La méthode de la sécante
- La méthode de la sécante est une méthode comparable à celle de Newton.
- But : obtenir une valeur approchée de x pour f(x)=0
1) (AB) = pente (x-point) + f(point) y = ----------- (x-a) + f(a) Si la droite coupe l'axe des abscisses au point d''abscisse a' : y = 0 <=> ----------- (a'-a) + f(a) = 0 <=> ----------- (a'-a) = -f(a) <=> a'-a = -f(a) ---------- <=> a' = a - ---------- f(a)
f(b)-f(a) b-a
f(b)-f(a) b-a
f(b)-f(a) b-a
b-a f(b)-f(a)
b-a f(b)-f(a)
a -a = a - __________ f(a )-a
n+1 n n n n
b-a
f(b)-f(a )
= - ___________ f(a ) > 0
b- a
f(b)-f(a )
2.a) a = a et a' = a donc : a = a et a' = a
n+1
Démontrer que la suite (a ) est croissante : a > a <=> a - a > 0
n+1
n+1
f est croissante, donc la pente est positive !
et f(a )<0
b-a
- ___________ f(a ) > 0
f(b) - f(a )
- la suite (a ) est donc croissante car a >a
n n+1 n
Démontrer que la suite (a ) est majorée :
Théorème de la convergente monotone : Si n --> + ∞ : a --> et a -->
n n+1
b-a
a = a - __________ f(a )
n+1 n n
f(b)-f(a )
b-
= - ________ f( )
f(b)-f( )
b-
0 = - _______ f( )
f(b)-f( )
3 2
f(x)= x - 4x +1 f'(x)= 3x - 8x = x (3x-8)
1)
=> La fonction f(x) est strictement décroissante dans l'intervalle [0;1]. De plus, f(x) =0 est compris entre f(0) et f(1). f(x)=0 admet alors une unique solution α dans l'intervalle [0;1].
DM maths
200600
Created on December 17, 2023
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La méthode de la sécante
1) (AB) = pente (x-point) + f(point) y = ----------- (x-a) + f(a) Si la droite coupe l'axe des abscisses au point d''abscisse a' : y = 0 <=> ----------- (a'-a) + f(a) = 0 <=> ----------- (a'-a) = -f(a) <=> a'-a = -f(a) ---------- <=> a' = a - ---------- f(a)
f(b)-f(a) b-a
f(b)-f(a) b-a
f(b)-f(a) b-a
b-a f(b)-f(a)
b-a f(b)-f(a)
a -a = a - __________ f(a )-a
n+1 n n n n
b-a
f(b)-f(a )
= - ___________ f(a ) > 0
b- a
f(b)-f(a )
2.a) a = a et a' = a donc : a = a et a' = a
n+1
Démontrer que la suite (a ) est croissante : a > a <=> a - a > 0
n+1
n+1
f est croissante, donc la pente est positive !
et f(a )<0
b-a
- ___________ f(a ) > 0
f(b) - f(a )
n n+1 n
Démontrer que la suite (a ) est majorée :
Théorème de la convergente monotone : Si n --> + ∞ : a --> et a -->
n n+1
b-a
a = a - __________ f(a )
n+1 n n
f(b)-f(a )
b-
= - ________ f( )
f(b)-f( )
b-
0 = - _______ f( )
f(b)-f( )
3 2
f(x)= x - 4x +1 f'(x)= 3x - 8x = x (3x-8)
1)
=> La fonction f(x) est strictement décroissante dans l'intervalle [0;1]. De plus, f(x) =0 est compris entre f(0) et f(1). f(x)=0 admet alors une unique solution α dans l'intervalle [0;1].