Teoria da Partilha Equilibrada

Teoria da Partilha Equilibrada

Príncipios gerais de uma partilha

ÍndICE

Introdução

Princípios gerais de uma partilha

Tipo de partilha

Métodos de partilha no caso contínuo

Métodos de partilha no caso discreto

Introdução

"Como distribuir 30 caramelos iguais por 6 crianças?"

Qualquer um dos métodos de partilha que vamos estudar não garante que cada um dos intervenientes obtenha uma parte justa; garante apenas que, se seguirmos as regras impostas por cada método, obteremos uma parte que ele considera ser justa e que nenhum dos restantes intervenientes a inveje. É por isso que uma partilha equilibrada é também designada por partilha livre de inveja.

Esta situação resolve-se facilmente, pois 30 é divisível por 6 e os caramelos são supostamente iguais. E se tivermos de distribuir os mesmos 30 caramelos por 7 crianças? Estamos perante um problema de partilha equilibrada.

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Exemplo

Suponhamos que existe um conjunto de três bens que devem ser divididos por 4 herdeiros. Neste caso temos S=3 e N=4. Uma parte justa para cada um dos herdeiros é aquela que, na opinião da pessoa que a recebe, vale pelo menos ¼ dos três bens a serem divididos. O problema da partilha equilibrada consiste na determinação de processos lógicos que permitam que cada herdeiro fique satisfeito com a parte que recebe, depois de efetuada a partilha, segundo um critério fixado, embora cada um possa avaliar de forma diferente a parte que lhe coube e a que coube aos outros. Assim, antes de iniciarmos o estudo da partilha há alguns pressupostos básicos que devem ficar assentes.

Seguinte

Príncipios Gerais de uma partilha

II

Para dividir algo justamente, cada pessoa deve obter uma porção que ela julgue justa do seu ponto de vista. A “justeza” depende, da opinião de cada pessoa.

Os herdeiros podem ter opiniões diferentes acerca do valor de um objeto.

Cada pessoa pode dividir um objeto em partes que ela própria considere serem iguais.

III

Se um objeto é dividido em partes, cada pessoa pode atribuir diferentes valores a cada uma destas partes. A soma das partes é igual a 1.

IV

O valor que uma pessoa atribui a uma parte de um objeto pode envolver algo para além desta parte.

Tipo de Partilha

No caso da divisão de alimentos (por exemplo, um bolo) sabemos que, em termos teóricos, a divisão pode efetuar-se indefinidamente pois o bolo pode ser dividido em inúmeras partes. Dizemos que estamos perante um processo de partilha no caso contínuo. O mesmo não se passa com a divisão de bens ou a atribuição de mandatos. Não é possível dividir uma casa em partes. Não é possível atribuir 1,7 mandatos. Nestas duas situações dizemos que estamos perante uma partilha no caso discreto.

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Partilha no caso Contínuo

Quando estamos na presença de objetos que, teoricamente, podem ser divididos numa infinidade de partes (um bolo, um terreno, …) dizemos que vamos fazer uma partilha no caso contínuo. O exemplo da divisão de um bolo vai acompanhar-nos ao longo deste estudo. Se bem que a divisão de um bolo possa parecer um assunto fútil, a verdade é que o que aprendermos para esta situação pode generalizar-se à resolução de problemas de natureza mais séria.

MÉtodos de Partilha no caso Contínuo

Método do divisor-selecionador

Método da faca deslizante

Partilha equilibrada. Livre de inveja

Método do divisor único

Método do selecionador único

Algoritmo de Selfridge-Conway

Método do último a diminuir

Algoritmo de Brams-Taylor

Método do divisor-selecionador (duas pessoas)

Exemplo: “Sobrou piza do almoço. O Rafael e o Luís pretendem dividi-la equitativamente entre eles. Como deverão proceder?” Esta situação é o caso mais simples de partilha equilibrada no caso contínuo. Um dos amigos divide a piza e o outro escolhe uma das partes. Este método é o método da divisão e escolha. Este método garante que cada um dos intervenientes receba o que considera ser pelo menos metade do todo: o divisor tem esta garantia quando efetua a divisão e o selecionador quando escolhe a “melhor” parte. No entanto, as opiniões de cada interveniente acerca do objeto a dividir não devem ser conhecidas do outro pois isso poderá condicionar a partilha, que deixaria de ser equilibrada.

Método do divisor único (três ou mais pessoas)

Neste método só uma das pessoas divide, todos os outros escolhem.

Exemplo: “Três herdeiros de um terreno, Francisco, Joaquim e Tomé, pretendem dividi-lo de uma forma justa em três partes. Aleatoriamente, o Francisco é escolhido para ser o divisor e divide o terreno em três partes; P1, P2 e P3, que ele acredita serem iguais. Joaquim e Tomé, os selecionadores, vão, independentemente, um do outro, escolher uma ou mais partes.”

Método do selecionador único (três ou mais pessoas)

Neste método, como o próprio nome indica, um participante é o selecionador, enquanto, que os restantes, são todos divisores.

Exemplo 1: "Três amigos, Abel (A), Beatriz (B) e Carolina (C) pretendem partilhar um bolo igualmente. Como poderão fazê-lo?

