Insalate di matematica

Insalate di matematica

Robert Ghattas, Paolo Gangemi, Silvia Benvenuti

Libro di degustazioni guidate per stimolare l'appetito numerico

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1. Viaggi

Il rapporto della bicicletta è strettamente legato al rapporto aritmetico: i giri per pedalata, infatti, sono il rapporto aritmetico tra gli ingranaggi anteriori e posteriori. ANTERIORI: 48, 38, 28 denti POSTERIORI: 33, 28, 24, 21, 18, 16, 14 Ex: Se collego il primo ingranaggio anteriore e il settimo posteriore, avrò un rapporto di 48/14; facendo la divisione, ottengo che farò 3,4 giri ogni pedalata!

Si narra che nel 212 a.C. Archimede sia riuscito ad incendiare delle navi romane semplicemente utilizzando... uno specchio! Infatti, prendendo un fascio di luce formato da raggi paralleli e facendoli incidere su uno specchio parabolico, questi saranno riflessi tutti in un unico punto, il fuoco, dove si crea calore a sufficienza per innescare una combustione.

1. Viaggi

Il grande matematico Eulero diede vita, senza saperlo, a una nuova branca della matematica: la teoria dei grafi. Il suo obiettivo era fare una passeggiata della città attraversando una e una sola volta ogni ponte (gli archi nell'immagine). Ma Eulero capì che era impossibile: in un grafo, tutti i punti devono avere un numero pari di archi; solo il punto di partenza e di arrivo possono averne un numero dispari.

Nel grafo sopra, vediamo che tutti i punti hanno archi dispari. L'unico modo sarebbe stato aggiungere un altro ponte, come nel grafo affianco.

2. Tempo

Sul grande schermo, l'illusione del movimento viene creata dalla successione rapida di immagini ferme. Il formato cinematografico è di 24 fotogrammi al secondo. Ciononostante, quello della trasmissione televisiva utilizzato in Europa è di 25; è per questo che alla TV vediamo il film più "velocizzato". Di conseguenza, un film visto alla televisione è di qualche minuto o qualche secondo più corto dello stesso visto al cinema. Per chi è di fretta...

Prendendo le rappresentazioni digitali dei numeri come quella affianco, un numero sincero, data la somma delle sue cifre, corrisponde al numero di barrette che lo compongono. Ex: 29 è sincero perché 2+9=11 e ci vogliono cinque barrette per il 2 e sei per il 9 (5+6=11). Per scrivere il numero 8 ci vogliono sette barrette, perciò il suo grado di disonestà è -1; per scrivere il numero 3 ce ne vogliono 5, perciò il suo grado di disonestà è +2. Il grado di disonestà di 83 sarà -1 + 2 = +1., infatti 8 + 3 = 11 e il numero delle barrette è 12.

3. Cucina

Si dice che, quando Carl Friedrich Gauss aveva 10 anni, alla sua classe fu assegnato il compito di scrivere la somma di tutti i numeri da 1 a 100. Il piccolo matematico quasi immediatamente scrisse il risultato alla lavagna: 5050. Come aveva fatto? Scrivendo i numeri da sommare in ordine crescente e sotto decrescente, otteniamo:

Si hanno quindi n somme il cui valore è n + 1. Ma questa è la somma delle due righe, cioè il doppio di quanto si voleva calcolare. Da ciò ricaviamo: n(n+1) / 2 100*101 / 2 = 5050 E così per tutte le altre somme di numeri che vogliamo ricavare. Un gioco da ragazzi!

3. Cucina

Staccando da un cavolfiore uno dei "rami" principali, si vede che il nuovo pezzo, pur essendo più piccolo dell'ortaggio intero, è organizzato in modo identico, e si potrebbe continuare così all'infinito..La proprietà per cui un intero assomiglia a una parte di sé stesso si chiama autosimilarità, e caratterizza oggetti detti frattali. E' ciò che accade con un oggetto matematico chiamato Fiocco di Koch.

La costruzione del fiocco parte da un triangolo equilatero. Ogni lato viene diviso in tre segmenti uguali; quello centrale diventa la base di un altro triangolo equilatero, ottenendo una stella a sei punte. Nel rispetto del principio di autosimilarità, si prosegue con la medesima, semplice tecnica, fino all'infinito. Il fiocco ha un'area limitata, pari a 8/5 l'area del triangolo iniziale, ma un perimetro infinito.

