sistemi di riferimento inerziali e non inerziali
indice
1. La cinematica dei moti relativi
2.Un nuovo enunciato per il primo principio della dinamica
3. Il secondo principio della dinamica e le forze apparenti
4. Il principio di relatività galileiana
la cinematica dei moti relativi
nella cinematica per specificare la posizione di un corpo è necessario utilizzare un sistema di riferimento. Poichè la scelta del sistema di riferimento non è univoca può accadere che uno stesso oggetto risulti in moto rispetto a un certo sistema di riferimento e fermo rispetto a un altro
la composizione delle grandezze cinematiche per sistemi di riferimento che traslano
spostamento
consideriamo un sistema di riferimento cartesiano S di origine O, e un secondo sistema di riferimento S' di origine O', che trasla rispetto S
arriviamo quindi alla legge sulla composizione degli spostamenti per sistemi di riferimento che traslano. Lo spostamento Δr di un corpo rispetto a un sistema di riferimento S è uguale alla somma dello spostamento Δr' del corpo rispetto a un sistema di riferimento S', che trasla rispetto S, e dello spostamento ΔrO' di S'rispetto a S:
Δr=Δr'+ΔrO'
LA COMPOSIZIONE DELLE GRANDEZZE CINEMATOICHE PER SISTEMI DI RIFERIMENTO CHE TRASLANO
velocità
la quantità v=Δr/Δt è la velocità di P rispetto al sistema S, mentre la quantità v'=Δr'/Δt è la velocità di P rispetto al sistema S'. Il rapporto vT=ΔrO/Δt è la velocità con cui il sitema S' si muove rispetto a S, detta velocità di trascinamento. Arriviamo alla legge per la composizione delle velocità per sistemi di riferimento che traslano. La velocitò v di un corpo rispetto a un sistema di riferimento S è la somma della velocità v' del corpo rispetto a un sistema di riferimento S', che trasla rispetto a S, e della velocità di trascinamento vT di S' rispetto S:v=v'+vT
LA COMPOSIZIONE DELLE GRANDEZZE CINEMATOICHE PER SISTEMI DI RIFERIMENTO CHE TRASLANO
accelerazione
la velocità con cui si muove P e la velocità con cui il sistema S' trasla rispetto a S non sono costanti nel tempo. Arriviamo alla legge per la composizione delle accelerazioni per sistemi di riferimento che tralano. L'accelerazione a di un corpo rispetto a un sistema di riferimento S è la somma dell'accelerazione a' del corpo rispetto a un sistema di riferimento S', che trasla rispetto a S, e dell'accelerazione aT di S' rispetto a S:a=a'+aTL'accelerazione aT con cui S' trasla rispetto a S è detta accelerazione di trascinamento. Il moto rettelineo uniforme rispetto a S' è anche un moto rettilineo uniforme rispetto a S se e solo se S' si muove con una velocità costante rispetto S.
la composizione delle grandezze cinematiche per sistemi di riferimento che ruotano
Il moto relativo di un sistema rispetto a un altro può essere di rotazione invece che di traslazione. consideriamo i sistemi di riferimento S e S' aventi origine in comune e assi z e z' coincidenti. Supponiamo che S' ruoti inotrno all'asse z' con velocità ancgolare ω e costante. Indichiamo con r' e v' la posizone e la velocità di un oggetto puntiforme P rispetto al sistema di riferimento S'. Studieremo i casi in cui il corpo si muove sul piano x-y, perpendicolare all'asse di rotazione. Si può dimostrare il seguente risultato. La composizione delle velocità per sistemi di riferimento che ruotano è:v=v'+vTdove il termine vT è la velocità di trascinamento del sistema S' rispetto a S
La velocità del corpo in S è uguale alla somma vettoriale della sua velocità v' in S' e della velocità di trascinamento vT
Poichè il moto di S' rispetto a S è circolare uniforme, nell'immagine ha:-modulo pari a vT=ω r' -direzione perpendicolare al vettore posizione r' -stesso verso di rotazione del sistema S'
LA COMPOSIZIONE DELLE GRANDEZZE CINEMATICHE PER SISTEMI DI RIFERIMENTO CHE RUOTANO
Per le accelerazioni si dimostra il seguente risultato. La composizione delle accelerazioni per sistemi di riferimento che ruotano è:a=a'+aC+aCOdove a' è l'accelerazione del corpo rispetto al sistema S', aC è l'accelerazione centripeta e aCO è l'accelerazione di Coriolis. -aC ha modulo ω^2r' ed è diretta verso il centro di rotazione. -aCO ha modulo pari a 2ωv', direzione perpendicolare a v' e verso uguale al verso di rotazione del sistema S' se il corpo si sta allontanando dal centro (immagine A), opposto al verso di rotazione di S' se il corpo si sta avvicinando al centro (immagine B).
