I LoGARITMI
Cos'è un logaritmo ?
Il Logaritmo è l'esponente (c) da attribuire alla base (A) per ottenere l'argomento (b)
con - a > 0 - a = 1 - b > 0
log b = c
A = b
(si legge "logaritmo di base a di b...")
Ecco dei semplici esempi:
log 4 = x 2 = 4 2 = 2
log 27 = x 3 = 27 3 = 3
quindi X = 2
quindi X = 3
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NOTA BENE ...
Con i logaritmi, si ripassano alcune proprietà delle potenze e dei numeri irrazionali Esse sono: -reciprocità e anti-reciprocità di un numero - trasformazione da numero irrazionale a numero razionale con potenza
Ecco alcuni esempi: 3 =( ) 5 =( ) ( ) = ( )
-5
a = a 4 = 2
-2
ora vediamo le proprietà dei logaritmi
1) la somma di due logaritmi con stessa base diventa un singolo logaritmo che ha come base la stessa base e come argomento il prodotto degli argomenti
Quindi: log b + log c = log (b c) log 3 + log 4 = log (3 4) = log 12
a a
2) la differenza di due logaritmi con stessa base diventa un singolo logaritmo che ha come base la stessa BASE e come argomento il quoziente degli argomenti
Quindi: log b - log c = log (b : c) log 5 - log 3 = log (5 : 3) = log
3) se l'argomento di un logaritmo presenta un esponente, quest'ultimo può diventare moltiplicando del logaritmo stesso, e viceversa
Quindi: log b = k log b log 5 = 3 log 5
4) un logaritmo con base diversa dall'argomento può diventare una frazione di due logaritmi con stessa base, dove:
-il logaritmo numeratore avrà come argomento, quello del logaritmo iniziale -il logaritmo denominatore avrà come argomento, la base del logaritmo iniziale
Quindi: log B = ------- log 5 = -------
LOG B LOG 5
a 3
LOG A LOG 3
ADESSO VEDIAMO LO SVOLGIMENT0 DI ALCUNI ESERCIZI SUI LOGARITMI
LOG ( X + 1 ) + LOG X = LOG (X - 1)
3 3 3
PRIMA DI PROCEDERe con le proprietà precedentemente imparate, si devono svolgere le condizioni di esistenza degli argomenti dei logaritmi che presentano incognite esse si ottengono, mettendo a sistema gli argomenti dei logaritmi maggiori di 0
{ {
X + 1 > 0 x > -1
x > 0 x > 0
2 2
X - 1 > 0 eq. ass. x - 1 = 0
X = 1 x = ±1 est.
ottenute le condizioni di esistenza, svolgiamo il sistema ponendo le soluzioni ottenute in un grafico dove verificheremo dove è possibile soddisfare tutte le condizioni
-1 0 +1
____________________________________________________________
x > -1 , x > 0 , x < -1 V x > 1
__________________________________________________
__________________
_________________________________
__________________________
__________________________
__________
_______________
x > +1
Il periodo che hanno in comune tutte le condizioni è
Adesso possiamo continuare l'esercizio
x > +1
LOG3 ( X + 1 ) + LOG3 X = LOG3 (X2 - 1)
usiamo la 1a proprietà dei logaritmi
LOG3 [ x ( X + 1 ) ] = LOG3 (X2 - 1)
LOG3 ( x2 + 1 ) = LOG3 (X2 - 1)
avendo due logaritmi da entrambi le parti con la stessa base, possiamo levarli
x2 + 1 = X2 - 1 1 = -1 IMPOSSIBILE
MA PROVIAMO un altro esercizio:
LOG2 ( 3X - 1 ) = LOG2 ( X + 2 )
-2 --
______________________________________________
{ {
3X - 1 > 0 x > --
___________________
___________
x + 2 > 0 x > -2
____________________________________
x > --
__________________
3X - 1 = X + 2 3x - x = 2 + 1 2x = 3 x = --
se il risultato non è accettabile per la condizione di esistenza, l'equazione diventa impossibile
LOG2 X + log2 ( x - 1 ) = LOG2 3X
{ {
0 1
x > 0 x > 0
______________________________________________
x - 1 > 0 x > 1
_____________________________________
___________
log2 [ x ( x - 1 )] = log2 3x log2 ( x2 - x ) = log2 3x x2 - x = 3x x2 - x - 3x = 0 x2 - 4x = 0 x ( x - 4 ) = 0 x = 0 V x = 4
____________________
x > 0
__________________
x = 0 non è accettabile
LOG2 - - log4 3x = LOG4 4
{ {
-- > 0 x > 0
x > 0
x > 0 x > 0
log4 -- x --------- - log4 3x = 1 log4 2 2 log4 ( -- x ) - log4 3x = 1 log4 ------
( -- x )2
x = 0
4 = ----- 12x = -- x2 x2 - 48x = 0 x ( x - 48 ) = 0 x = 0 V x = 48
3x
( -- x )2
3x
x = 0 non è accettabile
LOG -- ( x - 1 ) - log2 ( x + 1 ) = 3 log2 ( x - 1 ) ---------- - LOG2 ( X + 1 ) = 3 LOG2 -- -log2 ( x - 1 ) - log2 ( x + 1 ) = 3 log2 ( x - 1 ) + log2 ( x + 1 ) = -3 log2 ( x2 - 1 ) = -3 2-3 = x2 - 1
x > 1 x > -1
x > 1
-- = x2 - 1 x2 = -- + 1 x2 = -- x = ± -- = ± --- ----- = ± ---- = ± ----
2 2 6 2 3 2
8 2 2 2 2 8 4
x > 0
log25x + 2 log5x = 0 pongo log5x = t t2 + 2t = 0 t ( t + 2 ) = 0 t = 0 V t = -2
in questo caso...
quindi 1) log5x = 0 50 = x x = 1 2) log5x = -2 5-2 = x x = --
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