4. Carta

Nei paesi europei le dimensioni dei fogli di carta sono standardizzate e nascono da un'esigenza matematica. Il foglio A4 piegato a metà lungo il lato maggiore dà due fogli che hanno esattamente le stesse proporzioni di quello di partenza. Ciò vuol dire che un volantino stampato su un A5 può essere ingrandito fino a occupare un A4 senza subire deformazioni. Facendo il calcolo, l'A5 ha dimensioni 14,8 cm • 21 cm, e 21/14,8 dà 1,41; esattamente come 29,7/21. Anche l'A6 e l'A3, che si ottengono dimezzando un A5 e raddoppiando un A4, rispettivamente, hanno dimensioni in rapporto uguale a 1,41. Maggiore è il numero dopo la A, più piccolo è il foglio.

4. Carta

Nel 1918 Bertrand Russell formulò un paradosso. Se in un villaggio il barbiere è colui che rade tutti quelli che non si radono da soli, chi fa la barba al barbiere? Non esistendo nessun altro barbiere nel paese, non c'è per lui altra chance: è l'unico a poter radere se stesso. Ma il paradosso ci dice che il barbiere rade solo chi non rade se stesso! Questa è la versione giocosa di un altro ben più solido paradosso di Russell: l’insieme degli insiemi che non appartengono a sé stessi appartiene a se stesso o no? Se R appartiene a se stesso, allora dovrebbe essere uno degli insiemi che non appartengono a se stessi e quindi si ottiene una contraddizione con la sua stessa definizione; se R non appartiene a se stesso, allora è uno degli "insiemi che non appartengono a sé stessi", ovvero, paradossalmente, uno dei suoi stessi elementi secondo la definizione e quindi dovrebbe appartenere a se stesso.

5. Giochi

Prendendo come campione 23 persone, si può scommettere con un amico che almeno due dei ventitré siano nati lo stesso giorno dell'anno. Solitamente l'amico accetta la scommessa, valutando che sui 365 giorni possibili 23 siano davvero pochi. La probabilità che perda è del 50, 7%. Tenendo conto che la prima delle due può essere nata un giorno qualsiasi, la seconda avrà 365 - 1 = 364 giorni a disposizione per festeggiare il proprio compleanno. Se invece di due persone ce ne fossero tre, la terza avrebbe 365-2 = 363. Andando avanti il ventitreesimo, avrà 365-22 = 343 giorni disponibili su 365. Poiché la probabilità che due eventi indipendenti si verifichino contemporaneamente è data dal prodotto delle rispettive probabilità, la probabilità P che tutti e ventitré siano nati in giorni differenti è: 365/365 * 364/365 * …. * 343/365 che, in percentuale, significa circa il 49,3%. Questo significa che la probabilità dell'evento contrario, cioè che almeno due dei presenti siano nati il medesimo giorno dell'anno, è del 50,7%. Un metodo semplice per ingannare un amico!

5. Giochi

Quanti anagrammi ha la parola “scuola”? I possibili anagrammi sono in tutto 720, risultato che si ottiene dal fattoriale del n delle lettere, in questo caso 6. Quanti anagrammi ha la parola “mamma”? In questo caso ci sono delle lettere che si ripetono. La formula che andremo ad usare è: n di lettere! / n di volte che una lettera si ripete!. In questo caso: 5! / 3! * 2! = 40.

Mai pensato di giocare al Lotto i numeri 1-2-3, vero? Eppure hanno la medesima probabilità di ogni altra tripletta: la probabilità di estrarre come prima cifra 1 è esattamente la stessa di ogni altro numero, cioè una su novanta; tutti i numeri avranno la medesima probabilità di uscita del 2 e del 3. Non vale quindi la pena di giocarsi triplette insignificanti, come 7-45-82. Le previsioni del lotto sono perciò del tutto infondate e - se chi le fa sostiene di utilizzare metodi matematici e perciò chiede in cambio dei soldi - sono una vera truffa.

