Matemáticas

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Presentación

Operaciones Matemáticas

Empezar

Operaciones aritméticas básicas y combinadas.

Suma

Es la operación matemática que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total.

Teoría...

La adición es una operación básica de la aritmética y se puede decir que es el proceso de juntar o coleccionar objetos con el fin de obtener una sola colección, por ejemplo:

Ejercicio

Un árbol de manzanas le da a su dueño 5 manzanas al mes. ¿Cuántas manzanas tendrá al término de un año?

Sustracción

La sustracción es la operación contraria a la adición, es una operación básica de la aritmética que se representa con el signo (-). Se puede decir que la sustracción representa la operación de eliminación de objetos de una colección, como se muestra en la siguiente figura:

Teoría...

La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética y consiste en quitar una cantidad a otra, sustraer un determinado número de elementos a un conjunto. Dicho de otro modo, cuando a un número A le restamos un número B, obtenemos como resultado un número C: A - B = C

Ejemplo de las sustracciones decimales.

Supongamos que tienes un paquete de 9 colores para hacer tu tarea y le regalas 4 de ellos a tu amigo Diego, ¿cuántos colores te quedan? Al realizar la operación: nueve colores que tenías al inicio, menos cuatro que has regalado a tu amigo, sabrás con cuántos colores te quedaste.

Multiplicaciones

Las multiplicaciones son operaciones matemáticas que se realizan para calcular el resultado de sumar un número tantas veces como indique el otro número que compone la operación, por ejemplo: 52 × 4 = 208 Esta operación la podemos expresar como: 52 + 52 + 52 + 52 = 208

Las tablas de multiplicar

Es posible resumir todas las tablas de multiplicar en una sola, observa: Para utilizarla procederemos así: si queremos conocer el resultado de la multiplicación 7x6, se busca el primer factor, es decir el 7, en la primera columna de izquierda a derecha. Luego se busca el segundo factor, o sea el 6, en la primera fila de arriba hacia abajo. El resultado será donde la fila correspondiente al 7 se encuentra con la columna correspondiente al . En este caso encontramos que siete veces seis es igual a cuarenta y dos: 7x6=42 .

Ejemplo de multiplicación

Veamos un ejemplo: ¿cuánto es 5 x 4? Primero debemos leer y entender el significado de la expresión , que es “cinco veces cuatro”. Esto quiere decir que debemos realizar la operación 4+4+4+4+4.

Divisiones

La división es la operación matemática que consiste en separar una cantidad en partes iguales, es decir, se trata de realizar una distribución equitativa del objeto o cosa que se quiere repartir. La multiplicación es la operación contraria a esta.

Ejemplo

Carol llega a la escuela con 6 manzanas y ella quiere regalarle las manzanas a 2 niños, ¿Cuántas manzanas le tocaría a cada niño?

La ley de los signos.

¿Por qué necesitamos una ley de signos?

Cuando trabajamos con números positivos y negativos, debemos seguir ciertas reglas para operar correctamente.

Estas reglas se conocen como “ley de los signos” y son esenciales para:

• Entender operaciones con enteros
• Resolver expresiones algebraicas
• Aplicar operaciones combinadas correctamente

multiplicaciòn y división.

Suma

Resta.

Ejemplo.

Ejemplo.

¿Cómo recordarlo fácilmente?

“Iguales se llevan bien” por lo tanto, el resultado es positivo “Diferentes se contradicen”, por lo tanto, el resultado es negativo

La jerarquía de las operaciones matemáticas.

Operaciones Combinadas y Jerarquía de Operaciones.

Las operaciones combinadas son expresiones matemáticas que incluyen dos o más operaciones diferentes, como:

• Suma (+)
• Resta (−)
• Multiplicación (×)
• División (÷)

Estas operaciones están combinadas dentro de un solo cálculo.

6 + 3 x 2

Aquí hay una suma y una multiplicación en una sola operación. No se puede resolver en cualquier orden. Primero debemos resolver la multiplicación.

Ejemplo

Primero, según la jerarquía de operaciones, debemos hacer la multiplicación: 3 × 2 = 6 Luego, sumamos el resultado a 6: 6+6=12 ✅

6 + 3 × 2

Primero, según la jerarquía de operaciones, debemos hacer la multiplicación: 4 × 2 = 8 Luego, sumamos el resultado a 8: 8+8=16 ✅

4 × 2 + 8

04

Las expresiones algebraicas.

