INSTITUTO TECNOLOGICO DE ZACATEPEC
Carrera: Ingenieria civil
Asignatura: Calculo Integral
Unidad: 4 Series
Maestra: Jacqueline Zuñiga Diaz
Integrantes: Carbajal Hernandez Sarai Horeb 23090055 Escobar Uriostegui Jose Antonio 23090060 Gonzalez Diaz Pablo Ivan 23090067 Reza Alanis Raul 23090089
Índice
6.
4.4 Series de Potencias. 17
1.
4.1 Definicion de Sucesion. 1-8
7.
4.5 Radio de Convergencia. 18
2.
I4.2 Definicion de Serie. 9
8.
4.6 Serie de Taylor. 19
3.
4.2.1 Finita. 9-10
9.
4.7 Representacion de funciones mediante la serie de Taylor. 19
4.
4.2.2 Infinita. 11-12
5.
4.3 Serie numerica y convergencia. Criterio de la Razon. Criterio de la Raiz. Criterio de la Integral. 13-16
10.
4.8 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor. 20- 21
11.
Bibliografias. 22
1.Desarrollo
4.1. DEFINICION DE SUCESION
Es un conjunto de términos formados por una ley o regla determinada, cuyo dominio son los números enteros positivos.
NOTACION Y TERMINOS
En lugar de la notación f(n), una sucesión suele denotarse mediante { αₙ } o { αₙ } ∞ₙ₌₁. El entero n algunas veces recibe el nombre de índice de αₙ. Los términos de la sucesión se forman dejando que n tome cualquier valor 1,2, 3, …; en este caso n es la variable. El numero α₁ se denomina que es el primer término, α₂ es el segundo término, y así sucesivamente. El número αₙ, se denomina el término n-ésimo o el término general de la sucesión. De tal modo, {αₙ} es equivalente a (observar la Fig.1)
FIGURA 1.
2. Desarrollo
SUCESION CONVERGENTE
EJEMPLO 1
De los ejemplos anteriores, observamos que en el inciso a) que cuando n incrementa, los valores de αₙ= 1/2ⁿ no se incrementan sin límite. En realidad, observamos que cuando n ➟ ∞, los términos.
½ , ¼, ⅛, ¹⁄₁₆, …
Se aproximan al valor limite 0. Se afirma que la sucesión { 1/2ⁿ } converge a 0.
Escribir los primeros 4 términos de las sucesiones
a) { 1/2ⁿ } b) {n²+n} c) { (-1)ⁿ }
Solución:
Al sustituir n = 1,2,3,4 en el término general de cada sucesión, obtenemos
a) ½ , ¼, ⅛, ¹⁄₁₆, … b) 2,6,12,20, … c) -1, 1, -1, 1, …
TEOREMA 1.
3. Desarrollo
Cuando { αₙ } no converge, esto es, cuando el límite de la FIGURA 2, no existe, la sucesión diverge La FIGURA 3 ilustra varias maneras en las cuales una sucesión { αₙ } puede converger a un número L. Las partes a) b), c) y d) de la FIGURA 3 , muestran que para cuatro sucesiones convergentes diferentes { αₙ }, al menos un numero finito de términos de αₙ están en el intervalo (L - ε, L + ε). Los términos de la sucesión { αₙ } que estan en ( L - ε, L + ε) para n > N se representan por medio de puntos en la figura.
SUCESION CONVERGENTE
Si { αₙ } es una sucesión convergente. (1) significa que los términos αₙ pueden hacerse arbitrariamente cercanos a L para n suficientemente grande. Se indica que una sucesión converge a un número L escribiendo.