L'accelerazione di Coriolis è diversa da 0 solo se il corpo si muove rispetto al sistema S' (v'≠0) e deriva dal fatto che se la distanza del corpo dal centro di rotazione varia, allora varia anche la componente della sua velocità lungo la direzione tangenziale.
un nuovo enunciato per il primo principio della dinamica
il primo principio afferma che la velocità di un corpo è costante se e solo se la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla. Questa formulazione del primo principio, detta anche legge d'inerzia, è un caso particolare del secondo principio della dinamica e presenta i seguenti punti critici.-Quando si afferma che un corpo si muove di moto rettilineo uniforme occorre anche specificare rispetto a quale sistema di riferimento si osserva il moto. L'accelerazione di un corpo dipende dal sistema di riferimento e un moto può essere rettilineo uniforme rispetto a un sistema e accelerato rispetto a un altro. Questo enunciato del primo principio è pertanto incompleto, in quanto non specifica rispetto a quale sistema di riferimento viene osservato il moto. -Se applichiamo il primo principio della dinamica così formulato ad alcune situazioni reali, ci accorgiamo che non è sempre verificato. Per esempio, consideriamo un oggetto liscio, come un blocco di ghiaccio, appoggiato sul pavimento di un autobus in movimento con velocità costante. Per esperienza, sappiamo che se l'autobus frena bruscamente, il blocco di ghiaccio scivola in avanti. -Per un osservatore fermo a terra, il blocco di ghiaccio continua a muoversi di moto rettilineo uniforme come prima della frenata e si sposta in avanti sul pavimento perché la velocità dell'autobus in frenata diventa minore di quella del blocco di ghiaccio. Per l'osservatore fermo a terra, il fenomeno è in accordo con la legge di inerzia. -Per un passeggero fermo sull'autobus, invece, il ghiaccio inizia improvvisamente a muoversi in avanti con un moto accelerato di un'accelerazione uguale e opposta a quella dell'autobus. Tuttavia, il passeggero non può individuare la forza responsabile di questa accelerazione perché la forza dei freni agisce solo sull'autobus e non sull'oggetto. Per l'osservatore sull'autobus, il fenomeno non è in accordo con la legge di inerzia. La legge di inerzia non è quindi valida in tutti i sistemi di riferimento
un nuovo enunciato per il primo principio della dinamica
Per riformulare il primo principio della dinamica dividiamo i sistemi di riferimento in due categorie: quelli nei quali vale la legge d'inerzia e quelli nei quali questa legge non è valida.Definiamo sistema di riferimento inerziale un sistema di riferimento nel quale vale la legge d'inerzia, ovvero un sistema rispetto al quale la velocità di un corpo è costante se e solo se la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla. Se un sistema di riferimento S è inerziale, allora qualsiasi altro sistema in moto rettilineo uniforme rispetto a S è a sua volta inerziale. -Se un corpo su cui non agiscono forze si muove di moto rettilineo uniforme nel sistema S, allora si muove di moto rettilineo uniforme anche in qualsiasi altro sistema di riferimento che si muove con velocità costante rispetto a
S (aT = 0). -Viceversa, un sistema S' che si muove di moto accelerato rispetto a S (aT ≠ 0) non può essere inerziale in quanto un moto rettilineo uniforme rispetto a S sarà visto come un moto accelerato rispetto a S’. Sono inerziali tutti e soli i sistemi di riferimento che sono in moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema inerziale dato. Potremmo pensare di enunciare il primo principio affermando che in un sistema di riferimento inerziale, la velocità di un corpo è costante se e solo se la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla. Questo enunciato non contiene alcuna legge fisica in quanto in un sistema di riferimento inerziale un corpo non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme come conseguenza della definizione stessa di sistema inerziale. L'enunciato precedente pertanto non può costituire un principio fisico.
