La Statistica
L'indagine statistica si basa sull'osservazione, sulla raccolta, sull'analisi e sull'interpetazione di dati relativi a determinate situazioni o fatti, detti fenomeni collettivi
Il Fenomeno
I caratteri e le variabili
La Rappresentazione grafica dei dati
Le tabelle di frequenza
Gli indici di posizione centrale
Vertical MIND MAP
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Le variabili
Le variabili statistiche si possono suddividere in discrete e continue.
- Le variabili discrete sono variabili quantitative le cui modalità derivano da un'operazione di conteggio. Possono assumere un numero finito di valori, per esempio " il numero di persone di una classe", il numero dei libri della scuola", ecc...
- Le variabili continue sono variabili quantitative che derivano da un'operazione di misurazione. Possono assumere infiniti valori in un intervallo di numeri reali., per esempio "pi greco", "l'altezza", ecc...
L'Ortogramma è un grafico che rende visibili i risultati di un'indagine statistica mediante rettangoli aventi tutti la stessa base e le altezze proporzionali alle frequenze assolute dei dati.
L'Ortogramma
"Dario guarda sconsolato la tabella dei risulati che si riferiscono allo sport praticato dai suoi compagni di classe. poi gli viene un'idea: costruirà dei grafici!"
Fenomeni collettivi
La statistica si suddivide in descrittiva e induttiva.
- La statistica descrittiva ha lo scopo di raccogliere e di elaborare i dati per descrivere fenomeni collettivi relativi a una popolazione o a un campione.
- La statistica induttiva si occupa dei metodi che permetono di estendere i risultati all'intera popolazione.
I fenomeni colettivi sono fenomeni che interessano un numero abbastanza grande di individui, che presentano caratteristiche uguali o simili fra loro. Chiamiamo popolazione o universo l'insieme di elementi che viene preso in considerazione in un'indagine statistica. Ogni elemento della popolazione è detto unità statistica. Si dice dato statistico il risultato di un rilevamento su una unità statistica. Se il rilevamento dei dati avviene su tutta la popolazione l'indagine si definisce censimento. Se l'indagine viene condotta solo su una parte della popolazione è detta campione.
La frequenza assoluta
La frequenza assoluta F, o frequenza, di un dato statistico è il numero di volte con cui esso si è presentato nell'indagine.
Nel caso dell'indagine relativa allo sport praticato dagli alunni della I Bsc , si è ricavata la tabella di frequenza indicata a lato che riporta le preferenze espresse mediante un numero che è detto frequenza assoluta. Per esempio la frequenza con cui compare la scelta "calcio" è 8 e quella corrispondente alla danza è 4.
La frequenza relativa
Spesso è interessante confrontare il valore della frequenza con il numero totale delle unità statistiche. Per questo motivo viene calcolata la frequenza relativa. La frequenza relativa f di un dato statistico è il rapporto tra la sua frequenza assoluta e il totale dei casi esaminati: f = F/n
Nell'esempio precedente la frequenza relativa del "calcio" è 8/23, cioè 8 ragazzi su 23 praticano il gioco del calcio e si può anche esprimere in termini percentuali f = 8/23= 34,78%. Integriamo la tabella dell'esempio precedente con le colonne della frequenza relativa e della frequenza relativa percentuale, approssimata al decimo. Osserviamo che la somma delle frequenze relative alle diverse modalità è uguale a 1, la somma delle frequenze relative percentuali è uguale a 100%. Questa è una proprietà generale, vera sempre.
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Che cos'è un fenomeno?
Per fenomeno si intende ciò che capita intorno a noi. E' possibile distinguere fra fenomeni che si presentano sempre con le stesse caratteristiche chiamati fenomeni tipici, e fenomeni che si manifestano ogni volta con caratteristiche diverse, detti fenomeni atipici. In alcuni casi di fenomeni atipici, se si effettuano numerose osservazioni, si possono evidenziare delle caratteristiche uniformi. In questo caso si parla di fenomeni collettivi.
Consideriamo la distribuzione di frequenze riportata nella tabella.Riportiamo sull'asse delle ascisse i tipi di sport che praticano i ragazzi e sull'asse delle ordinate le fequenze. Dopo aver segnato i punti, li colleghiamo, e la spezzata che otteniamo rapresenta la forma della distribuzione delle frequenze. Con i diagrammi cartesiani si rappresentano spesso le serie storiche, dove la spezzata evidenzia l'andamento di un fenomeno nel tempo.
I Diagrammi cartesiani
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La Frequenza cumulata
Consideriamo un carattere quantitativo e ordiniamo in modo crescente le sue modalità. La frequenza cumulata di una modalità è la somma delle frequenze delle modalità minori o uguali ad essa.