6. Corpo umano

Un capello, crescendo, a occhio e croce, un centimetro al mese, ogni giorno guadagna circa un trentesimo di centimetro. Visto che abbiamo circa centomila capelli, la loro crescita complessiva in un giorno è di 30 metri di capelli al giorno. In un anno sono 11 chilometri, in una vita 1.000 chilometri. In un solo giorno, i capelli di tutti gli abitanti della Terra crescono di 180 milioni di chilometri: più della distanza tra Terra e Sole! Avendo la pazienza di aspettare un anno, i capelli prodotti dell’umanità sono più che sufficienti per coprire la distanza che ci separa dai confini del Sistema Solare.

6. Corpo umano

Per la percezione di colore, movimento o luminosità un occhio va più che bene, ma la valutazione di una distanza è compito della visione stereoscopica (ovvero a due occhi). Per comodità immaginiamo di guardare oggetti posti di fronte a noi, così che il triangolo ABO sia isoscele. Il nostro cervello riceve informazioni sulla lunghezza del segmento AB e sull'angolo di convergenza x. Questi dati sono sufficienti per calcolare OH. Un matematico utilizzerebbe la formula AH * tgx; il nostro cervello è in grado di compiere questo calcolo in tempo reale, tutto da solo!

Quando poi si guarda qualcosa con la coda dell'occhio, gli angoli di convergenza non sono più uguali tra di loro. Ma la distanza AB, l'angolo x e l'angolo y sono sufficienti per determinare la distanza OH. Appena si chiude un occhio, però, viene a mancare uno dei due angoli, e al cervello non arrivano dati sufficienti per determinare la distanza dell'oggetto.

7. Animali

Minore è la superficie corporea dell'animale, minore è il calore disperso. Il solido che, a parità di volume, ha superficie minore è la sfera: non a caso animali come la foca e il tricheco hanno un aspetto tondeggiante. L'istinto spinge altri animali, uomo compreso, a comportarsi in maniera simile quando hanno freddo: annicchiandosi il corpo cerca di minimizzare la propria superficie a contatto con l'esterno. Ecco perché d'inverno è piacevole raggomitolarsi sotto le coperte.

Fu osservato che un corvo non rientrava nel suo nido quando un essere umano si trovava nelle vicinanze. Si fece allora costruire una capanna in prossimità del nido, e vi si fecero entrare due persone. Nonostante ne uscisse una, il rapace, ricordando che all'interno c'era ancora qualcuno, si guardava bene dal rientrare. Il corvo quindi sapeva calcolare: 2-1 = 1 Ma non è tutto: il volatile dimostrò di saper fare conti ben più complicati, come per esempio:

Anche se contare fino a 5 può sembrare cosa semplice, pochi altri animali hanno mostrato simili attitudini alla matematica.

7. Animali

Le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare dal secondo mese dalla nascita. La successione del numero delle coppie di conigli con il passare del mesi è: 1, 2,3, 5, 8, 13, .. Si nota facilmente che, dal terzo elemento in poi, ogni numero è dato dalla somma dei due precedenti. Quello dei conigli è un altro esempio della successione di Fibonacci in natura!

Il piano cartesiano è nato durante una notte insonne e una mosca che infastidiva Cartesio. Questo si domandò: "Come identificare con esattezza la posizione della mosca sul soffitto?". Misurare la distanza da una parete

non era sufficiente: per sapere dov'era l'insetto era necessaria la distanza da un'altra parete non opposta alla prima. Le intuizioni di Cartesio sono diventate una parte fondamentale della cultura matematica: le pareti di riferimento sono gli assi cartesiani, mentre le distanze dagli assi sono le coordinate.

8. Parole

Queneau scrisse il “Cent mille milliards de poèmes” (Centomila miliardi di poesie). Letteralmente. Ci sono 10 alla 14esima poesie, ovvero centomila miliardi tondi tondi. Ma il testo poetico è lungo appena dieci pagine: Queneau ha composto solo dieci sonetti ma, anziché su una pagina normale, li ha scritti ognuno su un foglio diviso in quattordici striscioline orizzontali, una per ogni verso, in modo che le singole striscioline si possano sfogliare indipendentemente l'una dall'altra, creando ogni volta poesie sempre diverse ma di senso compiuto!.

