... P(An) P(B/A1), P(B/A2), P(B/A3),...P(B/An) I són un sistema complet d'esdeveniments: - La probabilitat de cadascun dels esdeveniments és diferent de 0.- Els esdeveniments són incompatibles dos a dos. Ai Aj = - La unió de tots els esdeveniments és igual a l'espai mostral.Aleshores:

REGLA DE LAPLACE.Considerant: - L'espai mostral està format per un nombre finit d'elements que es coneixen prèviament. - Tots els resultats de l'experiment aleatori són igualment probables. Aleshores:

Si en llençar un dau E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Surt un nombre parell A = {2, 4, 6} P(A)= 3/6 = 1/2

PROPIETATS de la PROBABILITAT

ESDEVENIMENT COMPATIBLE: Que surti un nombre primer i que surti un nombre parell {2} ESDEVENIMENT INCOMPATIBLE: Que surti un nombre senar i que surti un nombre parell. P(A B) =

Diagrama d'arbre

Representació que ens permet trobar l'Espai mostral.

E = {CC, C+, +C, ++}

ESDEVENIMENTS DEPENDENTS Dos esdeveniments A i B són dependents si la probabilitat de B canvia quan se sap que ha ocorregut A.

PROBABILITAT CONDICIONADADonats dos esdeveniments A i B, amb P(B)>0 la P(A/B) és la probabilitat que ocorri A havent ocorregut B. Es representa:

Si en llençar un dau E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Surt un nombre parell A = {2, 4, 6} Surt un nombre primer B = {2, 3, 5} El succès d'obtenir un nombre parell sabent que és un nombre primer és P(A/B) = 1/3

PROBABILITAT COMPOSTAS'obté quan es combinen diferents experiments simples de forma consecutiva, com ara llençar una moneda i un dau o treure tres cartes d'una baralla. Alhora de fer el recompte de casos possibles i faborables és molt útil utilitzar un diagrama d'arbre. La probabilitat d'un camí es calcula multiplicant les probabilitats de les seves branques. La probabilitat d'un esdeveniment es calcula sumant les probabilitats dels camins en els que succeeix. La suma de les probabilitats de tots els camins és sempre 1.

DIFERÈNCIA d'esdeveniments o succesos

La diferència entre el succès A i el succès B es representa A - B i està formada pels elements que són en A, però no en B. S'expressa: A - B = { x E | x A i x B } Si en llençar un dau E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Surt un nombre parell A = {2, 4, 6} Surt un nombre primer B = {2, 3, 5} El succès d'obetnir un nombre parell o un nombre primer és A - B = {4, 6}