FIGURA 2
FIGURA 3
4. Desarrollo
Para demostrar la convergencia, suponemos que ε > 0 está dado. Puesto que los términos de la sucesión son positivos, la desigualdad ∣ αₙ - 0 ∣ < ε es la misma que (1/√n) < ε
Utilizando el Teorema 1, esto es equivalente a √n > 1/ε o n > 1/ε² . Por ejemplo, si ε = 0.01 entonces ∣1/√n - 0 ∣ = 1/√n < 0.01 siempre que n > 10 000.Esto es si se elige N = 10 000
EJEMPLO 2.SUCESION CONVERGENTE
Usar la definición 4.1.2 para demostrar que la secesión {1/√n} converge a 0
Solucion
1,1/√2,1/√3,1/2,1/√5, 1/√6, 1/√7, 1/√8, 1/3 …
Cuando n aumenta su valor sin límite se aproxima a 0. lim n → ∞ (1/√n) = 1/∞ => lim n → ∞ (1/√n) = 0
TEOREMA 2
5. Desarrollo
EJEMPLO 3.SUCECIONES DIVERGENTES (Retomando el Ejemplo 1)
EJEMPLO 4. DETERMINACION DE CONVERGENCIA
1) En el primer ejemplo la sucesión {n²+n} diverge a infinito ya que lim n → ∞ (n²+n )= ∞
2) La sucesión { (-1)ⁿ } del primer ejemplo es divergente puesto que lim n → ∞ (-1)ⁿ no existe.El límite no se aproxima a una constante cuando n → ∞, el valor se alterna entre 1 y –1.
Determine si la sucesión {n/√(10+n)} converge
SOLUCION.
lim n → ∞ (n/√(10+n)) = lim n → ∞ ((n/n) /(√(10+n)) /n) = lim n → ∞ (1/√((10+n) /n²))=lim n → ∞ (1/√((10/n) +(1/n))) = lim n → ∞ (1/√ ((10/∞) +(1/∞))) =1/0
lim n → ∞ (n/√(10+n)) = ∞
6. Desarrollo
VIDEO DE SUCECION DIVERGENTE Y CONVERGENTE
7. Desarrollo
EJEMPLO 5. DETERMINACION DE CONVERGENCIA
Determine si la sucesión {n/(9n+1)} converge
SOLUCION. Se aplica la regla de L’Hôpital , se divide en el numerador y denominador entre x y resulta que (x/x) /((9x+1) /x) es 1/(9+1/x) y cuando x→ ∞ la sucesión converge a 1/9.
lim n → ∞ (n/(9n+1)) = 1/9
La sucesión converge a 1/9
TEOREMA 3.LIMITE DE UNA SUCESION
8. Desarrollo
EJEMPLO 6. DETERMINACION DE CONVERGENCIA
Determine si la sucesión {(2-3e⁻ⁿ) /(6+4e⁻ⁿ)} converge
SOLUCION
lim n → ∞((2-3e⁻ⁿ) /(6+4e⁻ⁿ)) = (lim n → ∞(2-3e⁻ⁿ)) /( lim n → ∞ (6+4e⁻ⁿ)) = 2/6=1/3
La sucesión converge en 1/3
TEOREMA 4. LIMITE DE UNA SUCESION
9.Desarrollo
4.2.1 FINITA
4.2 DEFINICION DE SERIES
El concepto de serie se relaciona estrechamente con el concepto de sucesión. Si { αₙ } es la sucesión de α₁ + α₂ + α₃ + …+ αₙ + …
Una serie numerica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo.
EJEMPLO 7
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
2, 4, 8, 16, 32, 64,....
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5
3, 6, 10, 12, 14, 20
10. Desarrollo
EJEMPLO 8. SERIE FINITA
FIGURA 4
11.Desarrollo
EJEMPLO 9. SERIE INFINITA
4.2.2 INFINITA
La representación decimal de un número racional 1/3 es una serie infinita
Se le llama serie infinita, o simplemente una serie. Las αₖ, k = 1,2,3, … ,se denomina los términos de la serie y αₙ se llama el termino general. Escribimos α₁ + α₂ + α₃ + …+ αₙ + … de manera compacta utilizando la notación de sumatoria como se muestra en la FIGURA 5.
FIGURA 6. DEMOSTRACIÓN DE UNA SERIE INFINITA
FIGURA 5
12. Desarrollo
EJEMPLO 10.UNA SERIE INFINITA
FIGURA 7. SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES
13.Desarrollo
4.3 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA. CRITERIO DE LA RAZON. CRITERIO DE LA RAIZ. CRITERIO DE LA INTEGRAL.
EJEMPLO 11. SERIE NUMERICA
SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA.
Una serie numérica es una secuencia de números ordenados, llamados términos, entre los cuales hay una relación que hay que descubrir, para completar la serie.
