Geometria

GEOMETRIA

L. GERMANO & F. RITROVATO

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GEOMETRIA EUCLIDEA

GLI ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALIUn ente geometrico fondamentale è una entità di base della geometria euclidea. Negli Elementi di Euclide, gli enti geometrici fondamentali vengono introdotti senza definizione e sono assunti come intuitivi. Essi sono il punto, la retta ed il piano.

POSTULATI DI APPARTENENZA

1. Il piano è un insieme di punti. Le rette sono sottinsiemi del piano.
2. A una retta appartengono almeno due punti distinti.
3. Nel piano esistono almeno tre punti che non appartengono alla stessa retta.
4. Due punti distinti appartengono entrambi a una retta e a una sola.

POSTULATI D'ORDINE

1. Se A e B sono due punti distinti di una retta, o A precede B oppure B precede A.
2. Se A precede B e B precede C, allora A precede C.
3. Preso un punto A su una retta, c'è almeno un punto che precede A e uno che segue A.
4. Presi due punti B e C su una retta, con B che precede C, c'è almeno un punto A della retta che segue B e precede C.

A B C

B A C

A segue B e A precede C

A precede B; B precede C → A precede C

FIGURE E PROPRIETÀ

SEMIRETTE Su una retta orientata consideriamo un punto P: chiamiamo semiretta di origine P l'insieme del punto P e di tutti i punti che lo precedono, oppure l'insieme del punto P e di tutti quelli che lo seguono. SEGMENTI Su una retta orientata consideriamo i punti A e B, con A che precede B. Il segmento di estremi A e B è l'insieme dei punti A e B e dei punti della retta che seguono A e precedono B. SEMIPIANI Considerata una retta r di un piano, un semipiano di origine r è l'insieme dei punti di r e di uno dei due insiemi in cui il piano è diviso da r. FIGURE CONVESSE, FIGURE CONCAVE Una figura è convessa se, presi due suoi punti qualsiasi, questi sono sempre estremi di un segmento tutto contenuto nella figura. In caso contrario, la figura è concava. ANGOLI In un piano consideriamo le semirette a e b con la stessa origine V. Un angolo di vertice V e lati a e b è l'insieme dei punti delle semirette a e b e di una delle due parti in cui esse dividono il piano.

LINEE, POLIGONALI, POLIGONI

CIRCONFERENZA Dati su un piano i punti C e P, la circonferenza di centro C e raggio CP è l'insieme di punti del piano che hanno da C distanza uguale a quella di P POLIGONALI Una poligonale o spezzata è un insieme di segmenti tale che:

• ogni segmento è consecutivo ma non adiacente al successivo,
• ogni estremo dei segmenti appartiene al massimo a due di essi.

POLIGONI Un poligono è l'insieme dei punti di una poligonale chiusa e non intrecciata e di tutti i suoi punti interni.

POLIGONALI

POLIGONO

CIRCONFERENZA

PUNTO MEDIO E BISETTRICE

PUNTO MEDIO Il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti congruenti. BISETTRICE La bisettrice di un angolo è la semiretta che lo divide in due angoli congruenti.

ANGOLI

ANGOLO RETTO L'angolo retto è la metà di un angolo piatto. ANGOLO ACUTOL'angolo acuto è minore di un angolo retto. ANGOLO OTTUSOL'angolo ottuso è maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto. ANGOLI COMPLEMENTARI Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto. ANGOLI SUPPLEMENTARI Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto. ANGOLI ESPLEMENTARIDue angolo sono esplementari se la loro somma è un angolo giro.

LUNGHEZZE E AMPIEZZE

LUNGHEZZA La lunghezza di un segmento è la classe di equivalenza della relazione di congruenza fra segmenti, a cui appartiene il segmento. DISTANZA FRA DUE PUNTI La distanza fra due punti è la lunghezza del segmento che congiunge i due punti. AMPIEZZA L'ampiezza di un angolo è la classe di equivalenza della relazione di congruenza fra angoli a cui appartiene l'angolo.

I TRIANGOLI

CLASSIFICAZIONE

CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI LATITRIANGOLO EQUILATERO Un triangolo è equilatero se ha i tre lati congruenti. TRIANGOLO ISOSCELE Un triangolo è isoscele se ha due lati congruenti. TRIANGOLO SCALENO Un triangolo è scaleno se non ha lati congruenti.

CLASSIFICAZIONE RISPETTO AGLI ANGOLI TRIANGOLO ACUTANGOLO Un triangolo è acutangolo se ha tutti gli angoli acuti. TRIANGOLO RETTANGOLO Un triangolo è rettangolo se ha un angolo retto. TRIANGOLO OTTUSANGOLO Un angolo è ottusangolo se ha un angolo ottuso.

PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO ISOSCELE

TEOREMA DEL TRIANGOLO ISOSCELE Un triangolo alla base ha gli angoli alla base congruenti. TEOREMA INVERSO DEL TRIANGOLO ISOSCELE Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele. CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PER IL TRIANGOLO ISOSCELE Affinché un triangolo sia isoscele è necessario e sufficiente che abbia due angoli congruenti. BISETTRICE, MEDIANA E ALTEZZA NEL TRIANGOLO ISOSCELE In un triangolo isoscele la bisettrice dell'angolo al vertice è anche mediana e altezza relativa alla base.

CRITERI DI CONGRUENZA

PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso. SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e gli angoli ad esso adiacenti. TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA Due triangolo sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati.

DISUGUAGLIANZE NEI TRIANGOLI

ANGOLI ESTERNI E ANGOLI INTERNI In un triangolo, un angolo esterno è maggiore di ognuno degli angoli interni che non gli sono adiacenti. LATO MAGGIORE E ANGOLO MAGGIORE In un triangolo, a lato maggiore è opposto angolo maggiore. LATO MAGGIORE E ANGOLO MAGGIORE - TEOREMA INVERSO In un triangolo, ad angolo maggiore è opposto lato maggiore DISUGUAGLIANZA FRA I LATI In un triangolo, ogni lato è:

1. minore della somma degli altri due;
2. maggiore della loro differenza.