un nuovo enunciato per il primo principio della dinamica
Cerchiamo di basare l'enunciato su un risultato sperimentale verificato. Sperimentalmente si verifica che entro una certa approssimazione, la Terra e tutti i sistemi di riferimento solidali a essa possono essere considerati inerziali. Se si migliora la precisione delle misure o se gli esperimenti sono condotti su distanze grandi e tempi lunghi, ci si accorge che in realtà la Terra non è un sistema di riferimento inerziale. Per trovare un sistema che verifichi meglio la condizione di sistema inerziale possiamo utilizzare un sistema con il centro nel Sole e gli assi rivolti verso le stelle, detto sistema delle stelle fisse. Con la sensibilità degli esperimenti condotti fino a oggi possiamo affermare che un sistema di questo tipo è inerziale. È però possibile che in futuro, con il continuo miglioramento delle tecniche di misura, anche per questo sistema non risulti verificata in modo esatto la condizione di sistema inerziale. È sempre possibile trovare un sistema che verifica la condizione di sistema inerziale, entro gli errori sperimentali. Il risultato di queste osservazioni sperimentali ci porta a riformulare il primo principio della dinamica nel modo seguente.Nuovo enunciato per il primo principio della dinamica: In natura esiste almeno un sistema di riferimento inerziale. È importante fare subito alcune osservazioni su questo nuovo enunciato: -il primo principio della dinamica non è più un caso particolare del secondo principio -per quanto detto, il fatto che esista un sistema di riferimento inerziale implica che ne esistano infiniti, tutti in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro -il primo principio della dinamica, come tutti i principi della dinamica, ha un fondamento sperimentale. Finché non si eseguono misure di grande precisione e non sono coinvolti moti su lunga distanza o di lunga durata, la Terra può essere considerata con ottima approssimazione come un sistema inerziale.
Il secondo principio della dinamica e le forze apparenti
Il secondo principio afferma che un corpo di massa m su cui agisce una forza risultante F si muove con un'accelerazione a tale che:F= maQuesto enunciato non è valido in tutti i sistemi di riferimento. Riprendiamo l'esempio del blocco di ghiaccio appoggiato sul pavimento dell'autobus in frenata. Poiché la forza peso del blocco è equilibrata dalla reazione vincolare del pavimento e poiché abbiamo supposto che l'attrito tra blocco e pavimento sia trascurabile, la risultante delle forze che agiscono sul blocco di ghiaccio è nulla. -In un sistema di riterimento fisso rispetto a terra, e quindi supposto inerziale, durante la frenata il blocco di ghiaccio continua a muoversi di moto rettilineo uniforme, in accordo con il secondo principio della dinamica. -In un sistema di riferimento solidale rispetto all'autobus in frenata, e quindi non inerziale, il blocco di ghiaccio si mette in movimento con un'accelerazione non nulla senza che su di esso agisca alcuna forza, in disaccordo con il secondo principio della dinamica.
Nuovo enunciato per il secondo principio della dinamica: In un sistema di riferimento inerziale, un corpo di massa m su cui agisce una forza risultante F si muove con un accelerazione a tale che:F = ma
Il secondo principio della dinamica e le forze apparenti
sistemi non inerziali che traslano
Poiché molti sistemi di riferimento non sono inerziali, occorre trovare un modo per risolvere i problemi di meccanica nei sistemi di riferimento non inerziali
Secondo principio della dinamica per i sistemi non inerziali che traslano: In un sistema di riferimento non inerziale che trasla con un'accelerazione costante aT rispetto a un sistema inerziale, un corpo di massa m su cui agisce una forza F si muove con un'accelerazione a’ tale che:F'+ FT = ma’ Il termine FT =-maT prende il nome di forza apparente di trascinamento.
È importante sottolineare che la forza apparente di trascinamento è solamente un termine che occorre aggiungere alle forze per poter scrivere il secondo principio della dinamica nei sistemi non inerziali. Se si lavora in un sistema inerziale, aT= 0 e di conseguenza questo termine non compare.
Il secondo principio della dinamica e le forze apparenti
sistemi non inerziali che ruotano
Per trovare una formulazione del secondo principio della dinamica valida nei sistemi di riferimento che ruotano, procediamo in modo analogo a quanto fatto per i sistemi che traslano.
Secondo principio della dinamica per i sistemi non inerziali che ruotano:In un sistema di riferimento non inerziale che ruota con velocità angolare costante e rispetto a un sistema inerziale, un corpo di massa m su cui agisce una forza F si muove con un'accelerazione a' tale che:F + Fcf + FCO= ma’Il termine Fcf =-maC prende il nome di forza centrifuga, il termine FCO=-maCO è detto forza di Coriolis. Entrambi i termini corrispondono a forze apparenti.
