Transformaciones geométricas

Transformaciones

Geométricas

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Matemáticas 3ESO

Índice

Antes de empezar a crear tu secuencia

5.Giros. Figuras con centro de giro

1.Historia

6.Simetrías axiales. Figuras con ejes de simetría

2.Transformaciones geométricas

3.Movimiento en el plano

7..Composición de elementos

4.Traslaciones

8.Mosaicos, cenefas y rosetones

1.HISTORIA

Las transformaciones geométricas han sido utilizadas desde la antigüedad hasta la actualidad. Las primeras civilizaciones y culturas que empezaron a utilizarlas fueron las:

• Egipcia
• Griega
• Mesopotámica
• China

Las utilizaban matemáticos y arquitectos para representar formas en el espacio, resolver problemas, diseñar monumentos... Algunos ejemplos son: la Alhambra, la Basílica de San Pedro en el Vaticano, laberintos y patrones de setos en el palacio de Versalles entre muchos más.

1.Transformaciones Geométricas

¿Qué es?

• Una transformación geométrica hace corresponder a cada punto de una figura otro punto (su homólogo). Las figuras se transforman en otras figuras. Es decir que cambia la posición, el sentido y el tamaño de una figura pero sigue siendo la misma.
• La figura se le hace corresponer se denomina figura homóloga, los puntos homólogos de esta figura serían A´, B´, C´.

2.Movimientos en el plano

• Un movimiento es una transformación del plano en la cual todas las figuras mantienen su forma y tamaño

Movimientos directos e inversos

• Movimientos directos: son los movimientos que mantienen el sentido de giro, también son llamados deslizamientos ya que se deslizan.
• Movimientos inversos: cómo el propio nombre lo indica, son los que cambia el sentido del giro, en estos movimientos hay que sacar del plano la figura

3.Traslaciones

Vectores

Concepto de traslación

Un vector es una flecha con origen A, un extremo A`, la longitud del vector se llama módulo. Para sumar dos vectores hay que sumar los componentes correspondientes de cada vector.

Es el desplazamiento de un punto o figura siguiendo la dirección y tamaño del vector, por lo que son movimientos directos. Transformando cada punto, por ejemplo: Punto P: P´ es igual a T(P) tal que PP es igual a t

Traslaciones

Elementos dobles (invariantes) en una tralación

En la traslación no hay puntos dobles ya que se desplazan, no obstante la recta paralela de un vector sí es doble, ya que cada punto A, se transformas en uno A`.

5.Giros. Figuras con centro de giro

Un centro de giro es una figura que puede rotar alrededor de punto, por ejemplo: Un giro de centro O y ángulo a, a una transformación G que hace corresponder a cada punto P otro P´=G(P): OP=OP´ y POP´= a

• Los giros son movimientos directos
• Elementos dobles en un giro
• Figura con centro de giro

Figuras con centro de giro

Elementos dobles de giro

Movimientos directos

Son movimientos directos ya que mantienen la forma y el tamaño

Las figuras con centro de giro son los cuadrados, triángulos y los círculos.. Son figuras que pueden rotar alrededor de un punto central.

El centro de giro 0 es el único punto doble. Las circunferencias de centro 0 son figuras dobles

6.Simetrías axiales. Figuras con ejes de simetría

Las simetrías de eje, como el proprio nombre indica, son las simetrías que tienen un eje de simetria, es decir, una lineas que separa la figura pero es igual en ambos lados del eje.

Movimientos inversos

Elementos dobles

Figuras con ejes de simetría

Son movimientos, ya que, conservan la forma y el tamaño de la figura. Pero inversos ya que cambian el sentido de las agujas del reloj

En una simetría de eje e, los puntos e son dobles.

Si una figura es invariante respecto a una simetria axial (simetria alrededor de un eje), es una figura simétrica

7.Composición de movimientos

• La composición de movimientos es cuando a una figura se le aplicacan varios movimientos. Existen varios tipos de composiciones de movimientos:
• Composición de traslaciones: es el resultado de componer dos traslaciones de vectores: w= u+v= (2,-3) + (-4,-1)= (2,-4,-3,-1)= (-2,-4)
• Composición de simetrias axiales: es cuando a una figura se le aplican dos reflexiones sucesivas.
• Recíproco de un movimiento: el recíporco de un movimiento es cuando se deshace el efecto que había hecho el movimiento original, es decir, hace el movimiento inverso.

Tipos de movimientos recírpocos: -Traslación de vector-Giro de centro y ángulo-Simetría de eje e.

8.Mosaicos, cenefas y rosetones

Mosaicos

• Un mosaico es una configuración geométrica que se puede situar en un plano. Existen diferentes tipos de mosaicos:
• Mosaicos regulares: están formados por un tipo de polígono regular, un triángulo, un cuadrado o un hexagono.
• Mosaicos semirregulares: están formados por dos o más tipos de polígonos regulares

Mosaicos, cenefas y rosetones

Cenefas o friscos

Las cenefas o friscos son adornos longitudinales y que se repiten mediante traslaciones.

Mosaicos, cenefas y rosetones

Rosetones

Los rosetones son adornos de formas circular y se repiten mediante giros.