Las expresiones algebraicas.

Una expresión algebraica es una combinación de números, letras (variables) y símbolos de operación (como +, −, ×, ÷) que no tiene signo igual (=). Se utiliza para representar cantidades que pueden cambiar o que no se conocen con certeza.

¿Para qué sirven las expresiones algebraicas?

Por ejemplo:

Para describir situaciones de la vida real con matemáticas. Ejemplo: Si un cuaderno cuesta x soles, entonces 3 cuadernos costarían 3x. Para resolver problemas sin saber todos los datos de antemano. Son la base para entender ecuaciones, funciones y geometría algebraica.

3x+5 a−7 2xy+4x−1

Elementos de una Expresión Algebraica.

• Término
• Cada parte de la expresión separada por signos + o −.
• En 2x + 4y - 9, hay tres términos:
• → 2x, 4y, además del 9
• Variable
• Es una letra que representa un número que puede cambiar.
• En 2x, la variable es x. Y en 4y, la variable es y.
• 📌 Las variables más comunes son: 𝑥,𝑦,𝑎,𝑏
• Coeficiente
• Es el número que multiplica a la variable.
• En 2x, el coeficiente es 2. Y en 4y, el coeficiente es 4.
• 💡 Si no hay número visible, el coeficiente es 1.
• Ejemplo: En x, el coeficiente es 1
• . Constante
• Es un número fijo, que no cambia y no está junto a una variable.
• En 2x + 4y - 9, la constante sería 9.

Tipos de Expresiones Algebraicas

Polinomio.

Una expresión con tres o más términos. Ejemplos: 2x2 +3x+1 a−4b+6c “Poli” significa “muchos”. Incluye los monomios y binomios como casos particulares, pero en general usamos “polinomio” para tres o más términos.

Monomio

Binomio

Una expresión con un solo término. Ejemplos: 5x, −3a2 y 7 No tiene signos de suma o resta.

Una expresión con dos términos. Ejemplos: x+4 y 3y−2 Se usan mucho en problemas sencillos y en factorización básica.

Evaluar una Expresión Algebraica

¿Qué significa "evaluar"? Es reemplazar la variable por un número específico y calcular el valor de la expresión.

Pasos para evaluar:

1. Reemplaza la letra (variable) por el número que te dan.
2. Sigue el orden de operaciones (jerarquía).
3. Resuelve paso a paso hasta obtener el resultado final.

Por ejemplo:

Evalúa 3x+5 si x=2 Paso 1: Sustituimos → 3(2)+5 Paso 2: Multiplicamos → 6+5 Resultado: 11

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Números reales, potencias y fracciones

¿Qué son los Números Reales?

Los números reales (𝑅) engloban todos los valores que pueden representarse en la recta numérica, tanto positivos como negativos, enteros o no, y también aquellos que no pueden expresarse como fracciones exactas.

Representación en la Recta Numérica.

¿Por qué importan los Reales? Forman la base de casi toda la matemática continua (álgebra, análisis, geometría). Permiten modelar medidas (distancias, áreas, tiempos) en el mundo real.

Potencias – Concepto y propiedades

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación repetida. Por ejemplo:

Componentes de una potencia:

• Base: el número que se multiplica (en el ejemplo, 3).
• Exponente: indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma (en el ejemplo, 4).

Propiedades fundamentales de las potencias.

¿Qué son las fracciones?

Elementos de la fracción.

Una fracción es una forma de representar una parte de un todo o una división entre dos cantidades. Se escribe como: Numerador Denominador​ Ejemplo: Si cortamos una pizza en 8 partes iguales y comemos 3, estamos representando lo que comimos como la fracción : 3/8 ​ .

Elementos de una fracción

• Numerador: Es el número que está arriba y representa las partes que tomamos o consideramos.

Ejemplo: En 3/8 , el numerador es 3.

• Denominador: Es el número que está abajo y representa el total de partes en las que se divide el todo.

Ejemplo: En 3/8, el denominador es 8.

• Línea divisoria: También conocida como la "línea de fracción", indica la relación de división entre el numerador y el denominador.

Tipos de fracciones.