-La forza centrifuga Fcf=-mac ha modulo pari a Fcf= mac = mw^2r e ha la stessa direzione dell'accelerazione centripeta, ma verso opposto. Si tratta quindi di una forza apparente diretta dal centro verso l'esterno della circonferenza e, per questo motivo, viene detta forza centrifuga. -La forza di Coriolis FCO =- maCO ha modulo pari a FCO = maCO = 2mwv', dove v' è il modulo della velocità del corpo rispetto al sistema S'. La forza di Coriolis ha la stessa direzione dell'accelerazione di Coriolis, ma verso opposto. È quindi sempre perpendicolare al vettore velocità v' e ha verso uguale al verso di rotazione del sistema S' se il corpo si avvicina al centro di rotazione, mentre ha verso opposto al verso di rotazione se il corpo si allontana dal centro.
È possibile scrivere il secondo principio della dinamica in una forma valida anche nei sistemi di riferimento non inerziali, purché, oltre alle forze vere e proprie, si introducano le forze apparenti. A differenza delle forze vere, le forze apparenti: -non derivano dall'interazione tra corpi ma dal moto relativo di un sistema non inerziale rispetto a un sistema inerziale; -poiché non sono dovute all'interazione tra corpi non verificano il terzo principio della dinamica -non sono presenti nei sistemi inerziali -sono proporzionali alla massa inerziale del corpo su cui agiscono.
Il principio di relatività galileiana
Qualsiasi esperimento di meccanica condotto nelle stesse condizioni in un qualunque sistema di riferimento inerziale conduce agli stessi risultati.Si può perciò concludere che se i risultati degli esperimenti sono gli stessi, allora le leggi che descrivono i fenomeni fisici nei diversi sistemi di riferimento inerziali devono essere le stesse.Principio di relatività galileiana Le leggi della meccanica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali
il principio di relatività galileiana
L'equivalenza dei sistemi inerziali
è bene fare alcune precisazioni sul principio di relatività galleiana. -Anche se le equazioni che descrivono i fenomeni meccanici sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali, questo non implica che una grandezza debba avere lo stesso valore in tutti i sistemi inerziali. -In base al principio di relatività galileiana tutti i sistemi inerziali sono equivalenti rispetto ai fenomeni meccanici e quindi non esiste un sistema privilegiato o assoluto rispetto a cui scrivere le leggi della meccanica. -Il principio di relatività galileiana riguarda i soli fenomeni meccanici.
Il principio di relatività galileiana
Il principio di relatività galileiana permette di determinare un insieme di trastormazioni rispetto a cui le leggi della meccanica rimangono inalterate: le trasformazioni di Galileo. Consideriamo i sistemi di riterimento inerziali S e S', con S' in moto rettilineo uniforme con velocità v rispetto a S. Per semplicita supponiamo che il moto di S' avvenga lungo l'asse x e che all'istante iniziale t = 0 le due origini O e O' e dei sistemi di riterimento coincidano.
Le trasformazioni di Galileo
otteniamo un'espressione per le trasformazioni di Galileo per componenti:
x'=x-vt y'=y z'=z t'=t
Il principio di relatività galileiana
grandezze invarianti nei sistemi di riferimento inerziali
Il principio di relatività galileiana e le trasformazioni di Galileo permettono di stabilire quali quantita devono restare costanti in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
Consideriamo un'asta rigida di estremi A e B e supponiamo che all'istante di tempo t i suoi estremi si trovino nei punti di coordinate (xA; yA) e (xB;yB) rispetto al sistema di riferimento inerziale S. La lunghezza dell'asta nel sistema S è:
l=√(xB-xA)^2+(yB-yA)^2
Prendiamo ora un secondo sistema inerziale S', che si muove con velocità di modulo v diretta lungo l'asse x rispetto a S. Applicando le trasformazioni di Galileo troviamo che gli estremi dell'asta rispetto al sistema S' hanno coordinate (xA-vt;yA) e (xB-vt;yB). La lunghezza dell'asta nel sistema S' è quindi:
l'=√ (x'B-x'A)^2+(y'B-y'A)^2= √ [xB-vt-(xA-vt)]^2+(yB-yA)^2
l'=√(xB-xA)^2+(yB-yA)^2=l
Svolgendo i calcoli otteniamo:
La lunghezza è quindi una quantità inavriante nei sistemi di riferimento inerziali
Anche l'accelerazione di un corpo è invariante per le trasformazioni di Galileo. Infatti,dati due sistemiinerziali S e S’, l'accelerazione di un sistema rispetto all'altro è nulla (aT=0) e la legge di composizione delle accelerazioni assume la forma:
a=a'+aT => a=a'
Dal secondo principio della dinamica, possiamo scrivere la massa come rapporto tra la forza che agisce su un corpo e l'accelerazione del corpo:
m=F/a
Possiamo concludere che anche la massa di un corpo è invariante per le trasformazioni di Galileo.
