Funciones trascendentes

Funciones trascendentes.

Todo lo que es importante saber de ellas.

Generalidades

índice

Funciones trigonométricas inversas

Introducción

Actividades

Funciones exponenciales

Resultados

Funciones logarítmicas

Funciones trigonométricas

INTRODUCCIÓN

Una función trascendente es aquella en la que la variable independiente x está sometida a operaciones que no son exclusivamente algebraicas. Estas son operaciones con exponenciales, logaritmos o con razones trigonometricas..

Definición Gráficas Dominio Recorrido o imagen Continuidad y derivabilidad Monotonía, máximos y mínimos Curvatura Cortes con los ejes x e y y cambios de signo Asíntotas y ramas Simetría Representación Aplicaciones prácticas

El crecimiento de contagios en una pandemia como la COVID-19 ó la evolución de una población de insectos en un determinado lugar son fenómenos que pueden describirse mediante una función exponencial. Otras aplicaciones son el interés compuesto, el volumen del sonido, la disminución radioactiva, las tasas de crecimiento de cultivos de bacterias, entre muchas otras más. A lo largo de esta presentación vamos a ir desgranando las propiedades de este tipo de funciones, algunas de las cuales se enuncian en el cuadro a la derecha.

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Funciones exponenciales.

El número e = 2.718281828... también denominado número de Euler, es un número irracional de gran importancia. A las funciones exponenciales con base "e" se les denominan exponenciales naturales.

Ejemplos

casos diversos...

Con los elementos que se dan en la función (base, coeficiente y su signo, exponente y su signo) se tiene información suficiente para poder inferir cómo se desarrolla la gráfica de la función, qué valores puede tomar, cuáles son sus límites, sus semejanzas y diferencias con otros tipos de funciones.

ELEM. DE LA FUNCIÓN

a), d) y e) son funciones sencillas en la forma expresada en la definición.

La función en c) combina ambas transformaciones.

La base es un real positivo distinto de 1. En c) el signo - es del coeficiente.Es como una reflexión vertical de la función original

La función en b) representa un coeficiente que multiplica a la base; escalan en el eje "y" y crecen o decrecen más rápido.

Ve y haz algunas gráficas funciones exponenciales y lleva tu comprensiónal siguiente nivel.

f) presenta una resta en el exponente. Cuando esto pasa, se produce un desplazamiento horizontal de la función original

h) tiene un signo - con la variable independiente. Es como una reflexión horizontal de la función original.

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Funciones logarítmicas

Son funciones trascendentes que tienen la forma que se muestra en la figura y que tiene por elementos: La base "a", que es un número real mayor que 0 y distinto a 1 que determina si la función es creciente o decreciente: Si a>1 la función es creciente Si a<1 la función de decreciente Veamos algunos ejemplos:

• ¿Las funciones en a), b), c) y en d) son funciones logarítmicas sencillas, en la forma expresada en la definición, crecientes o decrecientes según el valor de la base
• Las funciones en e) y en f) son funciones logarítmicas en las que se ha aplicado alguna transformación
• La función en c) es un logaritmo de base 10. A estos logaritmos se les conoce como logaritmos decimales, y se pueden expresar f(x)=log10(x)=log(x)
• La función en d) es un logaritmo de base el número de Euler e. A estos logaritmos se les conoce como logaritmos neperianos o naturales, y se pueden expresar f(x)=loge(x)=ln(x)

Definción:

características

Dado que cualquier número distinto de 0 elevado a 0 es 1, las cuatro funciones pasan por (1,0), y dado que a¹=a, todas pasan por (a,1).

Las gráficas en rojo corresponden a las dos funciones logarítmicas más utilizadas, ambas de base mayor que 1

Si el argumento del logaritmo "x" se cambia por "x+a", la gráfica se corre a la izquierda "a" unidades y si fuera "x-a" se corre a la derecha "a" unidades.

Las funciones en verde corresponden a dos logarítmicas de base menor que 1

Si la función tiene un término constante sumando, por ejemplo y= a+lnx, entonces la gráfica "sube" "a" unidades.

Observe como en las funciones logarítmicas, pequeños cambios en x provocan grandes cambios en y cuando x<1. Luego, para valores de x>1 los cambios en y son muy pequeños..