4º passo

2º passo

3º passo

1º passo

Processo terminado

Exemplo 2: "Três náufragos chegam a uma ilha deserta e decidem dividi-la em três partes iguais. Aleatoriamente, coube ao António o papel do selecionador enquanto, que o Francisco e o José serão os divisores."

Método do último a diminuir

Neste método, qualquer um dos intervenientes é simultaneamente divisor e selecionador. Os matemáticos polacos Stefan Banach e Bronislaw Knaster, propuseram este algoritmo de divisão no caso contínuo, destinado a funcionar com qualquer número de intervinientes.

Exemplo: "Suponhamos que, uma semana mais tarde, os nossos náufragos recebem duas visitas, o Daniel e o Eduardo, que também naufragaram. É necessário proceder a uma nova divisão da ilha, desta vez em cinco partes."

Método da faca deslizante

Este método, pode ser aplicado com qualquer número de participantes.

Em termos estratégicos, qualquer tentativa de um participante ficar com uma parte maior (não dizendo "stop" e esperando um pouco mais) acarreta o risco de esse participante acabar por ficar com uma parte menor.

Partilha Equilibrada. Livre de inveja

O conceito de divisão livre de inveja surge, frequentemente, associado aos métodos de partilha equilibrada, mas nem todos os procedimentos conduzem a uma divisão desse tipo.De facto, com alguns dos algoritmos já enunciados, poderá acontecer que alguém, apesar de considerar que recebeu uma parte justa, pense que outra pessoa recebeu uma parte mais valiosa que a sua.

Os algoritmos que vamos ver a seguir são soluções para a divisão livre de inveja para 3 pessoas e para 4 ou mais pessoas.

Algoritmo de Selfridge-Conway - 3 pessoas

Consideremos que as passoas envolvidas são A, B e C. Neste caso os passos são:

1. A, ou um dos intervenientes escolhidos aleatoriamente, corta o bolo em três pedaços que considera terem igual valor.

2. Entrega os três pedaços a B.

3. B apara no máximo um dos três pedaços (poderá não aparar nenhum) de modo a que para ele não exista uma porção mais valiosa do que as outras.

4. Coloca as aparas de lado e entrega as três partes (uma das quais pode ser aparada) a C.

5. C escolhe um dos três padaços. B escolhe a seguir com a condição de ter de escolher o pedaço aparado no passo 3 se ele não tiver sido escolhido por C. A recebe o pedaço restante.

Partilha no caso DISCRETO

Quando estamos na presença de bens que não podem ser divididos, por exemplo, divisão de um património em caso de morte ou divórcio; divisão dos lugares de deputado no parlamento pelos diferentes partidos, etc. Neste caso, podemos utilizar os métodos proporcionais.

MÉtodos de Partilha no caso DISCRETO

Método do ajuste na partilha

Método das licitações secretas

Método dos marcadores

Método do AJUSTE NA PARTILHA

Este método foi patenteado em 1999 por Steven Brams (matemático e cientista político norte americano) e por Alan Taylor (matemático norte-americano). Este método pode aplicar-se à divisão de um certo número finito de itens (que podem ser bens) entre dois intervenientes da forma mais justa possível.

É um método de divisão justa e livre de inveja, que quando aplicado na divisão de bens do tipo discreto a dois intervenientes satisfaz simultaneamente as três propriedades seguintes:

• ser livre de inveja, ou seja, os intervenientes acreditam que a parte que recebem é tão ou mais valiosa que a dos outros;
• ser equitativo, ou seja, qualquer um dos n intervenientes acredita que a parte que recebe é pelo menos 1/n do total em disputa;
• ser eficiente, ou seja, não há outra distribuição de bens que seja melhor.

Método do AJUSTE NA PARTILHA

Exemplo: "Supõe que dois grandes amigos, Bicos e Trinca-Espinhas, descobriram um navio pirata afundado e decidiram partilhar, entre si, a valiosa descoberta. Como não chegaram a acordo quanto ao modo de repartir os objetos encontrados, definiram um conjunto de procedimentos que conduziram à divisão dos bens:

Procedimentos

1. Que itens recebe cada um dos amigos no passo 2? 2. Em quantos pontos avalia cada amigo o total dos itens recebidos nesta fase? 3. Como propões que sejam efetuados os ajustes finais para que cada amigo fique satisfeito com a partilha?

Método dAS LICITAções secretas

Este método foi originalmente proposto por Steinhaus e Knaster, em 1948.

Pode aplicar-se nos casos em que se pretende dividir bens por dois ou mais intervenientes.

• Os bens a partilhar podem ou não ser divisíveis;
• Este método pressupõe a existência de dinheiro para acertos e compensações;
• No caso de não existir dinheiro vai ser necessário constituir um empréstimo e como este está sujeito a juros o método de partilha pode não ser considerado justo.

O facto dos itens ou bens a partilhar poderem ser do tipo discreto ou contínuo faz com que este método seja um dos mais importantes e mais utilizados na partilha equilibrada, especialmente no que diz respeito à divisão de heranças ou património.