sistemi di riferimento inerziali e non inerziali
Giorgia Giovine
Created on January 2, 2024
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sistemi di riferimento inerziali e non inerziali
indice
1. La cinematica dei moti relativi
2.Un nuovo enunciato per il primo principio della dinamica
3. Il secondo principio della dinamica e le forze apparenti
4. Il principio di relatività galileiana
la cinematica dei moti relativi
nella cinematica per specificare la posizione di un corpo è necessario utilizzare un sistema di riferimento. Poichè la scelta del sistema di riferimento non è univoca può accadere che uno stesso oggetto risulti in moto rispetto a un certo sistema di riferimento e fermo rispetto a un altro
la composizione delle grandezze cinematiche per sistemi di riferimento che traslano
spostamento
consideriamo un sistema di riferimento cartesiano S di origine O, e un secondo sistema di riferimento S' di origine O', che trasla rispetto S
arriviamo quindi alla legge sulla composizione degli spostamenti per sistemi di riferimento che traslano. Lo spostamento Δr di un corpo rispetto a un sistema di riferimento S è uguale alla somma dello spostamento Δr' del corpo rispetto a un sistema di riferimento S', che trasla rispetto S, e dello spostamento ΔrO' di S'rispetto a S:
Δr=Δr'+ΔrO'
LA COMPOSIZIONE DELLE GRANDEZZE CINEMATOICHE PER SISTEMI DI RIFERIMENTO CHE TRASLANO
velocità
la quantità v=Δr/Δt è la velocità di P rispetto al sistema S, mentre la quantità v'=Δr'/Δt è la velocità di P rispetto al sistema S'. Il rapporto vT=ΔrO/Δt è la velocità con cui il sitema S' si muove rispetto a S, detta velocità di trascinamento. Arriviamo alla legge per la composizione delle velocità per sistemi di riferimento che traslano. La velocitò v di un corpo rispetto a un sistema di riferimento S è la somma della velocità v' del corpo rispetto a un sistema di riferimento S', che trasla rispetto a S, e della velocità di trascinamento vT di S' rispetto S:v=v'+vT
LA COMPOSIZIONE DELLE GRANDEZZE CINEMATOICHE PER SISTEMI DI RIFERIMENTO CHE TRASLANO
accelerazione
la velocità con cui si muove P e la velocità con cui il sistema S' trasla rispetto a S non sono costanti nel tempo. Arriviamo alla legge per la composizione delle accelerazioni per sistemi di riferimento che tralano. L'accelerazione a di un corpo rispetto a un sistema di riferimento S è la somma dell'accelerazione a' del corpo rispetto a un sistema di riferimento S', che trasla rispetto a S, e dell'accelerazione aT di S' rispetto a S:a=a'+aTL'accelerazione aT con cui S' trasla rispetto a S è detta accelerazione di trascinamento. Il moto rettelineo uniforme rispetto a S' è anche un moto rettilineo uniforme rispetto a S se e solo se S' si muove con una velocità costante rispetto S.
la composizione delle grandezze cinematiche per sistemi di riferimento che ruotano
Il moto relativo di un sistema rispetto a un altro può essere di rotazione invece che di traslazione. consideriamo i sistemi di riferimento S e S' aventi origine in comune e assi z e z' coincidenti. Supponiamo che S' ruoti inotrno all'asse z' con velocità ancgolare ω e costante. Indichiamo con r' e v' la posizone e la velocità di un oggetto puntiforme P rispetto al sistema di riferimento S'. Studieremo i casi in cui il corpo si muove sul piano x-y, perpendicolare all'asse di rotazione. Si può dimostrare il seguente risultato. La composizione delle velocità per sistemi di riferimento che ruotano è:v=v'+vTdove il termine vT è la velocità di trascinamento del sistema S' rispetto a S
La velocità del corpo in S è uguale alla somma vettoriale della sua velocità v' in S' e della velocità di trascinamento vT
Poichè il moto di S' rispetto a S è circolare uniforme, nell'immagine ha:-modulo pari a vT=ω r' -direzione perpendicolare al vettore posizione r' -stesso verso di rotazione del sistema S'
LA COMPOSIZIONE DELLE GRANDEZZE CINEMATICHE PER SISTEMI DI RIFERIMENTO CHE RUOTANO
Per le accelerazioni si dimostra il seguente risultato. La composizione delle accelerazioni per sistemi di riferimento che ruotano è:a=a'+aC+aCOdove a' è l'accelerazione del corpo rispetto al sistema S', aC è l'accelerazione centripeta e aCO è l'accelerazione di Coriolis. -aC ha modulo ω^2r' ed è diretta verso il centro di rotazione. -aCO ha modulo pari a 2ωv', direzione perpendicolare a v' e verso uguale al verso di rotazione del sistema S' se il corpo si sta allontanando dal centro (immagine A), opposto al verso di rotazione di S' se il corpo si sta avvicinando al centro (immagine B).