In un sondaggio fatto all'interno di una facoltà composta da 250 studenti, si intende rilevare il carattere "Gradimento dei professori", secondo le cinque modalità "molto deluso", "insoddisfatto", "parzialmente soddisfatto", "soddisfatto", "entusiasta".Risulta che 10 studenti si dicono entusiasti dell'operato dei professori, 51 si dicono soddisfatti, 63 parzialmente,90 insoddisfatti, 36 molto delusi.
Quando si vuole catalogare un gruppo di persone in base all'altezza, al peso,... una rappresentazione delle frequenze con un ortogramma potrebbe falsare la letttura dei dati: è meglio utilizzare un istogramma che è basato sulle aree delle colonne anzichè sulla loro altezza. Per costruire l'istogramma di un fenomeno riportiamo sull'asse delle ascisse gli intervalli rappresentati dalle lunghezze di segmenti adiacenti e costruiamo su di essi altrettanti rettangoli, sapendo che le loro aree devono essere proporzionali alle frequenze delle caratteristiche contenute nei corrispondenti intervalli. Nell'istogramma riportato a lato, vengono riportate sulle asse delle ascisse le classi di statura di una classe terza con intervalli ampi 10cm, tale grafico è formato da un insieme di rettangoli adiacenti aventi la base sull'asse orizzontale. Piochè gli intevalli hanno la stessa ampiezza, le altezze dei rettangoli saranno uguali alle corrispondenti frequenze.
L'Istogramma
Induviduazione della caratteristica
Per ogni unità statistica è possibile studiare diverse caratteristiche. Ogni caratteristica rappresenta un carattere della popolazione. Ogni carattere viee descritto mediante una modalità con cui esso si può manifestare. e possono essere di due tipi:
- di tipo qualitativo quando è epressa da un dato non numerico (non misurabile), per esempio "mezzo di trasporto", "colore degli occhi", ecc...
- di tipo quantitativo quando è epressa da un numero (che si può misurare), per esempio "altezza", "peso", ecc...
L'aereogramma è particolarmente utile per rappresentare le frequenze relative percentuali. Si presenta come un cerchio che viene suddiviso in tanti settori circolari. Ognuno di questi settori corrisponde a una modalità qualitativa o quantitativa e ha un'ampiezza proporzionale alle frequenze. Per determinare l'ampiezza x corrispondente a una certa frequenza relativa percentuale f% si utilizza la proporzione: x: 360°= f%: 100 --> x= 360° x f% / 100 Ecco l'aereogramma dell'esempio precedente.
Gli Aereogrammi
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48%
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La media aritmetica e la media ponderata
Disponiamo in ordine crescente i pesi (kg) degli alunni di una classe: 35,39,39,39,41,46,46,50,50,51; addizionando tutti i pesi e dividendo il risultato per il numero delle unità statistiche (13) si ottiene la media aritmetica M. M= 35+39+39+39+41+46+46+46+46+46+50+50+51 = 44,15 13 La media aritmetica M, o media, di una sequenza di n numeri x1, x2, ..., xn è il quoziente fra la loro somma e il numero n. M=(x1+x2+...+xn)/n La scrittura del calcolo della media può essere molto lunga; ma utlizzando la tabella delle frequenze si può sostituire alle somme di dati uguali il prodotto dato per la sua frequenza: M = 35+39x3+41+46x5+50x2+51 = 44,15 1+3+1+5+2+1 In questo modo abbiamo tenuto conto di quanti dati con un certo valore ci sono: si "pesano" i dati e così questa media è detta media ponderata. Data una sequenza di numeri x1,x2,..., xn con associati i numeri p1, p2,..., pn, detti pesi, chiamiamo media aritmetica ponderata Mp, il quoziente fra la somma dei prodotti dei numeri per i loro pesi e la somma dei pesi stessi. Mp= (x1p1+x2p2+...+xnpn)/ p1+p2+...+pn La media aritmetica è un caso particolare di media ponderata in cui tutti i pesi sono uguali.
La moda
Consideriamo la tabella.Osserviamo che il dato che presenta la frequenza più alta è il calcio (8) ; esso viene chiamato moda che è un indice che può non essere unico: quando è unico la distribuzione delle frequenze è unimodale, quando ci sono più mode diverse è detta bimodale o multimodale. La moda di un'indagine statistica è il dato (o i dati) che si presentano con maggior freaquenza.