Tipos de fracciones

• Fracciones propias:

El numerador es menor que el denominador. Representan cantidades menores que 1. Ejemplo: 2/5

• Fracciones impropias:

El numerador es mayor o igual al denominador. Representan cantidades mayores o iguales a 1. Ejemplo: 7/4

• Fracciones mixtas:

Combina un número entero con una fracción propia. Ejemplo: 1 3/4

REpresentación gráfica.

Una forma útil de comprender fracciones es visualizarlas gráficamente. Ejemplo. Dibujemos un círculo y dividámoslo en 4 partes iguales. Sombreamos 2 partes para representar la fracción 2/4.

Operaciones básicas con fracciones con el mismo Denom.

Suma

Resta

Simplificación.

Operaciones básicas con dif denom.

Suma

Resta.

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Ejemplo.

Ejemplo.

Multiplicación y división.

División.

Multiplicación.

Operaciones básicas.

Suma de fracciones con enteros.

Suma con 3 fracciones.

De fracción Mixta a impropia.

1. Multiplica el número entero por el denominador de la fracción.
1. Esto representa cuántas partes de esa fracción ya están incluidas en el número entero.
2. Suma el resultado al numerador de la fracción.
1. Esto agrega las partes adicionales que están en la fracción.
3. Escribe el resultado como el nuevo numerador y conserva el mismo denominador.

Ubicar las fracciones en la recta.

Los puntos decimales.

El punto decimal es un símbolo que usamos para separar la parte entera de un número de su parte fraccionaria. Es como una "frontera" que nos dice cuántas unidades completas hay y qué parte de una unidad queda. El punto decimal es otra forma de escribir fracciones. Por ejemplo: 0.5 significa 5/10 0.25 significa 25/100

Conversión de fracciones a decimales y viceversa.

Conversión de fracciones mixta a decimales y viceversa.

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Figuras geométricas con perímetro y área

¿Qué son el perímetro y el área?

Definición de Perímetro

Es la longitud total del contorno de una figura plana. Se obtiene sumando la medida de todos sus lados. La formula general (Nº de lados): P= L1+L 2+⋯+Ln

Por ejemplo.

Definición de Área:

Es la medida de la superficie dentro de la figura. Indica cuánto “espacio” ocupa en un plano. En un contexto cotidiano, sería por ejemplo, el como saber cuántas baldosas necesitas para cubrir el piso de esa misma área.

Figuras Planas y sus Fórmulas

Triángulo

Cuadrado

Círculo.

Rectángulo.

Ejemplo

Ejemplo

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Plan cartesiano.

¿Qué es el plano cartesiano?

El plano cartesiano es un sistema de coordenadas bidimensional formado por dos rectas numéricas perpendiculares, llamadas eje X (horizontal) y eje Y (vertical). Cada punto del plano se identifica con un par ordenado (x,y), donde:

• x indica la posición horizontal (derecha + / izquierda –)
• y indica la posición vertical (arriba + / abajo –)

Analogía y visualización.

Imagina que el plano cartesiano es un mapa de una ciudad.El eje X es la calle principal que va de este a oeste. El eje Y es la avenida que va de norte a sur. Un par (𝑥,𝑦) es como la dirección exacta de una casa o tienda en esa ciudad.

Coordenadas y Cómo Graficar Puntos.

¿Qué es un par ordenado? Un par ordenado es la forma en que escribimos una coordenada en el plano:(x,y) El primer número indica la posición en el eje horizontal (X).El segundo número indica la posición en el eje vertical (Y). Importante: El orden sí importa: (3,2) ≠ (2,3)

¿Cómo graficar un punto paso a paso?

Ejemplo: Graficar el punto (4,−2)

1. Ubica el eje X (horizontal):
1. Desde el origen (0,0), muévete 4 unidades hacia la derecha (porque x=4).
2. Ubica el eje Y (vertical):
1. Desde ese punto, baja 2 unidades (porque 𝑦 =−2).
3. Marca el punto:
1. Pon un punto visible y etiqueta: 𝐴(4,−2)

Cuadrantes del Plano

El plano cartesiano está dividido en cuatro regiones, llamadas cuadrantes, que se forman a partir de la intersección de los ejes X (horizontal) y Y (vertical). Cada cuadrante se identifica con números romanos (I, II, III, IV) y tiene un tipo específico de coordenadas (positivas o negativas).