L'accelerazione di Coriolis è diversa da 0 solo se il corpo si muove rispetto al sistema S' (v'≠0) e deriva dal fatto che se la distanza del corpo dal centro di rotazione varia, allora varia anche la componente della sua velocità lungo la direzione tangenziale.
un nuovo enunciato per il primo principio della dinamica
il primo principio afferma che la velocità di un corpo è costante se e solo se la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla. Questa formulazione del primo principio, detta anche legge d'inerzia, è un caso particolare del secondo principio della dinamica e presenta i seguenti punti critici.-Quando si afferma che un corpo si muove di moto rettilineo uniforme occorre anche specificare rispetto a quale sistema di riferimento si osserva il moto. L'accelerazione di un corpo dipende dal sistema di riferimento e un moto può essere rettilineo uniforme rispetto a un sistema e accelerato rispetto a un altro. Questo enunciato del primo principio è pertanto incompleto, in quanto non specifica rispetto a quale sistema di riferimento viene osservato il moto. -Se applichiamo il primo principio della dinamica così formulato ad alcune situazioni reali, ci accorgiamo che non è sempre verificato. Per esempio, consideriamo un oggetto liscio, come un blocco di ghiaccio, appoggiato sul pavimento di un autobus in movimento con velocità costante. Per esperienza, sappiamo che se l'autobus frena bruscamente, il blocco di ghiaccio scivola in avanti. -Per un osservatore fermo a terra, il blocco di ghiaccio continua a muoversi di moto rettilineo uniforme come prima della frenata e si sposta in avanti sul pavimento perché la velocità dell'autobus in frenata diventa minore di quella del blocco di ghiaccio. Per l'osservatore fermo a terra, il fenomeno è in accordo con la legge di inerzia. -Per un passeggero fermo sull'autobus, invece, il ghiaccio inizia improvvisamente a muoversi in avanti con un moto accelerato di un'accelerazione uguale e opposta a quella dell'autobus. Tuttavia, il passeggero non può individuare la forza responsabile di questa accelerazione perché la forza dei freni agisce solo sull'autobus e non sull'oggetto. Per l'osservatore sull'autobus, il fenomeno non è in accordo con la legge di inerzia. La legge di inerzia non è quindi valida in tutti i sistemi di riferimento
un nuovo enunciato per il primo principio della dinamica
Per riformulare il primo principio della dinamica dividiamo i sistemi di riferimento in due categorie: quelli nei quali vale la legge d'inerzia e quelli nei quali questa legge non è valida.Definiamo sistema di riferimento inerziale un sistema di riferimento nel quale vale la legge d'inerzia, ovvero un sistema rispetto al quale la velocità di un corpo è costante se e solo se la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla. Se un sistema di riferimento S è inerziale, allora qualsiasi altro sistema in moto rettilineo uniforme rispetto a S è a sua volta inerziale. -Se un corpo su cui non agiscono forze si muove di moto rettilineo uniforme nel sistema S, allora si muove di moto rettilineo uniforme anche in qualsiasi altro sistema di riferimento che si muove con velocità costante rispetto a S (aT = 0). -Viceversa, un sistema S' che si muove di moto accelerato rispetto a S (aT ≠ 0) non può essere inerziale in quanto un moto rettilineo uniforme rispetto a S sarà visto come un moto accelerato rispetto a S’. Sono inerziali tutti e soli i sistemi di riferimento che sono in moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema inerziale dato. Potremmo pensare di enunciare il primo principio affermando che in un sistema di riferimento inerziale, la velocità di un corpo è costante se e solo se la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla. Questo enunciato non contiene alcuna legge fisica in quanto in un sistema di riferimento inerziale un corpo non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme come conseguenza della definizione stessa di sistema inerziale. L'enunciato precedente pertanto non può costituire un principio fisico.