Por ejemplo, en la serie 0 - 7- 14 - 21 existe una relación: el número 7. Esto quiere decir que para seguir la secuencia, solo debemos sumar el número 7 al último valor presentado, el 21.
14. Desarrollo
EJEMPLO 12. SERIE NUMERICA
Criterios de la Razon
En matemáticas, una serie (suma de los términos de una secuencia de números), resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se denomina serie divergente.
FIGURA 8. criterios de la razon
15. Desarrollo
El criterio de la raíz o criterio de Cauchy es un método para determinar la convergencia de una serie usando la cantidad; Donde an son los términos de la serie. El criterio dice que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que la unidad y que diverge si es mayor que la unidad. Es particularmente útil en relación con las series de potencias.
Sea C el límite de arriba, entonces el criterio de la raíz establece que:
Si C < 1, entonces la serie converge absolutamente
Si C > 1, entonces la serie diverge,
Si C = 1 y |an|>1 de cierto n en adelante, entonces la serie diverge.
En otros casos el criterio no lleva a ninguna conclusión.
Criterios de la Raiz
FIGURA 9. criterios de la raiz
16. Desarrollo
Criterios de la Integral
Nos ayuda a determinar si una converge al compararla con una integral impropia.
FIGURA 10. criterios de la integral
17.Desarrollo
4.4 SERIE DE POTENCIAS
En el cual el centro es c, y los coeficientes an son los términos de una sucesión.
Una serie de potencias es una suma de términos dados en la forma general aₙ(x-a)ⁿ. Que esta serie converja o diverja, y el valor al cual converge o diverge, depende del valor de x, lo cual hace a la serie una función.
La serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:
FIGURA 11 .
Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:
FIGURA 12.
18.Desarrollo
con recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = infinito.
4.5 RADIO DE CONVERGENCIA
Según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma
viene dado por la expresión:
Si nos limitamos al conjunto de los numeros reales, una serie de la forma:
19. Desarrollo
4.7 Representación de funciones mediante la serie de Taylor
4.6 SERIE DE TAYLOR
EJEMPLO 13. SERIE de taylor
La serie de Taylor es una expansión infinita de una función en términos de sus derivadas en un punto específico. La fórmula general de la serie de Taylor para una función f(x) alrededor de x=a es:
Consideremos la función ex, y queremos encontrar la serie de Taylor alrededor de =0x=0. La función y sus derivadas en este caso son:
Evaluando estas derivadas en =0x=0 (ya que estamos expandiendo alrededor de =0x=0), obtenemos:
En general, la fórmula para la serie de Taylor de una función f(x) alrededor de x=a es:
Evaluando estas derivadas en =0x=0 (ya que estamos expandiendo alrededor de =0x=0), obtenemos:
Aquí, f(n)(a) denota la n-ésima derivada de f(x) evaluada en x=a.
Esta es la conocida serie de Taylor para la función exponencial.
20. Desarrollo
4.8 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor
La clave aquí es integrar término por término cada término de la serie de Taylor. A continuación, te mostraré cómo hacer esto con un ejemplo:
Supongamos que tienes la función f(x)=ex y has encontrado la serie de Taylor alrededor de 0x=0:
Si deseas calcular la integral definida de f(x) en el intervalo [0,a], puedes hacerlo término por término:
Puedes integrar cada término de la serie por separado y luego sumar los resultados. La integral definida de 1 respecto a x es simplemente x. La integral de x respecto a x es X al cuadrado/2 y así sucesivamente.
21. Desarrollo
Evalúas esta expresión en a y luego en 0, y restas ambos resultados.
Por ejemplo, si quieres calcular la integral definida de ex en [0,2][0,2]:
Este proceso es aplicable a otras funciones expresadas como series de Taylor. La clave es integrar término por término y luego evaluar en los límites de integración.