Método das licitações secretas

Exemplo: A Amanda, o Bruno e o Carlos são os herdeiros de uma casa, um barco, um carro e 150 000 euros em dinheiro. Para distribuírem os bens, decidiram utilizar o seguinte procedimento:

Procedimentos

1. Quanto vale a herança para cada um dos herdeiros? 2. Quanto vale uma parte justa da herança para a Amanda? E para o Bruno? E para o Carlos? 3. Quem fica com a casa? E com o barco? E com o carro? 4. Quanto recebe cada um dos herdeiros após distribuídos estes itens? Quanto dinheiro resta na herança após esses pagamentos? 5. Quanto recebe cada herdeiro no passo final? Qual o valor total recebido por cada herdeiro segundo a sua avaliação? 6. Alguém pode ter alguma razão de queixa? Porquê?

Método dAS LICITAções secretas

Vantagem Este método funciona para um número arbitrário de intervenientes.

Desvantagem O método exige que cada interveniente possua dinheiro suficiente para cobrir as licitações, o que pode levar a algum interveniente a subavaliar os bens, caso não possua dinheiro suficiente para compensar os outros.

Método dos marcadores

Este método foi apresentado, em 1975, pelo matemático norte-americano Wiliam F. Lucas (1933 - 2010) e aplica-se a bens do tipo discreto (indivisíveis).

Para o procedimento funcionar, é fundamental que:

• Exista um número de bens bastante maior que o nº de intervenientes;
• Os bens tenham vsalores aproximados e pouco elevados;

Tem a vantagem de não ser necessário que os intervenientes tenham disponível uma quantia em dinheiro. Este método garante sempre que cada interveniente acaba por ficar com um dos segmentos que escolheu.

Método dos marcadores

Exemplo: Três amigas, Gabi (G), Petra (P) e Sara (S), precisam de dividir entre si um lote de 12 camisolas diferentes que ganharam num sorteio. Decidem usar o método dos marcadores que aprenderam na última aula de Macs. Como podem fazê-lo?

Exercício: Quatro jogadores de pingue-pongue, A, B, C e D, pretendem dividir entre si 15 troféus que ganharam em conjunto ao longo de um campeonato.

Decidem utilizar o Método dos Marcadores. Para isso, colocam os troféus numa certa ordem numeram-nos e, em seguida, secretamente, cada um divide a fila dos 15 troféus em quatro segmentos usando três marcadores.

Suponhamos que após a colocação dos marcadores de todos os jogadores obtemos o esquema Como podem fazê-lo?

esquema

Ver exemplo 30 e 31 do manual das páginas 110, 111 e 112 Resolução do ex. 52 do manual da página 112Resolução do ex. 59 e 60 do manual da página 119

Dependendo do tipo de bens ou objetos a partilhar, podemos classificar o tipo de partilha em contínua, discreta ou mista.

• No caso contínuo, temos um conjunto de bens que se podem dividir de uma infinidade de maneiras. Por exemplo: bolos, pizzas, terrenos ou escritórios.
• No caso discreto, os bens são indivisíveis, ou seja, não se podem dividir ou desagregar. Por exemplo: casas, carros, jóias ou quadros.
• No caso misto, alguns bens são divisíveis e outros não. Não iremos abordar este último caso, pois basta dividir os bens utilizando os métodos contínuo e discreto, conforme o seu tipo.

Ver exemplo 28 do manual da página 105

Ver exemplo 26 do manual da página 101 Resolução do ex. 49 do manual da página 102Resolução do ex. 56 do manual da página 118

Ver exemplo 23 do manual da página 95 Resolução do ex. 46 do manual da página 96 Resolução do ex. 54 do manual da página 118

Ver exemplo 29 do manual das páginas 107 e 108 Resolução do ex. 51 do manual da página 109Resolução do ex. 58 do manual da página 119

Ver exemplo 32 do manual da página 114 Resolução do ex. 53 do manual da página 114Resolução do ex. 61 do manual da página 119

Ver exemplo 25 do manual da página 99 Resolução do ex. 48 do manual da página 100Resolução do ex. 57 do manual da página 118

Partilha é o processo mediante o qual se repartem, de igual modo, objetos indivisíveis, ou não, por herdeiros com direito a partes iguais.

No processo de divisão proporcionado por uma partilha podem estar diretamente envolvidos indivíduos, organizações e mesmo Estados. A preocupação de agir de forma justa num processo de partilha é tão grande que exige que os métodos utilizados no processo de partilha sejam considerados corretos quando observados pelos herdeiros. Falamos assim no conceito de partilha equilibrada.

Ver exemplo 27 do manual da página 104 Resolução do ex. 50 do manual da página 104

Procedimento:

1º Passo: Faz-se um sorteio para saber quem divide (por exemplo, atirando uma moeda ao ar) 2º Passo: O divisor procede à divisão do objeto em duas partes que considera serem iguais. 3º Passo: O selecionador escolhe uma das partes e o divisor fica com a parte que o selecionador não escolheu.

Ver exemplo 24 do manual da página 95 Resolução do ex. 47 do manual da página 98Resolução do ex. 55 do manual da página 118