un nuovo enunciato per il primo principio della dinamica
Cerchiamo di basare l'enunciato su un risultato sperimentale verificato. Sperimentalmente si verifica che entro una certa approssimazione, la Terra e tutti i sistemi di riferimento solidali a essa possono essere considerati inerziali. Se si migliora la precisione delle misure o se gli esperimenti sono condotti su distanze grandi e tempi lunghi, ci si accorge che in realtà la Terra non è un sistema di riferimento inerziale. Per trovare un sistema che verifichi meglio la condizione di sistema inerziale possiamo utilizzare un sistema con il centro nel Sole e gli assi rivolti verso le stelle, detto sistema delle stelle fisse. Con la sensibilità degli esperimenti condotti fino a oggi possiamo affermare che un sistema di questo tipo è inerziale. È però possibile che in futuro, con il continuo miglioramento delle tecniche di misura, anche per questo sistema non risulti verificata in modo esatto la condizione di sistema inerziale. È sempre possibile trovare un sistema che verifica la condizione di sistema inerziale, entro gli errori sperimentali. Il risultato di queste osservazioni sperimentali ci porta a riformulare il primo principio della dinamica nel modo seguente.Nuovo enunciato per il primo principio della dinamica: In natura esiste almeno un sistema di riferimento inerziale. È importante fare subito alcune osservazioni su questo nuovo enunciato: -il primo principio della dinamica non è più un caso particolare del secondo principio -per quanto detto, il fatto che esista un sistema di riferimento inerziale implica che ne esistano infiniti, tutti in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro -il primo principio della dinamica, come tutti i principi della dinamica, ha un fondamento sperimentale. Finché non si eseguono misure di grande precisione e non sono coinvolti moti su lunga distanza o di lunga durata, la Terra può essere considerata con ottima approssimazione come un sistema inerziale.
Il secondo principio della dinamica e le forze apparenti
Il secondo principio afferma che un corpo di massa m su cui agisce una forza risultante F si muove con un'accelerazione a tale che:F= maQuesto enunciato non è valido in tutti i sistemi di riferimento. Riprendiamo l'esempio del blocco di ghiaccio appoggiato sul pavimento dell'autobus in frenata. Poiché la forza peso del blocco è equilibrata dalla reazione vincolare del pavimento e poiché abbiamo supposto che l'attrito tra blocco e pavimento sia trascurabile, la risultante delle forze che agiscono sul blocco di ghiaccio è nulla. -In un sistema di riterimento fisso rispetto a terra, e quindi supposto inerziale, durante la frenata il blocco di ghiaccio continua a muoversi di moto rettilineo uniforme, in accordo con il secondo principio della dinamica. -In un sistema di riferimento solidale rispetto all'autobus in frenata, e quindi non inerziale, il blocco di ghiaccio si mette in movimento con un'accelerazione non nulla senza che su di esso agisca alcuna forza, in disaccordo con il secondo principio della dinamica.
Nuovo enunciato per il secondo principio della dinamica: In un sistema di riferimento inerziale, un corpo di massa m su cui agisce una forza risultante F si muove con un accelerazione a tale che:F = ma
Il secondo principio della dinamica e le forze apparenti
sistemi non inerziali che traslano
Poiché molti sistemi di riferimento non sono inerziali, occorre trovare un modo per risolvere i problemi di meccanica nei sistemi di riferimento non inerziali
Secondo principio della dinamica per i sistemi non inerziali che traslano: In un sistema di riferimento non inerziale che trasla con un'accelerazione costante aT rispetto a un sistema inerziale, un corpo di massa m su cui agisce una forza F si muove con un'accelerazione a’ tale che:F'+ FT = ma’ Il termine FT =-maT prende il nome di forza apparente di trascinamento.
È importante sottolineare che la forza apparente di trascinamento è solamente un termine che occorre aggiungere alle forze per poter scrivere il secondo principio della dinamica nei sistemi non inerziali. Se si lavora in un sistema inerziale, aT= 0 e di conseguenza questo termine non compare.
Il secondo principio della dinamica e le forze apparenti
sistemi non inerziali che ruotano
Per trovare una formulazione del secondo principio della dinamica valida nei sistemi di riferimento che ruotano, procediamo in modo analogo a quanto fatto per i sistemi che traslano.
Secondo principio della dinamica per i sistemi non inerziali che ruotano:In un sistema di riferimento non inerziale che ruota con velocità angolare costante e rispetto a un sistema inerziale, un corpo di massa m su cui agisce una forza F si muove con un'accelerazione a' tale che:F + Fcf + FCO= ma’Il termine Fcf =-maC prende il nome di forza centrifuga, il termine FCO=-maCO è detto forza di Coriolis. Entrambi i termini corrispondono a forze apparenti.
-La forza centrifuga Fcf=-mac ha modulo pari a Fcf= mac = mw^2r e ha la stessa direzione dell'accelerazione centripeta, ma verso opposto. Si tratta quindi di una forza apparente diretta dal centro verso l'esterno della circonferenza e, per questo motivo, viene detta forza centrifuga. -La forza di Coriolis FCO =- maCO ha modulo pari a FCO = maCO = 2mwv', dove v' è il modulo della velocità del corpo rispetto al sistema S'. La forza di Coriolis ha la stessa direzione dell'accelerazione di Coriolis, ma verso opposto. È quindi sempre perpendicolare al vettore velocità v' e ha verso uguale al verso di rotazione del sistema S' se il corpo si avvicina al centro di rotazione, mentre ha verso opposto al verso di rotazione se il corpo si allontana dal centro.
È possibile scrivere il secondo principio della dinamica in una forma valida anche nei sistemi di riferimento non inerziali, purché, oltre alle forze vere e proprie, si introducano le forze apparenti. A differenza delle forze vere, le forze apparenti: -non derivano dall'interazione tra corpi ma dal moto relativo di un sistema non inerziale rispetto a un sistema inerziale; -poiché non sono dovute all'interazione tra corpi non verificano il terzo principio della dinamica -non sono presenti nei sistemi inerziali -sono proporzionali alla massa inerziale del corpo su cui agiscono.
Il principio di relatività galileiana
Qualsiasi esperimento di meccanica condotto nelle stesse condizioni in un qualunque sistema di riferimento inerziale conduce agli stessi risultati.Si può perciò concludere che se i risultati degli esperimenti sono gli stessi, allora le leggi che descrivono i fenomeni fisici nei diversi sistemi di riferimento inerziali devono essere le stesse.Principio di relatività galileiana Le leggi della meccanica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali
il principio di relatività galileiana
L'equivalenza dei sistemi inerziali
è bene fare alcune precisazioni sul principio di relatività galleiana. -Anche se le equazioni che descrivono i fenomeni meccanici sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali, questo non implica che una grandezza debba avere lo stesso valore in tutti i sistemi inerziali. -In base al principio di relatività galileiana tutti i sistemi inerziali sono equivalenti rispetto ai fenomeni meccanici e quindi non esiste un sistema privilegiato o assoluto rispetto a cui scrivere le leggi della meccanica. -Il principio di relatività galileiana riguarda i soli fenomeni meccanici.
Il principio di relatività galileiana
Il principio di relatività galileiana permette di determinare un insieme di trastormazioni rispetto a cui le leggi della meccanica rimangono inalterate: le trasformazioni di Galileo. Consideriamo i sistemi di riterimento inerziali S e S', con S' in moto rettilineo uniforme con velocità v rispetto a S. Per semplicita supponiamo che il moto di S' avvenga lungo l'asse x e che all'istante iniziale t = 0 le due origini O e O' e dei sistemi di riterimento coincidano.
Le trasformazioni di Galileo
otteniamo un'espressione per le trasformazioni di Galileo per componenti:
x'=x-vt y'=y z'=z t'=t
Il principio di relatività galileiana
grandezze invarianti nei sistemi di riferimento inerziali
Il principio di relatività galileiana e le trasformazioni di Galileo permettono di stabilire quali quantita devono restare costanti in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
Consideriamo un'asta rigida di estremi A e B e supponiamo che all'istante di tempo t i suoi estremi si trovino nei punti di coordinate (xA; yA) e (xB;yB) rispetto al sistema di riferimento inerziale S. La lunghezza dell'asta nel sistema S è:
l=√(xB-xA)^2+(yB-yA)^2
Prendiamo ora un secondo sistema inerziale S', che si muove con velocità di modulo v diretta lungo l'asse x rispetto a S. Applicando le trasformazioni di Galileo troviamo che gli estremi dell'asta rispetto al sistema S' hanno coordinate (xA-vt;yA) e (xB-vt;yB). La lunghezza dell'asta nel sistema S' è quindi:
l'=√ (x'B-x'A)^2+(y'B-y'A)^2= √ [xB-vt-(xA-vt)]^2+(yB-yA)^2
l'=√(xB-xA)^2+(yB-yA)^2=l
Svolgendo i calcoli otteniamo:
La lunghezza è quindi una quantità inavriante nei sistemi di riferimento inerziali
Anche l'accelerazione di un corpo è invariante per le trasformazioni di Galileo. Infatti,dati due sistemiinerziali S e S’, l'accelerazione di un sistema rispetto all'altro è nulla (aT=0) e la legge di composizione delle accelerazioni assume la forma:
a=a'+aT => a=a'
Dal secondo principio della dinamica, possiamo scrivere la massa come rapporto tra la forza che agisce su un corpo e l'accelerazione del corpo:
m=F/a
Possiamo concludere che anche la massa di un corpo è invariante per le trasformazioni di Galileo.