22. Desarrollo
Bibliografias
(Deficicion de Sucesion, 2023)
Bibliografía
(9 de 12 de 2023). Obtenido de Deficicion de Sucesion: https://www.studocu.com/es-mx/document/instituto-tecnologico-superior-de-escarcega/calculo-integral/definicion-de-sucesion/32577438
EQUIPO No.2_UNIDAD 4. SERIES
RAUL REZA ALANIS
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE ZACATEPEC
Carrera: Ingenieria civil
Asignatura: Calculo Integral
Unidad: 4 Series
Maestra: Jacqueline Zuñiga Diaz
Integrantes: Carbajal Hernandez Sarai Horeb 23090055 Escobar Uriostegui Jose Antonio 23090060 Gonzalez Diaz Pablo Ivan 23090067 Reza Alanis Raul 23090089
Índice
6.
4.4 Series de Potencias. 17
1.
4.1 Definicion de Sucesion. 1-8
7.
4.5 Radio de Convergencia. 18
2.
I4.2 Definicion de Serie. 9
8.
4.6 Serie de Taylor. 19
3.
4.2.1 Finita. 9-10
9.
4.7 Representacion de funciones mediante la serie de Taylor. 19
4.
4.2.2 Infinita. 11-12
5.
4.3 Serie numerica y convergencia. Criterio de la Razon. Criterio de la Raiz. Criterio de la Integral. 13-16
10.
4.8 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor. 20- 21
11.
Bibliografias. 22
1.Desarrollo
4.1. DEFINICION DE SUCESION
Es un conjunto de términos formados por una ley o regla determinada, cuyo dominio son los números enteros positivos.
NOTACION Y TERMINOS
En lugar de la notación f(n), una sucesión suele denotarse mediante { αₙ } o { αₙ } ∞ₙ₌₁. El entero n algunas veces recibe el nombre de índice de αₙ. Los términos de la sucesión se forman dejando que n tome cualquier valor 1,2, 3, …; en este caso n es la variable. El numero α₁ se denomina que es el primer término, α₂ es el segundo término, y así sucesivamente. El número αₙ, se denomina el término n-ésimo o el término general de la sucesión. De tal modo, {αₙ} es equivalente a (observar la Fig.1)
FIGURA 1.
2. Desarrollo
SUCESION CONVERGENTE
EJEMPLO 1
De los ejemplos anteriores, observamos que en el inciso a) que cuando n incrementa, los valores de αₙ= 1/2ⁿ no se incrementan sin límite. En realidad, observamos que cuando n ➟ ∞, los términos. ½ , ¼, ⅛, ¹⁄₁₆, … Se aproximan al valor limite 0. Se afirma que la sucesión { 1/2ⁿ } converge a 0.
Escribir los primeros 4 términos de las sucesiones a) { 1/2ⁿ } b) {n²+n} c) { (-1)ⁿ } Solución: Al sustituir n = 1,2,3,4 en el término general de cada sucesión, obtenemos a) ½ , ¼, ⅛, ¹⁄₁₆, … b) 2,6,12,20, … c) -1, 1, -1, 1, …
TEOREMA 1.
3. Desarrollo
Cuando { αₙ } no converge, esto es, cuando el límite de la FIGURA 2, no existe, la sucesión diverge La FIGURA 3 ilustra varias maneras en las cuales una sucesión { αₙ } puede converger a un número L. Las partes a) b), c) y d) de la FIGURA 3 , muestran que para cuatro sucesiones convergentes diferentes { αₙ }, al menos un numero finito de términos de αₙ están en el intervalo (L - ε, L + ε). Los términos de la sucesión { αₙ } que estan en ( L - ε, L + ε) para n > N se representan por medio de puntos en la figura.
SUCESION CONVERGENTE
Si { αₙ } es una sucesión convergente. (1) significa que los términos αₙ pueden hacerse arbitrariamente cercanos a L para n suficientemente grande. Se indica que una sucesión converge a un número L escribiendo.