¿Cómo recordarlo fácilmente?

Cuadrantes se recorren en sentido antihorario desde el primer cuadrante. 👉 I → II → III → IV Un truco sería pensar en un reloj “al revés” empezando desde la parte superior derecha.

Aplicaciones y Distancia entre Puntos

Aplicaciones del Plano Cartesiano

• En la vida real:

• Ubicación en mapas (GPS).

• Arquitectura y diseño gráfico.

• Coordenadas en videojuegos y programación.

• Posición de objetos en física.
• En otras materias:
• Física: trayectorias de cuerpos en movimiento.
• Economía: análisis de gráficas y funciones.
• Informática: posicionamiento de píxeles y gráficos.
• Biología: distribución espacial de especies en un hábitat.

¿Cómo se mide la distancia entre dos puntos?

aCTIVIDAD.

Multiplicación de fracciones.

Para multiplicar fracciones, no es necesario un denominador común. La multiplicación es directa, y el procedimiento consiste en multiplicar los numeradores y los denominadores.

El Origen (0,0)

Punto donde se cruzan los dos ejes.

Es el punto de referencia para todas las coordenadas. Sirve como “centro” desde el cual medimos desplazamientos horizontales y verticales.

En la analogía: El origen es como la “plaza central” de una ciudad; desde allí las calles se numeran hacia todos los rumbos.

Rectángulo.

Lados opuestos iguales; base (b) y altura (h)

Perimetro:

Área: ¿Por qué? Base por altura.

Círculo

Conjunto de puntos a una distancia fija (radio r) de un centro

Perimetro: ¿Por qué? Diámetro (2 r) por π.

Área: ¿Por qué? Equivale a la suma de infinitos pequeños sectores triangulares.

Simplificación de fracciones.

Ubica la primera flecha en la recta numérica. En esta ocasión, la primera flecha es el nueve. Ponemos su inicio a partir del cero y se estira hasta llegar al número .

¿Cómo se mide la distancia entre dos puntos?

Para calcular la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, usamos una fórmula basada en el Teorema de Pitágoras:

Si tenemos dos puntos: 𝐴(x1, y 1) y 𝐵 ( 𝑥2, 𝑦2) La distancia entre ellos es: Esta fórmula nos dice cuánto mide el segmento recto que une dos puntos en el plano.

Por ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos 𝐴 (2,3) y 𝐵 (7,6)

Suma de fracciones.

Cuando las fracciones tienen el mismo denominador, esto significa que están divididas en partes del mismo tamaño. Para sumarlas:

1. Suma los numeradores (partes tomadas).
2. Mantén el denominador igual (tamaño de las partes).

• Supongamos que hay una pizza dividida en 8 partes iguales. Si comes 3 partes y tu amigo come 2, juntos han comido:

X (horizontal):

• Va de izquierda a derecha.

• Los valores positivos se extienden hacia la derecha.

• Los valores negativos hacia la izquierda.

De fracción a decimal.

1.- Interpreta la fracción como una división. El numerador es el dividendo (el número que se divide) y el denominador es el divisor (el número entre el que se divide). 2.- Realiza la división. Divide el numerador entre el denominador utilizando la división larga o con una calculadora. 3.- Escribe el resultado como decimal.

Ejemplo. 1/2 a decimal.

Divide: 1 ÷ 2 2 no cabe en 1, así que agregamos un punto decimal y un 0: 10 ÷ 2 = 5 Resultado: 1 ÷ 2=0.5

Conversión de decimales a fracción mixta.

Si tienes un decimal que incluye una parte entera y decimal, como 3.75, puedes convertirlo a fracción mixta.Procedimiento:1. Separa la parte entera y la parte decimal:

• Parte entera: 3
• Parte decimal: 0.75

2. Convierte la parte decimal a fracción:

3. Combina la parte entera y la fracción:

Suma de 3 fracciones.

Restas con diferente denominador.

Cuando las fracciones tienen denominadores diferentes, podemos restarlas siguiendo estos pasos:

¿Qué se hace primero y por qué?