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dominio y rango

función logaritmo

Dado que es imposible obtener un número negativo elevando un número positivo (la base) a cualquier otro, no es posible hablar de logaritmos de números negativos. Por otro lado, dado que no es posible obtener 0 como resultado de elevar un número positivo (la base) a otro, tampoco podemos hablar del logaritmo de 0. El dominio de la función logarítmica de tipo f(x)=loga(x) es el conjunto de los reales positivos: El Rango de la función es el conjunto de todos los reales:

Continuidad

Las funciones logarítmicas son continuas en todo su dominio.

Crecimiento

Son crecientes si la base a>1 y decrecientes si a<1

Máximos y mínimos

Las funciones logarítmicas no tienen ni máximos ni mínimos

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F. trigonométricas

Las funciones trigonométricas son relaciones de dos lados de un triángulo rectángulo y como funciones racionales, sus restricciones son que el denominador no valga cero, que puede suceder nada más con tangente y cotangente y con secante y cosecante. Vaya al enlace que está en +INFO y vea en la animacion qué sucede con seno, coseno y tangente, que son las funciones que más frecuentemente se usan...

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Funciones seno y coseno

Ambas funciones son continuas y sin restricciones en el dominio y acotadas en su rango, tanto por abajo como por arriba.

Si la función es y=Senx o y=Cosx, sus argumentos pueden tomas cualquier valor entre los reales. Sus gráficas son idénticas con un desfase entre ellas de 90°. Si el argumento se mutliplica por una constante "a", sus períodos se acortan, es decir, la frecuencia con la que se recorren los cilos completos aumenta. Si el argumento se divide por una constante "a", sus peŕiodos se alargan, es decir, la frecuencia con la que se recorren ciclos completos disminuye.

Si la función tiene un coeficiente multiplicándola, por ejemplo y=a Senx, la amplitud de la gráfica cambia; Si a<1 se reduce la amplitud y si a>1 aumenta. Si en la función aparece un término sumando y/o restando, por ejemplo y=Senx + a, la funión "sube" o "baja" a unidades si a>0 o a<0. Si la función trigonométrica aparece en combinación siendo el radicando de raíces cuadradas o el denominador de una función racional, aplican las reglas que se vieron en las funciones algebraicas.

y = 1/2 Sen x (Violeta)y = 2 Senx (verde)

y=Sen x (verde) y=Sen 2x (violeta)

y = Sen x -1 (violeta)y = Senx +1 (verde)

F. Tangente

¿En el círculo unitario, la función tangente es la relación entre "y" y "x", por lo tanto la restricción que tiene es que no existe para x = 0; es decir, la tangente no existe en el eje "y", a los 90°, 270° y todos sus múltiplos.

Variación de la función vs variación de la variable.

La tangente no está acotada

Solo tiene un punto de inflexión cuando y=0 (sobre el eje "x"), por lo que no tiene máximos ni mínimos.

La tangente describe bien cómo cambia "y" cuando hacemos cambiar "x".

otras funciones

Continuidad:

generalidades

La curva es contínua por intervalos: primero de (0° a 180°) con una sección y la imagen nvertida de (180° a 360°). Tiene mínimos relativos en y=1 y méximos relativos en y=-1 pero considere que no tiene mínimos ni máximos absolutos..

función secante

Continuidad:

generalidades

La curva es contínua por intervalos: primero de (0° a 90°) con una sección y la imagen nvertida de (90° a 270°). Tiene mínimos relativos en x=0 y x=360° y méximos relativos en x=180° pero considere que no tiene mínimos ni máximos absolutos..

f. cotangente

generalidades

La función exponencial por excelencia.

En finanzas es muy importante para el cálculo de interés comuesto continuo, en la ley de enfriamiento de Newton, en crecimiento, decrecimiento de poblaciones, la famosa distribución de probabilidad normal, entre otras.

Introducción a las funciones exponenciales

• Su gráfica es continua.
• Tiene una asíntota horizontal.
• Usualmente corta el eje y en (0,1) excepto cuando el exponente es más complejo.
• No tiene simetría.

Elementos de una función exponencial