FIGURA 2
FIGURA 3
4. Desarrollo
Para demostrar la convergencia, suponemos que ε > 0 está dado. Puesto que los términos de la sucesión son positivos, la desigualdad ∣ αₙ - 0 ∣ < ε es la misma que (1/√n) < ε Utilizando el Teorema 1, esto es equivalente a √n > 1/ε o n > 1/ε² . Por ejemplo, si ε = 0.01 entonces ∣1/√n - 0 ∣ = 1/√n < 0.01 siempre que n > 10 000.Esto es si se elige N = 10 000
EJEMPLO 2.SUCESION CONVERGENTE
Usar la definición 4.1.2 para demostrar que la secesión {1/√n} converge a 0 Solucion 1,1/√2,1/√3,1/2,1/√5, 1/√6, 1/√7, 1/√8, 1/3 … Cuando n aumenta su valor sin límite se aproxima a 0. lim n → ∞ (1/√n) = 1/∞ => lim n → ∞ (1/√n) = 0
TEOREMA 2
5. Desarrollo
EJEMPLO 3.SUCECIONES DIVERGENTES (Retomando el Ejemplo 1)
EJEMPLO 4. DETERMINACION DE CONVERGENCIA
1) En el primer ejemplo la sucesión {n²+n} diverge a infinito ya que lim n → ∞ (n²+n )= ∞ 2) La sucesión { (-1)ⁿ } del primer ejemplo es divergente puesto que lim n → ∞ (-1)ⁿ no existe.El límite no se aproxima a una constante cuando n → ∞, el valor se alterna entre 1 y –1.
Determine si la sucesión {n/√(10+n)} converge SOLUCION. lim n → ∞ (n/√(10+n)) = lim n → ∞ ((n/n) /(√(10+n)) /n) = lim n → ∞ (1/√((10+n) /n²))=lim n → ∞ (1/√((10/n) +(1/n))) = lim n → ∞ (1/√ ((10/∞) +(1/∞))) =1/0 lim n → ∞ (n/√(10+n)) = ∞
6. Desarrollo
VIDEO DE SUCECION DIVERGENTE Y CONVERGENTE
7. Desarrollo
EJEMPLO 5. DETERMINACION DE CONVERGENCIA
Determine si la sucesión {n/(9n+1)} converge SOLUCION. Se aplica la regla de L’Hôpital , se divide en el numerador y denominador entre x y resulta que (x/x) /((9x+1) /x) es 1/(9+1/x) y cuando x→ ∞ la sucesión converge a 1/9. lim n → ∞ (n/(9n+1)) = 1/9 La sucesión converge a 1/9
TEOREMA 3.LIMITE DE UNA SUCESION
8. Desarrollo
EJEMPLO 6. DETERMINACION DE CONVERGENCIA
Determine si la sucesión {(2-3e⁻ⁿ) /(6+4e⁻ⁿ)} converge SOLUCION lim n → ∞((2-3e⁻ⁿ) /(6+4e⁻ⁿ)) = (lim n → ∞(2-3e⁻ⁿ)) /( lim n → ∞ (6+4e⁻ⁿ)) = 2/6=1/3 La sucesión converge en 1/3
TEOREMA 4. LIMITE DE UNA SUCESION
9.Desarrollo
4.2.1 FINITA
4.2 DEFINICION DE SERIES
El concepto de serie se relaciona estrechamente con el concepto de sucesión. Si { αₙ } es la sucesión de α₁ + α₂ + α₃ + …+ αₙ + …
Una serie numerica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo.
EJEMPLO 7
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 2, 4, 8, 16, 32, 64,.... 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 3, 6, 10, 12, 14, 20
10. Desarrollo
EJEMPLO 8. SERIE FINITA
FIGURA 4
11.Desarrollo
EJEMPLO 9. SERIE INFINITA
4.2.2 INFINITA
La representación decimal de un número racional 1/3 es una serie infinita
Se le llama serie infinita, o simplemente una serie. Las αₖ, k = 1,2,3, … ,se denomina los términos de la serie y αₙ se llama el termino general. Escribimos α₁ + α₂ + α₃ + …+ αₙ + … de manera compacta utilizando la notación de sumatoria como se muestra en la FIGURA 5.
FIGURA 6. DEMOSTRACIÓN DE UNA SERIE INFINITA
FIGURA 5
12. Desarrollo
EJEMPLO 10.UNA SERIE INFINITA
FIGURA 7. SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES
13.Desarrollo
4.3 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA. CRITERIO DE LA RAZON. CRITERIO DE LA RAIZ. CRITERIO DE LA INTEGRAL.
EJEMPLO 11. SERIE NUMERICA
SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA.
Una serie numérica es una secuencia de números ordenados, llamados términos, entre los cuales hay una relación que hay que descubrir, para completar la serie. Por ejemplo, en la serie 0 - 7- 14 - 21 existe una relación: el número 7. Esto quiere decir que para seguir la secuencia, solo debemos sumar el número 7 al último valor presentado, el 21.
14. Desarrollo
EJEMPLO 12. SERIE NUMERICA
Criterios de la Razon
En matemáticas, una serie (suma de los términos de una secuencia de números), resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se denomina serie divergente.
FIGURA 8. criterios de la razon
15. Desarrollo
El criterio de la raíz o criterio de Cauchy es un método para determinar la convergencia de una serie usando la cantidad; Donde an son los términos de la serie. El criterio dice que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que la unidad y que diverge si es mayor que la unidad. Es particularmente útil en relación con las series de potencias. Sea C el límite de arriba, entonces el criterio de la raíz establece que: Si C < 1, entonces la serie converge absolutamente Si C > 1, entonces la serie diverge, Si C = 1 y |an|>1 de cierto n en adelante, entonces la serie diverge. En otros casos el criterio no lleva a ninguna conclusión.
Criterios de la Raiz
FIGURA 9. criterios de la raiz
16. Desarrollo
Criterios de la Integral
Nos ayuda a determinar si una converge al compararla con una integral impropia.
FIGURA 10. criterios de la integral
17.Desarrollo
4.4 SERIE DE POTENCIAS
En el cual el centro es c, y los coeficientes an son los términos de una sucesión.
Una serie de potencias es una suma de términos dados en la forma general aₙ(x-a)ⁿ. Que esta serie converja o diverja, y el valor al cual converge o diverge, depende del valor de x, lo cual hace a la serie una función. La serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:
FIGURA 11 .
Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:
FIGURA 12.
18.Desarrollo
con recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = infinito.
4.5 RADIO DE CONVERGENCIA
Según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma
viene dado por la expresión:
Si nos limitamos al conjunto de los numeros reales, una serie de la forma:
19. Desarrollo
4.7 Representación de funciones mediante la serie de Taylor
4.6 SERIE DE TAYLOR
EJEMPLO 13. SERIE de taylor
La serie de Taylor es una expansión infinita de una función en términos de sus derivadas en un punto específico. La fórmula general de la serie de Taylor para una función f(x) alrededor de x=a es:
Consideremos la función ex, y queremos encontrar la serie de Taylor alrededor de =0x=0. La función y sus derivadas en este caso son:
Evaluando estas derivadas en =0x=0 (ya que estamos expandiendo alrededor de =0x=0), obtenemos:
En general, la fórmula para la serie de Taylor de una función f(x) alrededor de x=a es:
Evaluando estas derivadas en =0x=0 (ya que estamos expandiendo alrededor de =0x=0), obtenemos:
Aquí, f(n)(a) denota la n-ésima derivada de f(x) evaluada en x=a.
Esta es la conocida serie de Taylor para la función exponencial.
20. Desarrollo
4.8 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor
La clave aquí es integrar término por término cada término de la serie de Taylor. A continuación, te mostraré cómo hacer esto con un ejemplo: Supongamos que tienes la función f(x)=ex y has encontrado la serie de Taylor alrededor de 0x=0:
Si deseas calcular la integral definida de f(x) en el intervalo [0,a], puedes hacerlo término por término:
Puedes integrar cada término de la serie por separado y luego sumar los resultados. La integral definida de 1 respecto a x es simplemente x. La integral de x respecto a x es X al cuadrado/2 y así sucesivamente.
21. Desarrollo
Evalúas esta expresión en a y luego en 0, y restas ambos resultados. Por ejemplo, si quieres calcular la integral definida de ex en [0,2][0,2]:
Este proceso es aplicable a otras funciones expresadas como series de Taylor. La clave es integrar término por término y luego evaluar en los límites de integración.
22. Desarrollo
Bibliografias
(Deficicion de Sucesion, 2023) Bibliografía (9 de 12 de 2023). Obtenido de Deficicion de Sucesion: https://www.studocu.com/es-mx/document/instituto-tecnologico-superior-de-escarcega/calculo-integral/definicion-de-sucesion/32577438