Il numero e è un numero compreso fra 2 e 3, e ha fondamentale importanza in matematica. Mentre è facile ricordare le cifre di pi greco, per qualche ragione resta meno impresso nella memoria. Una delle tecniche mnemoniche più usate per richiamarlo alla mente è ricordare una frase in cui la prima parola abbia 2 lettere, la seconda 7, la terza 1 e così via. Fra le più apprezzate ci fu quella di Camillo Parassini: La fedeltà è promessa, la felicità è speranza, la gioventù sola resta illusione.

8. Parole

NOT. ESAD.

NOT. DECIM.

A volte, al posto di quella binaria, è usata la notazione esadecimale, basata sulle potenze di 16, dove quindi servirebbero sedici cifre, quando noi ne abbiamo solo dieci. Si rimpiazzano le sei cifre mancanti con le prime sei lettere dell'alfabeto: A corrisponde a 10, B a 11, …, F a 15. In questo modo le cifre in totale sono proprio sedici. Nel sistema esadecimale 157 si scrive semplicemente 9D, perché 157 = 144 + 13, cioè 9 • 16 + 13. Il poeta e matematico Paolo Caressa è riuscito a scrivere una poesia "di numeri":

BEFFA D1 BACCA, B1C1 DA CACCIA, CAFFE' DA B0CCA, DEFECA C1CC1A! F0C0 D1 C10CC0, (BADA 10 CAD0), E' F10C0 BACC0, F1FA D1 DAD0. C'E' D10? C1 D1CA, 0 C1 DIA FEDE...

782.330 209 765.130, 45.505 218 13.290.522, 831.486’ 218 724.170, 14.614.218 12.700.698! 61.632 209 12.651.712, (47.834 16 51.920), 14' 987.328 765.120, 61.946 209 56.016. 12’ 14' 3.344? 193 53.706, 0 193 3.354 65.246..

8. Parole

Quando un numero non è interessante? Secondo alcuni matematici, il più piccolo numero a non godere di alcuna proprietà particolare è il 39, ma il fatto di essere il più piccolo numero non interessante è di per sé una proprietà interessante! Se fosse 43, allora a sua volta diventerebbe il più piccolo numero non interessante, ma per lo stesso ragionamento sarebbe anch’esso interessante, fino a proseguire all'infinito. Un ragionamento simile è molto usato in matematica, e si chiama principio di induzione: per dimostrare una proprietà di tutti i numeri naturali, si inizia verificando che la proprietà vale per il numero 1; il passo successivo consiste nel dimostrare che, se la proprietà vale per il numero n qualunque, allora vale anche per n + 1.

9. Colori

Un cacciatore insegue un orso. Percorre prima 1 chilometro verso sud, poi un altro verso ovest, infine un altro verso nord. Si ritrova al punto di partenza e vede l'orso. Di che colore era? Bianco. Il percorso consiste in una specie di "U" e, in condizioni normali, al termine dei tre tratti di strada, il cacciatore non potrebbe trovarsi al punto di partenza...

Ma se parte dal Polo Nord, le cose cambiano: lì le due estremità della U si chiudono su sé stesse. L'orso non può che essere un orso polare e, quindi, bianco! L’indovinello serve a dare un'idea della non valenza della geometria euclidea su una superficie curva. Infatti, su una sfera il nostro cacciatore ha appena disegnato un triangolo con tre angoli retti, che sommati danno: 90° +

+ 90° + 90° = 270°. Esiste una circonferenza lunga 1 chilometro, con al centro uno dei due Poli. Il cacciatore percorrendo 1 chilometro verso sud si troverà sulla circonferenza; andando poi per un altro verso ovest la percorrerà tutta, tornando al punto in cui l'aveva incontrata; infine, facendone un altro verso nord, ripercorrerà in senso inverso il primo che aveva fatto. Quindi tutti i punti che si trovano 1 chilometro a nord di quella circonferenza godono della proprietà enunciata nell'indovinello.