6 + 3 x 2

Se resuelve primero la multiplicación: 3 x 2 = 6 6 + 6 = 12

X Si se hace primero la suma:6 + 3 = 9 9 x 2 = 18

¿Por qué está mal hacer primero la suma? Porque las operaciones tienen diferente “peso” o prioridad. La multiplicación (y también la división) es más fuerte que la suma y la resta, ya que afecta a más números más rápidamente. Es como que se “impone” sobre las otras operaciones.

Para realizar la sustracción es necesario ordenar las cifras en el sistema posicional (centenas, decenas y unidades), éstas se acomodan en la columna correspondiente y se realiza la sustracción con su disminución de las cifras, esto aplica para las unidades, así como para los decimales.

X (horizontal):

• Va de izquierda a derecha.

• Los valores positivos se extienden hacia la derecha.

• Los valores negativos hacia la izquierda.

Eje 𝑌 (vertical):

• Va de abajo hacia arriba.

• Los valores positivos se extienden hacia arriba.

• Los valores negativos hacia abajo.

Cuadrado

Todos sus lados miden lo mismo (L).

Perimetro: ¿Por qué? Porque hay 4 lados iguales.

Área: ¿Por qué? Se multiplica lado por lado (su base por su altura).

Suma de fracción con enteros.

Por ejemplo, en un rectángulo.

Un rectángulo de 5 m × 3 m → 𝑃 = 5 + 3 + 5 + 3 = 16 m

Para realizar la adición, es necesario ordenar las cifras con el sistema posicional (centenas, decenas y unidades) éstas se acomodan en la columna correspondiente y se realiza la adición con su debido corrimiento en la posición de las cifras, esto para los números enteros y así mismo para los decimales.

De fracción mixta a decimal.

Una fracción mixta es aquella que tiene un número entero y una fracción, como Procedimiento:

1. Dejar el entero intacto: Trabajamos solo con la fracción para convertirla en decimal.
2. Convertir la fracción a decimal: Se divide el numerador por el denominador.
3. Sumar el entero al decimal obtenido.

Eje 𝑌 (vertical):

• Va de abajo hacia arriba.

• Los valores positivos se extienden hacia arriba.

• Los valores negativos hacia abajo.

Resta.

Cuando restas fracciones, el procedimiento es similar al de la suma:

1. Resta los numeradores (partes tomadas).
2. Mantén el denominador igual.

Un pastel está dividido en 10 partes iguales. Si quedan 7 partes y alguien toma 3, la fracción que queda es:

Suma de fracciones con diferente denominador.

Cuando las fracciones tienen denominadores diferentes, puedes sumarlas siguiendo este método:

Un pequeño tip.

X (horizontal):

• Va de izquierda a derecha.

• Los valores positivos se extienden hacia la derecha.

• Los valores negativos hacia la izquierda.

División de fracciones.

Para dividir fracciones, simplemente transformamos la operación de división en una multiplicación utilizando el recíproco (o inverso) de la segunda fracción.

Propiedades fundamentales de las potencias

Propiedad.

Fórmula.

Ejemplo.

Producto de potencias (misma base)

Cociente de potencias (misma base)

Potencia de una potencia

Potencia de un producto

Exponente cero

Exponente uno

Conversión de decimales a fracciones.

• Escribe el número decimal como una fracción.

• Coloca el número decimal completo como numerador (sin el punto decimal).
• El denominador será una potencia de 10 dependiendo de cuántos dígitos haya después del punto decimal:
• Un dígito → el denominador es 10.
• Dos dígitos → el denominador es 100.
• Tres dígitos → el denominador es 1000.
• Simplifica la fracción.

• Divide el numerador y el denominador entre su Máximo Común Divisor (MCD) para reducir la fracción a su forma más simple.

Ejemplo: 0.75 Queremos convertir 0.75 a una fracción:

• Escribimos 0.75 como 75/100 porque hay dos dígitos después del punto decimal (el denominador es 100).
• Simplificamos 75/100​ = 3/4

Representación en la Recta Numérica.

• Todos los puntos de la recta (enteros, decimales exactos o infinitos) son números reales.
• Los racionales aparecen como decimales finitos o periódicos.
• Los irracionales como decimales infinitos no periódicos.

Triángulo

Tres lados (a, b, c) y altura (h) asociada a la base b.

Perimetro:

Área: ¿Por qué? Un triángulo ocupa la mitad de un paralelogramo con misma base y altura.