La mediana
Consideriamo i sette valori ordinati in modo crescente: 5,8,9,11,13,24,40 Il dato che occupa la posizione centrale (11) è detto mediana. La mediana di una sequenza dispari di numeri suddivide la sequenza in due gruppi contenente lo stesso numero di elementi. Se il numero di dati è pari no c'è un unico valore centrale ma due: 9,24,35,37,39,42,48,50 In questo caso è individuata dalla semisomma dei valori centrali: (37+39)/2= 38
Data la sequenza ordinata di n numeri x1, x2, ..., xn, la mediana Me è:
- il valore centrale, se se n è dispari;
- la media aritmetica dei due valori centrali, se n è pari.
La Statistica
Vincenzo
Created on December 11, 2023
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La Statistica
L'indagine statistica si basa sull'osservazione, sulla raccolta, sull'analisi e sull'interpetazione di dati relativi a determinate situazioni o fatti, detti fenomeni collettivi
Il Fenomeno
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La Rappresentazione grafica dei dati
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Le variabili
Le variabili statistiche si possono suddividere in discrete e continue.
L'Ortogramma è un grafico che rende visibili i risultati di un'indagine statistica mediante rettangoli aventi tutti la stessa base e le altezze proporzionali alle frequenze assolute dei dati.
L'Ortogramma
"Dario guarda sconsolato la tabella dei risulati che si riferiscono allo sport praticato dai suoi compagni di classe. poi gli viene un'idea: costruirà dei grafici!"
Fenomeni collettivi
La statistica si suddivide in descrittiva e induttiva.
I fenomeni colettivi sono fenomeni che interessano un numero abbastanza grande di individui, che presentano caratteristiche uguali o simili fra loro. Chiamiamo popolazione o universo l'insieme di elementi che viene preso in considerazione in un'indagine statistica. Ogni elemento della popolazione è detto unità statistica. Si dice dato statistico il risultato di un rilevamento su una unità statistica. Se il rilevamento dei dati avviene su tutta la popolazione l'indagine si definisce censimento. Se l'indagine viene condotta solo su una parte della popolazione è detta campione.
La frequenza assoluta
La frequenza assoluta F, o frequenza, di un dato statistico è il numero di volte con cui esso si è presentato nell'indagine.
Nel caso dell'indagine relativa allo sport praticato dagli alunni della I Bsc , si è ricavata la tabella di frequenza indicata a lato che riporta le preferenze espresse mediante un numero che è detto frequenza assoluta. Per esempio la frequenza con cui compare la scelta "calcio" è 8 e quella corrispondente alla danza è 4.
La frequenza relativa
Spesso è interessante confrontare il valore della frequenza con il numero totale delle unità statistiche. Per questo motivo viene calcolata la frequenza relativa. La frequenza relativa f di un dato statistico è il rapporto tra la sua frequenza assoluta e il totale dei casi esaminati: f = F/n
Nell'esempio precedente la frequenza relativa del "calcio" è 8/23, cioè 8 ragazzi su 23 praticano il gioco del calcio e si può anche esprimere in termini percentuali f = 8/23= 34,78%. Integriamo la tabella dell'esempio precedente con le colonne della frequenza relativa e della frequenza relativa percentuale, approssimata al decimo. Osserviamo che la somma delle frequenze relative alle diverse modalità è uguale a 1, la somma delle frequenze relative percentuali è uguale a 100%. Questa è una proprietà generale, vera sempre.
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Che cos'è un fenomeno?
Per fenomeno si intende ciò che capita intorno a noi. E' possibile distinguere fra fenomeni che si presentano sempre con le stesse caratteristiche chiamati fenomeni tipici, e fenomeni che si manifestano ogni volta con caratteristiche diverse, detti fenomeni atipici. In alcuni casi di fenomeni atipici, se si effettuano numerose osservazioni, si possono evidenziare delle caratteristiche uniformi. In questo caso si parla di fenomeni collettivi.
Consideriamo la distribuzione di frequenze riportata nella tabella.Riportiamo sull'asse delle ascisse i tipi di sport che praticano i ragazzi e sull'asse delle ordinate le fequenze. Dopo aver segnato i punti, li colleghiamo, e la spezzata che otteniamo rapresenta la forma della distribuzione delle frequenze. Con i diagrammi cartesiani si rappresentano spesso le serie storiche, dove la spezzata evidenzia l'andamento di un fenomeno nel tempo.
I Diagrammi cartesiani
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La Frequenza cumulata
Consideriamo un carattere quantitativo e ordiniamo in modo crescente le sue modalità. La frequenza cumulata di una modalità è la somma delle frequenze delle modalità minori o uguali ad essa.