9. Colori

I colori dell'arcobaleno sono sette; quelli che non appartengono all’iride sono una combinazione di questi. 1) Nessuno ha mai capito bene cos'è l'indaco. Era già noto nel Medioevo, e sembra fosse quello di una sostanza ricavata da particolari foglie provenienti dall'India, da cui il nome. 2) Dove finisce, per esempio, l'arancione e dove comincia il giallo? Nell'arcobaleno non si vede alcuna linea di confine: da ogni colore si passa gradualmente a quello successivo. 3) L'occhio umano, è in grado di distinguere circa 10 milioni di colori, ma degli infiniti colori dell'iride noi abbiamo una visione approssimata: se due lunghezze d'onda sono molto vicine, a noi il colore sembra lo stesso. La soggettività dipende, oltre che dal singolo, anche dalla nazione di appartenenza: gli studiosi sostengono che oggi, in tutte le lingue del mondo, i numero di colori percepiti come basilari è compreso fra due e dodici. L'italiano (insieme al russo) è una delle poche lingue che ne prevede dodici. Insomma, i colori sono dodici, infiniti, oppure dieci milioni, dipende da cosa si cerca.

10. Oriente

La nascita del gioco degli scacchi è legata a una leggenda, secondo cui un re indiano chiese al suo visir di inventare un gioco nuovo d’intelligenza. Nacquero così gli scacchi. Come compenso il visir chiese : «La mia scacchiera ha sessantaquattro caselle. Io chiedo che venga messo un chicco di riso sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, raddoppiando ogni volta il numero di chicchi.». Poco dopo i ciambellani tornarono dal loro re e gli spiegarono che per dargli quello che chiedeva non sarebbero bastati nemmeno tutti i granai del mondo. Infatti, sull'ultima casella i chicchi avrebbero dovuto essere alla 263, pari a più di dieci miliardi di miliardi. E a questi andavano sommati tutti i chicchi delle caselle precedenti!

10. Oriente

Non tutti sanno che le moltiplicazioni si possono fare (a mano) anche senza tabelline. C'è infatti una tecnica che utilizza solo moltiplicazioni e divisioni per 2, chiamata metodo dei contadini russi. Vediamo come funziona questo metodo moltiplicando 89 per 37. Per prima cosa si dispongono i numeri in cima a due colonne, si divide il primo per 2 e si scrive il risultato immediatamente sotto, non pensando al resto, e lo si divide a sua volta per 2, fino ad arrivare a 1.

Ora si considera il numero nella seconda colonna: invece di dividere, si moltiplica per 2 tante volte quanti sono i numeri presenti nella prima colonna. A questo punto basta sommare i numeri sulla colonna destra, scartando quelli che sono in corrispondenza di numeri pari sulla colonna sinistra. Infatti 3.293 è proprio il risultato di 89 x 37.

11. Amore

Anche i numeri hanno l'anima gemella, ma è un privilegio solo dei numeri primi. Le coppie gemelle, per definizione, sono le coppie di numeri primi la cui differenza è 2: per esempio 3 e 5, oppure 11 e 13 etc. etc. Non tutti i numeri primi però hanno l'anima gemella. Prendiamo per esempio il 23: a distanza di due unità troviamo 21 e 25, ma nessuno dei due è primo. E più i numeri diventano grandi, minore è la probabilità che abbiano l'anima gemella. I numeri primi sono infiniti, ma quanti sono quelli con l'anima gemella? Sono infiniti anche loro oppure, da un certo numero in poi, anche i primi sono tutti single? Nessuno ha ancora trovato una risposta a questa domanda: è uno dei più famosi problemi aperti della teoria dei numeri. Come dire: anche in matematica l'amore è imprevedibile.

12. Cielo

Eratostene di Cirene osservò che ad Assuan il 21 giugno a mezzogiorno i raggi del Sole giungono sulla Terra perpendicolari al suolo e i corpi non proiettano ombra; in quel momento il Sole si trova allo zenit, cioè verticale sopra la testa di un osservatore. Nello stesso momento dell'anno, piantò un bastone in terra ad Alessandria e vide che faceva un'ombra di 7°12'. Eratostene conosceva anche la distanza tra Assuan e Alessandria, circa 5.000 stadi. Aveva tutto ciò che gli serviva: 7 : 360 = 5000 : x È difficile determinare la precisione della misura di Eratostene: non sappiamo con esattezza a quanto corrisponde uno stadio, ma approssimando si pensa che sia riuscito ad ottenere un’ottima stima.

12. Cielo

I poligoni regolari sono infiniti. I poliedri regolari, chiamati anche solidi platonici, invece sono solo: cubo, tetraedro, l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro. Keplero elaborò una teoria curiosa: inscriveva un cubo nella sfera di Saturno; poi prendeva un'altra sfera, inscritta a sua volta nel cubo. Secondo Keplero questa era la sfera di Giove. E il gioco continuava: ogni solido platonico veniva inscritto nell'orbita di un pianeta e circoscritto a quella del pianeta successivo. Così fra le sfere di Saturno e Giove c’era il cubo, fra Giove e Marte il tetraedro, fra Marte e la Terra il dodecaedro, fra la Terra e Venere l'icosaedro e fra Venere e Mercurio l'ottaedro. Oggi, disponendo di dati molto più precisi, sappiamo che i conti non tornano perfettamente, ma con una certa approssimazione...

13. Macchine

Si potrebbe mai costruire una macchina che dicesempre se un’affermazione è vera o falsa? La risposta è no. La macchina dà verde al vero e rosso al falso. Un certo Kurt immaginò di dirle: «La supermacchina non mi darà luce verde». Cosa fa a questo punto la supermacchina? Dà luce verde? No, perché significherebbe che la frase è vera, ma la frase dice che la supermacchina non darà luce verde, e se desse luce verde renderebbe la frase falsa. Allora dà luce rossa? Neanche: la luce rossa vorrebbe dire che la frase è falsa, ma nel momento in cui la supermacchina dà luce rossa rende la frase vera, perché non dà luce verde, proprio come dice la frase di Kurt. In conclusione, la macchina non puo dare né luce verde né luce rossa. Così Kurt ha dimostrato che la supermacchina non sa proprio tutte le risposte.

14. Vacanze

Il matematico Telete riuscì a calcolare l'altezza della piramide di Cheope usando solo un bastone, che piantò ai piedi della piramide. Aspettò che l'ombra che proiettava arrivasse a essere lunga il doppio del bastone, cioè OQ = 2OP. Secondo il teorema di Talete, un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali genera coppie di segmenti

direttamente proporzionali, quindi anche l'ombra della piramide doveva essere il doppio della sua altezza. La piramide copriva buona parte della sua ombra: il tratto visibile andava da B a M, ma se al posto della piramide ci fosse stato un enorme bastone altrettanto alto, la sua ombra si sarebbe estesa da H a M. Talete aggiunse all'ombra misurata (cioè al segmento BM) la lunghezza del segmento HB, pari a metà del lato di base della piramide. A questo punto, per ottenere l'altezza della piramide (cioè AH), divise il risultato per 2: era alta circa 140 m.

15. Design

Tutti i tessuti sono composti da fili intrecciati; la differenza tra uno e l'altro dipende dallo schema di intreccio. I fili si dividono in fili di ordito, che sono quelli che vengono stesi sul telaio, paralleli alla lunghezza del tessuto, e fili di trama, perpendicolari a quelli di ordito e a essi intrecciati secondo uno schema, detto armatura. Le combinazioni sono tantissime: immaginarsi la seta che ne ha 2,42 * 10^9.029!! Diventa quindi indispensabile la messa a carta, un rettangolo quadrettato il bianco indica che l’ordito passa sopra la trama è il nero che passa sotto.

15. Design

Un quadrilatero articolato è un meccanismo che come dice il nome consiste in quattro aste incernierate, di lunghezza variabile a seconda del comportamento richiesto.

L'asta AD è la più corta: se la facciamo ruotare in senso antiorario anche l'asta BC comincerà a sua volta a girare nello stesso verso. A un certo punto, però, BC invertirà la direzione: mentre AD ruota, BC oscilla.

L'asta più corta è CD: in questo caso l'asta AD non riuscirà a compiere una rotazione completa, quindi oscilleranno sia AD sia BC.

Infine, se l'asta più corta è AB facendo ruotare AD anche BC si muove nello stesso modo.

16. Bambini

Nella costruzione delle montagne russe, la discesa non ha forma di un segmento, ma di un cicloide, che ha la proprietà di essere la traiettoria lungo la quale un grave scende impiegando il tempo minore: anche se la traiettoria più breve è il segmento, il tempo sarebbe maggiore..La curva ha poi un'altra proprietà ancor più curiosa: prendendo una guida fatta ad arco di cicloide e facendo partire contemporaneamente due palline uguali da due punti diversi della guida, indipendentemente dalla loro posizione di partenza queste si scontrano esattamente nel punto più basso, anche se una parte da molto lontano e una da molto vicino.

16. Bambini

L'ecografia realizza una "fotografia" che ritrae cavità, organi o, in questo caso, il feto, contenuti all'interno del corpo umano basandosi sulla propagazione degli ultrasuoni. Quando un fascio di queste radiazioni incontra un oggetto, per esempio le ossa del cranio del bambino, una parte viene riflessa e una parte rifratta. Quest'ultima andrà ad incontrare altre parti del corpo che, ritornando a noi, ci daranno l’immagine, anche se dopo un viaggio più lungo rispetto a quelle direttamente riflesse. Ogni lastra è la proiezione in due dimensioni di un oggetto tridimensionale che "schiaccia" tutte le informazioni al piano della lastra stessa. L'idea è sostanzialmente quella di effettuare "foto" da direzioni diverse, e sfruttare le rappresentazioni bidimensionali ottenute dai diversi punti di vista per ottenere una visualizzazione tridimensionale corretta dell'oggetto in questione.

17. Pittura

I concetti di illimitato e infinito hanno una natura molto diversa: il primo riguarda le forme, il secondo le misure. Nella geometria euclidea le nozioni sono tacitamente identificate, ma è possibile concepire una geometria le cui rette, seppure illimitate, abbiano lunghezza finita. Una formica in movimento lungo una retta illimitata e infinita potrebbe camminare per sempre, senza mai giungere al capolinea del suo percorso e senza mai passare due volte sopra lo stesso punto. Le rette del mappamondo, invece, sono curve chiuse di lunghezza finita: una formica che si trovasse a percorrerne una, per esempio l'Equatore, potrebbe ancora una volta camminare per sempre senza mai invertire la marcia, ma, in questo caso passando e ripassando infinite volte sopra gli stessi punti.

17. Pittura

Un quadrato magico viene realizzato distribuendo i numeri da 1 in ordine crescente consecutivi in modo tale che la somma dei numeri in ciascuna riga, ciascuna colonna e ciascuna diagonale dia sempre lo stesso risultato, detto costante magica. Prendendo come esempio un quadrato 4x4, la costante è pari alla somma di tutti i numeri da inserire (da 1 a 16 quindi) divisa per 4. 1 + 2 + 3 ... + 16 / 4 = 34

Per costruire quadrati dispari, si comincia mettendo il numero 1 nella prima riga, colonna centrale, e si continua a riempire caselle muovendosi di un passo verso destra e di uno verso l'alto. Se nel processo si incontra una casella già occupata, si riempie la casella inferiore a quella contenente l'ultimo numero immesso.

Se un quadrato magico ha lato 4 inseriamo i numeri da 1 a 16 procedendo da sinistra a destra e dall'alto verso il basso. Cancelliamo poi tutti i numeri che non stanno sulle due diagonali e negli spazi vuoti creati ci inseriamo i numeri rimasti in ordine decrescente.

17. Pittura

Come appendere un quadro con due chiodi e uno spago facendo in modo che togliendo un chiodo il quadro cada a terra?

Questi due modi sono errati: nel primo perché il quadro rimarrebbe appeso ad uno dei due, nel secondo perché lo spago dev’essere passato su entrambi i chiodi.

Questa è la giusta configurazione. Perché? Indichiamo con +a un giro antiorario attorno ad A e con +b un giro ant. attorno a B; con -a un giro orario attorno ad A e con -b un giro orario attorno a B. Così risulterebbe essere: (+b)(-a)(-b)(+a). Supponiamo di togliere il chiodo B: tutti i giri effettuati attorno al chiodo B una volta che è rimosso è come se non ci fossero mai stati; togliere il chiodo B equivale a cancellare la lettera b e la sua inversa, ottenendo quindi: (+a)(-a). Ma fare un giro antiorario e poi uno orario attorno a un giro equivale a non farne affatto!

17. Pittura

Come posizionare una telecamera a 360 gradi senza lasciare angoli ciechi? Supponiamo di dover controllare una stanza poligonale con n vertici.

Prima di tutto dividiamo il poligono in triangoli, tracciando opportunamente diagonali che non si intersechino.

Ora scegliamo uno qualsiasi dei triangoli sopra e indichiamo i suoi vertici con un pallino bianco, uno nero e uno grigio. Passiamo poi ai triangoli adiacenti al primo: dal momento che due loro vertici sono già stati colorati, esiste un solo modo di colorare il terzo in modo da usare in ogni triangolo tutti e tre i colori.

Non ci resta che posizionare le telecamere in tutti i punti del colore che compare il minor numero di volte se il n vertici non è divisibile per tre o in quelli di un colore qualunque se lo è. Un gioco da ragazzi!

18. Architettura

Quella della Cipolla è un edificio tondeggianteprogettato per massimizzare l’efficienza energetica e l’acustica. Un modo per aumentare l'efficienza energetica di un edificio è diminuire la sua superficie esterna, in modo da ridurre la dispersione del calore. Tra tutti i solidi, a parità di volume, la sfera ha superficie minore: per questo la forma della Cipolla è simile a quella di una sfera, essendo troppo difficile da costruire. La struttura "sporge" da una parte: in questo modo da quel lato le finestre di ogni piano sono ombreggiate dal piano superiore in modo da ridurre il ricorso all'aria condizionata in estate. La scala elicoidale, invece, è stata inserita al centro dell'atrio per ridurre l'eco, visto che il suono rimane intrappolato sotto la rampa.

19. Sport

Un'ellisse è l'insieme dei punti per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi, chiamato fuochi. I fuochi dell' ellisse hanno una proprietà molto interessante: mettendo una sorgente (sonora o luminosa) in uno dei due, i raggi uscenti dalla sorgente rimbalzano sull'ellisse stessa e vanno tutti a finire nell'altro fuoco. L’ellissoide eredita i due fuochi dalla sua generatrice: mettendo una sorgente sonora in un fuoco e un microfono nell'altro, il suono che si raccoglie nel microfono risulterà molto amplificato.

20. Musica

Un suono è una oscillazione compiuta dalle molecole dell'aria per effetto della vibrazione di un oggetto, detto sorgente sonora, creando così quella che viene chiamata onda sonora. L'orecchio umano a in grado di udirla se la sua frequenza è compresa tra 20 Hz (molto grave) e 20.000 Hz (molto acuto). Se due onde sono prodotte contemporaneamente e i picchi e le valli delle due onde coincidono, allora il suono prodotto ha un'intensità maggiore di ognuna delle due.

Se i picchi della prima coincidono con le valli della seconda, l'onda più forte viene "smorzata" dalla più debole.

Se sono uguali il suono viene annullato. È su questo principio che si basano i dispositivi per la soppressione attiva del suono: visto che in caso di strumenti atipici (dei rumori) abbiamo più frequenze messe assieme, c’è bisogno che lo strumento scompogna il suono e generi diverse onde per annullarlo.

20. Musica

Per produrre un suono con una chitarra, si tocca una sua corda e, per ottenere un suono diverso dal primo, si allunga o accorcia con l'altra mano: il suono prodotto dipende dalla lunghezza della corda stessa, più acuto man mano che diventa più corta. La consonanza tra due suoni simultanei è massima in corrispondenza di rapporti particolarmente semplici tra le lunghezze delle corde, come 1:1, 2:1, 4:3. Una corda che vibra produce una nota legata alla frequenza naturale, e insieme altre meno intense a frequenze diverse, dette armoniche. Quando due corde vengono pizzicate simultaneamente, all'orecchio dell'ascoltatore giunge una combinazione delle due frequenze naturali e di tutte le loro armoniche. L'orecchio umano gradisce le frequenze coincidenti: per questo considererà quello prodotto dalle prime due migliore di quello prodotto dalla prima e dalla terza: nel primo caso le armoniche coincidenti sono tre, mentre nel secondo sono solo due.

20. Musica

La nostra percezione del suono non è lineare, bensì logaritmica: la funzione logaritmo, infatti, cresce molto velocemente finché x è piccolo, per rallentare sempre più a mano a mano che x aumenta. Dunque la coppia orecchio-cervello è molto sensibile alle frequenze basse, mentre lo è molto meno alle frequenze alte. La percezione del suono è logaritmica anche per quanto riguarda la sua intensità: raddoppiando l'intensità di un suono l'orecchio non percepisce un volume doppio, come succederebbe se la risposta fosse lineare, ma è invece necessario aumentare l'intensità circa di un fattore 10.