In un sondaggio fatto all'interno di una facoltà composta da 250 studenti, si intende rilevare il carattere "Gradimento dei professori", secondo le cinque modalità "molto deluso", "insoddisfatto", "parzialmente soddisfatto", "soddisfatto", "entusiasta".Risulta che 10 studenti si dicono entusiasti dell'operato dei professori, 51 si dicono soddisfatti, 63 parzialmente,90 insoddisfatti, 36 molto delusi.
Quando si vuole catalogare un gruppo di persone in base all'altezza, al peso,... una rappresentazione delle frequenze con un ortogramma potrebbe falsare la letttura dei dati: è meglio utilizzare un istogramma che è basato sulle aree delle colonne anzichè sulla loro altezza. Per costruire l'istogramma di un fenomeno riportiamo sull'asse delle ascisse gli intervalli rappresentati dalle lunghezze di segmenti adiacenti e costruiamo su di essi altrettanti rettangoli, sapendo che le loro aree devono essere proporzionali alle frequenze delle caratteristiche contenute nei corrispondenti intervalli. Nell'istogramma riportato a lato, vengono riportate sulle asse delle ascisse le classi di statura di una classe terza con intervalli ampi 10cm, tale grafico è formato da un insieme di rettangoli adiacenti aventi la base sull'asse orizzontale. Piochè gli intevalli hanno la stessa ampiezza, le altezze dei rettangoli saranno uguali alle corrispondenti frequenze.
L'Istogramma
Induviduazione della caratteristica
Per ogni unità statistica è possibile studiare diverse caratteristiche. Ogni caratteristica rappresenta un carattere della popolazione. Ogni carattere viee descritto mediante una modalità con cui esso si può manifestare. e possono essere di due tipi:
L'aereogramma è particolarmente utile per rappresentare le frequenze relative percentuali. Si presenta come un cerchio che viene suddiviso in tanti settori circolari. Ognuno di questi settori corrisponde a una modalità qualitativa o quantitativa e ha un'ampiezza proporzionale alle frequenze. Per determinare l'ampiezza x corrispondente a una certa frequenza relativa percentuale f% si utilizza la proporzione: x: 360°= f%: 100 --> x= 360° x f% / 100 Ecco l'aereogramma dell'esempio precedente.
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La media aritmetica e la media ponderata
Disponiamo in ordine crescente i pesi (kg) degli alunni di una classe: 35,39,39,39,41,46,46,50,50,51; addizionando tutti i pesi e dividendo il risultato per il numero delle unità statistiche (13) si ottiene la media aritmetica M. M= 35+39+39+39+41+46+46+46+46+46+50+50+51 = 44,15 13 La media aritmetica M, o media, di una sequenza di n numeri x1, x2, ..., xn è il quoziente fra la loro somma e il numero n. M=(x1+x2+...+xn)/n La scrittura del calcolo della media può essere molto lunga; ma utlizzando la tabella delle frequenze si può sostituire alle somme di dati uguali il prodotto dato per la sua frequenza: M = 35+39x3+41+46x5+50x2+51 = 44,15 1+3+1+5+2+1 In questo modo abbiamo tenuto conto di quanti dati con un certo valore ci sono: si "pesano" i dati e così questa media è detta media ponderata. Data una sequenza di numeri x1,x2,..., xn con associati i numeri p1, p2,..., pn, detti pesi, chiamiamo media aritmetica ponderata Mp, il quoziente fra la somma dei prodotti dei numeri per i loro pesi e la somma dei pesi stessi. Mp= (x1p1+x2p2+...+xnpn)/ p1+p2+...+pn La media aritmetica è un caso particolare di media ponderata in cui tutti i pesi sono uguali.
La moda
Consideriamo la tabella.Osserviamo che il dato che presenta la frequenza più alta è il calcio (8) ; esso viene chiamato moda che è un indice che può non essere unico: quando è unico la distribuzione delle frequenze è unimodale, quando ci sono più mode diverse è detta bimodale o multimodale. La moda di un'indagine statistica è il dato (o i dati) che si presentano con maggior freaquenza.
La mediana
Consideriamo i sette valori ordinati in modo crescente: 5,8,9,11,13,24,40 Il dato che occupa la posizione centrale (11) è detto mediana. La mediana di una sequenza dispari di numeri suddivide la sequenza in due gruppi contenente lo stesso numero di elementi. Se il numero di dati è pari no c'è un unico valore centrale ma due: 9,24,35,37,39,42,48,50 In questo caso è individuata dalla semisomma dei valori centrali: (37+39)/2= 38
Data la sequenza ordinata di n numeri x1, x2, ..., xn, la mediana Me è: