instituto tecnologico de zacatepec
ing. civilcalculo integral unidad 4 jaqueline zuñiga diaz giles jimenez hector arturo c22090934 alberto sanchez angel daniel c22090914 cobreros escobar jesus david 23090057 jorge teodocio brayan yair 23090072
Comenzar
índice
4.4 Series de potencias.............10
4.5 Radio de convergencia.......11
4.6 Serie de Taylor.....................13
4.7 Representacion de funciones mediante la serie de Taylor...............................................14
4.1 Definicion de sucesion.....3
4.2 Definicion de serie............4
4.2.1 Finita..................................5
4.8 Calculo de integrantes de funciones expresadas como serie de Taylor..........................................16
4.2.2 Infinita...............................6
4.3 serie numerica y convergencia, razon, raiz, integral...........................................7
Ejemplos de ejercicios.................17
DEFINICION DE SUCESIÓN
1. Sucesión Aritmética:
En una sucesión aritmética, la diferencia constante entre dos términos consecutivos se llama "razón" o "diferencia común".
•La fórmula general para el n-esimo término de una sucesión aritmética es a_n=a_1+ (n−1) d, donde a1 es el primer término y d es la diferencia común.
Ejemplo: La sucesión aritmética {2,5,8,11,14,…}{2,5,8,11,14,…} con diferencia común d=3.
2. Sucesión Geométrica:
• En una sucesión geométrica, el cociente constante entre dos términos consecutivos se llama "razón" o "razón común".
• La fórmula general para el n-ésimo término de una sucesión geométrica es a_n=a_1⋅r^((n-1)), donde a_1 es el primer término y r es la razón común.
Ejemplo: La sucesión geométrica {3,6,12,24,48,…}{3,6,12,24,48,…} con razón común r=2.
Las sucesiones son listas de números ordenados (llamados "términos"), como 2, 5,8. Algunas sucesiones siguen un patrón específico que puede usarse para extenderlas indefinidamente. Por ejemplo, 2, 5,8 sigue el patrón de "sumar 3", y entonces podemos continuar la sucesión. Las sucesiones pueden tener fórmulas que nos dicen cómo encontrar cualquier término.
figura 1
Por ejemplo, 2, 5,8,... puede representarse por la fórmula 2+3(n-1). Creado por Sal Khan.
DEFINICION DE Serie
Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Dada una sucesión a1, a2, a3,…, la serie correspondiente se denota comúnmente como o simplemente ∑a_n . La notación ∑ es una versión estilizada de la letra griega sigma, que se utiliza para indicar la suma.
La serie ∑a_n . Se define como la suma a_1+a_2+a_3…, de los términos de la sucesión. Puede ser finita o infinita. Si la serie es infinita y la suma de los términos converge a un valor finito, se dice que la serie es convergente; de lo contrario, se dice que es divergente.
Por ejemplo, la serie geométrica es convergente y tiene una suma finita igual a 1. Esta serie representa la suma de una secuencia de fracciones donde cada término es la mitad del término anterior.
explicación de la formula
SERIES FINITAS
Vamos a hablar de una serie finita. Si tienes una serie finita, significa que estás sumando un número finito de términos. La notación general para una serie finita es:
Donde k es el último índice de la suma y a_n son los términos de la serie. Esta serie representa la suma de los términos a_1,a_2,…,ak
Ejemplo: Considera la serie finita . Aquí, estás sumando los cuadrados de los primeros cuatro números naturales:
=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16=30
Teorema: El resultado de una serie finita es un número finito. En otras palabras, la suma de un número finito de términos siempre es finita.
Fórmula (1): La fórmula general para una serie finita es:
Donde a_n representa los términos individuales de la serie, y k es el último índice de la suma.
SERIES inFINITAS
Una serie infinita es la suma de los términos de una sucesión infinita. Se representa generalmente como o simplemente ∑a_n donde a_n son los términos de la sucesión. Ejemplo: Un ejemplo clásico de una serie infinita es la serie geométrica . Los términos de esta serie son La suma de esta serie es finita y converge a 1:
Teorema: Una serie infinita puede ser convergente o divergente. Una serie convergente es aquella cuya suma converge a un valor finito cuando el número de términos se aproxima al infinito. Por otro lado, una serie divergente es aquella cuya suma no converge a un valor finito.
Fórmula (1): La fórmula general para una serie infinita es:
Donde a_n son los términos individuales de la sucesión.
Series convergentes.
En matemáticas una serie (suma de los términos de una secuencia de números) resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado de otro modo constituiría lo que se denomina serie divergente.
Series Numéricas.
Las series numéricas son sucesiones muy particulares ya que se definen (o se generan) a partir de otra sucesión. Dos ejemplos sencillos aparecen en la definición de e y el la “Paradoja de Zenón”. Una forma de definir e es a través de la suma:
Una serie numérica es una secuencia de números ordenados llamados términos entre los cuales hay una relación que hay que descubrir para completar la serie.
figura 2
50%
Tabla de series numericas
figura 4
Serie divergente
En el ámbito de las matemáticas se denomina divergente a una serie infinita que no es convergente o sea que la secuencia infinita de las sumas parciales de la serie no tiene un límite.
Si una serie convergente los términos individuales de la serie deben aproximarse a cero así una serie en la que los términos individuales no se aproximan a cero es una serie divergente sin embargo la convergencia es una condición mas fuerte no todas las series cuyos términos tienden a cero son convergentes.
figura 6
Series de potencias
- Las series de potencias aproximan a su función suma. Es decir, la suma parcial de orden n, que no es más que un polinomio de grado n a lo sumo, representa una aproximación a la función suma en su dominio de convergencia. En la siguiente figura, Fig. 5, puede verse la función f(x) = e x junto con algunas aproximaciones mediante sumas parciales de su serie de potencias. La serie de potencias ∑n=0∞anxn es una serie infinita y luce como una función de x. Una manera fácil de ilustrar la idea de una serie de potencias que representa una función es usar una serie geométrica como ejemplo.
- Una expresión de la forma ∑n=0∞an(x−a)n recibe el nombre de serie de potencias centrada en el punto a. Si escribimos f(x)=∑n=0∞an(x−a)n el dominio de esta función f(x) es el conjunto de valores de x donde la serie converge y el valor de f(x) es precisamente la suma de la serie. Toda serie de potencias converge en el punto a, f(a)=∑n=0∞an(a−a)n=a0 Existen muchas funciones que pueden ser representadas por series de potencias
figura 5
10
Radio de convergencia
Una serie de potencias en torno al punto x0 es una expresión de la forma donde x es una variable y los coeficientes an son constantes. Se dice que (C.1) converge en el punto x = r si la serie infinita (de números reales) converge; esto es, el límite de las sumas parciales
existe (como numero finito). Si este límite no existe, se dice que la serie de potencias diverge en x = r. Obsérvese que converge en x = x0 ya que
figura 7
11
¿Cómo se determina el radio de convergencia?
figura 7
Para que una serie sea convergente es necesario que el valor absoluto de los términos sucesivos vaya en disminución cuando el número de términos sea muy grande. En forma matemática se expresaría de la siguiente manera:
Usando las propiedades de los límites en la expresión anterior se obtiene:
Aquí r es el radio de convergencia y |z – a| < r es el círculo de frontera abierta en el plano complejo donde la serie converge. En caso que el valor a y la variable z sean números reales, entonces el intervalo abierto de convergencia sobre el eje real será: (a – r, a+r).
12
Serie de Taylor
Cada elemento de la serie de Taylor corresponde a la enésima derivada de la función f evaluada en el punto a, entre el factorial de n(n!),y todo ello, multiplicado por x-a elevado a la potencia n.
Esta fórmula representa una aproximación de la función f(x) alrededor del punto a utilizando los valores de la función y sus derivadas en ese punto.
La serie de Taylor es una representación matemática de una función en términos de una suma infinita de términos. Esta serie se utiliza para aproximar una función complicada mediante una serie infinita de términos polinomiales simples. La serie de Taylor se centra en un punto dado y utiliza las derivadas de la función en ese punto para calcular los coeficientes de los términos de la serie.
La serie de Taylor es una serie de potencias que se prolonga hasta el infinito, donde cada uno de las sumatorias esta elevado a una potencia mayor al antecedente
La serie de Taylor puede converger a la función original en un intervalo específico dependiendo de la función y del punto alrededor del cual se está desarrollando la serie. Es una herramienta fundamental en cálculo y análisis matemático para aproximar funciones complejas con polinomios más simples.
La serie de Taylor se utiliza cuando una función o una integral ya no tiene solución y lo que queda por utilizar seria un método numérico para aproximarnos a su valor real.
O puede ser escrita de una manera mas compacta:
13
Representación de funciones mediante la serie de Taylor
A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.
- La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias.
- La diferencia entre serie y polinomio de Taylor es que, en el primer caso, hablamos de una secuencia infinita, mientras que en el segundo se trata de una serie finita.
- Así, el polinomio de Taylor se puede definir como una aproximación polinómica de una función n veces derivable en un punto específico (a).
Función exponencial y logaritmo natural:
14
Representación de funciones mediante la serie de Taylor
Funciones trigonométricas:
Serie geométrica:
Teorema del binomio:
15
Supongamos que tenemos una función de f(x) expresada como una rerie de Taylor alrededor de a:
Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor
Algunas veces es necesario aproximar funciones complicadas usando una combinación de otras funciones más simples. Estas funciones más simples deberían permitir un tratamiento sencillo, como encontrar sus derivadas o sus integrales. Calcular integrales de funciones expresadas como series de Taylor puede ser útil para encontrar integrales de manera aproximada. La idea es integrar término por término la serie de Taylor y luego sumar estos resultados para obtener la integral de la función original.
Para encontrar la integral de f(x) en un intervalo (a,b) puedes integrar términos por termino:
Y para encontrar un integral general:
Uno de los conjuntos de funciones más simples de tratar son los polinomios. Por ejemplo, un polinomio de grado 3 se escribe como
16
sucessiones
Series de potencia
Radio de convergencia
17
Serie de Taylor de una función
Serie de Taylor en una integral
18
se acabo el semestre..!!!
19
¿Tienes una idea?
Con las plantillas de Genially podrás incluir recursos visuales para dejar a tu audiencia con la boca abierta. También destacar alguna frase o dato concreto que se quede grabado a fuego en la memoria de tu público e incluso embeber contenido externo que sorprenda: vídeos, fotos, audios... ¡Lo que tú quieras!
¿Tienes una idea?
Con las plantillas de Genially podrás incluir recursos visuales para dejar a tu audiencia con la boca abierta. También destacar alguna frase o dato concreto que se quede grabado a fuego en la memoria de tu público e incluso embeber contenido externo que sorprenda: vídeos, fotos, audios... ¡Lo que tú quieras! ¿Necesitas más motivos para crear contenidos dinámicos? Bien: el 90% de la información que asimilamos nos llega a través de la vista y, además, retenemos un 42% más de información cuando el contenido se mueve.
¿Tienes una idea?
Con las plantillas de Genially podrás incluir recursos visuales para dejar a tu audiencia con la boca abierta. También destacar alguna frase o dato concreto que se quede grabado a fuego en la memoria de tu público e incluso embeber contenido externo que sorprenda: vídeos, fotos, audios... ¡Lo que tú quieras!
¿Sabías que... Retenemos un 42% más de información cuando el contenido se mueve? Es quizá el recurso más efectivo para captar la atención de tu alumnado.
Truquito: La interactividad es la pieza clave para captar el interés y la atención de tus estudiantes. Un genially es interactivo porque tu grupo explora y se relaciona con él.
Truquito: La interactividad es la pieza clave para captar el interés y la atención de tus estudiantes. Un genially es interactivo porque tu grupo explora y se relaciona con él.
Equipo 4- U4- series
Hector Giles
Created on December 9, 2023
trabajo final
Start designing with a free template
Discover more than 1500 professional designs like these:
View
Animated Chalkboard Presentation
View
Genial Storytale Presentation
View
Blackboard Presentation
View
Psychedelic Presentation
View
Chalkboard Presentation
View
Witchcraft Presentation
View
Sketchbook Presentation
Explore all templates
Transcript
instituto tecnologico de zacatepec
ing. civilcalculo integral unidad 4 jaqueline zuñiga diaz giles jimenez hector arturo c22090934 alberto sanchez angel daniel c22090914 cobreros escobar jesus david 23090057 jorge teodocio brayan yair 23090072
Comenzar
índice
4.4 Series de potencias.............10
4.5 Radio de convergencia.......11
4.6 Serie de Taylor.....................13
4.7 Representacion de funciones mediante la serie de Taylor...............................................14
4.1 Definicion de sucesion.....3
4.2 Definicion de serie............4
4.2.1 Finita..................................5
4.8 Calculo de integrantes de funciones expresadas como serie de Taylor..........................................16
4.2.2 Infinita...............................6
4.3 serie numerica y convergencia, razon, raiz, integral...........................................7
Ejemplos de ejercicios.................17
DEFINICION DE SUCESIÓN
1. Sucesión Aritmética: En una sucesión aritmética, la diferencia constante entre dos términos consecutivos se llama "razón" o "diferencia común". •La fórmula general para el n-esimo término de una sucesión aritmética es a_n=a_1+ (n−1) d, donde a1 es el primer término y d es la diferencia común. Ejemplo: La sucesión aritmética {2,5,8,11,14,…}{2,5,8,11,14,…} con diferencia común d=3. 2. Sucesión Geométrica: • En una sucesión geométrica, el cociente constante entre dos términos consecutivos se llama "razón" o "razón común". • La fórmula general para el n-ésimo término de una sucesión geométrica es a_n=a_1⋅r^((n-1)), donde a_1 es el primer término y r es la razón común. Ejemplo: La sucesión geométrica {3,6,12,24,48,…}{3,6,12,24,48,…} con razón común r=2.
Las sucesiones son listas de números ordenados (llamados "términos"), como 2, 5,8. Algunas sucesiones siguen un patrón específico que puede usarse para extenderlas indefinidamente. Por ejemplo, 2, 5,8 sigue el patrón de "sumar 3", y entonces podemos continuar la sucesión. Las sucesiones pueden tener fórmulas que nos dicen cómo encontrar cualquier término.
figura 1
Por ejemplo, 2, 5,8,... puede representarse por la fórmula 2+3(n-1). Creado por Sal Khan.
DEFINICION DE Serie
Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Dada una sucesión a1, a2, a3,…, la serie correspondiente se denota comúnmente como o simplemente ∑a_n . La notación ∑ es una versión estilizada de la letra griega sigma, que se utiliza para indicar la suma. La serie ∑a_n . Se define como la suma a_1+a_2+a_3…, de los términos de la sucesión. Puede ser finita o infinita. Si la serie es infinita y la suma de los términos converge a un valor finito, se dice que la serie es convergente; de lo contrario, se dice que es divergente. Por ejemplo, la serie geométrica es convergente y tiene una suma finita igual a 1. Esta serie representa la suma de una secuencia de fracciones donde cada término es la mitad del término anterior.
explicación de la formula
SERIES FINITAS
Vamos a hablar de una serie finita. Si tienes una serie finita, significa que estás sumando un número finito de términos. La notación general para una serie finita es: Donde k es el último índice de la suma y a_n son los términos de la serie. Esta serie representa la suma de los términos a_1,a_2,…,ak Ejemplo: Considera la serie finita . Aquí, estás sumando los cuadrados de los primeros cuatro números naturales: =1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16=30
Teorema: El resultado de una serie finita es un número finito. En otras palabras, la suma de un número finito de términos siempre es finita. Fórmula (1): La fórmula general para una serie finita es: Donde a_n representa los términos individuales de la serie, y k es el último índice de la suma.
SERIES inFINITAS
Una serie infinita es la suma de los términos de una sucesión infinita. Se representa generalmente como o simplemente ∑a_n donde a_n son los términos de la sucesión. Ejemplo: Un ejemplo clásico de una serie infinita es la serie geométrica . Los términos de esta serie son La suma de esta serie es finita y converge a 1:
Teorema: Una serie infinita puede ser convergente o divergente. Una serie convergente es aquella cuya suma converge a un valor finito cuando el número de términos se aproxima al infinito. Por otro lado, una serie divergente es aquella cuya suma no converge a un valor finito. Fórmula (1): La fórmula general para una serie infinita es: Donde a_n son los términos individuales de la sucesión.
Series convergentes.
En matemáticas una serie (suma de los términos de una secuencia de números) resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado de otro modo constituiría lo que se denomina serie divergente.
Series Numéricas.
Las series numéricas son sucesiones muy particulares ya que se definen (o se generan) a partir de otra sucesión. Dos ejemplos sencillos aparecen en la definición de e y el la “Paradoja de Zenón”. Una forma de definir e es a través de la suma: Una serie numérica es una secuencia de números ordenados llamados términos entre los cuales hay una relación que hay que descubrir para completar la serie.
figura 2
50%
Tabla de series numericas
figura 4
Serie divergente
En el ámbito de las matemáticas se denomina divergente a una serie infinita que no es convergente o sea que la secuencia infinita de las sumas parciales de la serie no tiene un límite. Si una serie convergente los términos individuales de la serie deben aproximarse a cero así una serie en la que los términos individuales no se aproximan a cero es una serie divergente sin embargo la convergencia es una condición mas fuerte no todas las series cuyos términos tienden a cero son convergentes.
figura 6
Series de potencias
figura 5
10
Radio de convergencia
Una serie de potencias en torno al punto x0 es una expresión de la forma donde x es una variable y los coeficientes an son constantes. Se dice que (C.1) converge en el punto x = r si la serie infinita (de números reales) converge; esto es, el límite de las sumas parciales existe (como numero finito). Si este límite no existe, se dice que la serie de potencias diverge en x = r. Obsérvese que converge en x = x0 ya que
figura 7
11
¿Cómo se determina el radio de convergencia?
figura 7
Para que una serie sea convergente es necesario que el valor absoluto de los términos sucesivos vaya en disminución cuando el número de términos sea muy grande. En forma matemática se expresaría de la siguiente manera:
Usando las propiedades de los límites en la expresión anterior se obtiene:
Aquí r es el radio de convergencia y |z – a| < r es el círculo de frontera abierta en el plano complejo donde la serie converge. En caso que el valor a y la variable z sean números reales, entonces el intervalo abierto de convergencia sobre el eje real será: (a – r, a+r).
12
Serie de Taylor
Cada elemento de la serie de Taylor corresponde a la enésima derivada de la función f evaluada en el punto a, entre el factorial de n(n!),y todo ello, multiplicado por x-a elevado a la potencia n. Esta fórmula representa una aproximación de la función f(x) alrededor del punto a utilizando los valores de la función y sus derivadas en ese punto.
La serie de Taylor es una representación matemática de una función en términos de una suma infinita de términos. Esta serie se utiliza para aproximar una función complicada mediante una serie infinita de términos polinomiales simples. La serie de Taylor se centra en un punto dado y utiliza las derivadas de la función en ese punto para calcular los coeficientes de los términos de la serie. La serie de Taylor es una serie de potencias que se prolonga hasta el infinito, donde cada uno de las sumatorias esta elevado a una potencia mayor al antecedente
La serie de Taylor puede converger a la función original en un intervalo específico dependiendo de la función y del punto alrededor del cual se está desarrollando la serie. Es una herramienta fundamental en cálculo y análisis matemático para aproximar funciones complejas con polinomios más simples. La serie de Taylor se utiliza cuando una función o una integral ya no tiene solución y lo que queda por utilizar seria un método numérico para aproximarnos a su valor real.
O puede ser escrita de una manera mas compacta:
13
Representación de funciones mediante la serie de Taylor
A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.
Función exponencial y logaritmo natural:
14
Representación de funciones mediante la serie de Taylor
Funciones trigonométricas:
Serie geométrica:
Teorema del binomio:
15
Supongamos que tenemos una función de f(x) expresada como una rerie de Taylor alrededor de a:
Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor
Algunas veces es necesario aproximar funciones complicadas usando una combinación de otras funciones más simples. Estas funciones más simples deberían permitir un tratamiento sencillo, como encontrar sus derivadas o sus integrales. Calcular integrales de funciones expresadas como series de Taylor puede ser útil para encontrar integrales de manera aproximada. La idea es integrar término por término la serie de Taylor y luego sumar estos resultados para obtener la integral de la función original.
Para encontrar la integral de f(x) en un intervalo (a,b) puedes integrar términos por termino:
Y para encontrar un integral general:
Uno de los conjuntos de funciones más simples de tratar son los polinomios. Por ejemplo, un polinomio de grado 3 se escribe como
16
sucessiones
Series de potencia
Radio de convergencia
17
Serie de Taylor de una función
Serie de Taylor en una integral
18
se acabo el semestre..!!!
19
¿Tienes una idea?
Con las plantillas de Genially podrás incluir recursos visuales para dejar a tu audiencia con la boca abierta. También destacar alguna frase o dato concreto que se quede grabado a fuego en la memoria de tu público e incluso embeber contenido externo que sorprenda: vídeos, fotos, audios... ¡Lo que tú quieras!
¿Tienes una idea?
Con las plantillas de Genially podrás incluir recursos visuales para dejar a tu audiencia con la boca abierta. También destacar alguna frase o dato concreto que se quede grabado a fuego en la memoria de tu público e incluso embeber contenido externo que sorprenda: vídeos, fotos, audios... ¡Lo que tú quieras! ¿Necesitas más motivos para crear contenidos dinámicos? Bien: el 90% de la información que asimilamos nos llega a través de la vista y, además, retenemos un 42% más de información cuando el contenido se mueve.
¿Tienes una idea?
Con las plantillas de Genially podrás incluir recursos visuales para dejar a tu audiencia con la boca abierta. También destacar alguna frase o dato concreto que se quede grabado a fuego en la memoria de tu público e incluso embeber contenido externo que sorprenda: vídeos, fotos, audios... ¡Lo que tú quieras!
¿Sabías que... Retenemos un 42% más de información cuando el contenido se mueve? Es quizá el recurso más efectivo para captar la atención de tu alumnado.
Truquito: La interactividad es la pieza clave para captar el interés y la atención de tus estudiantes. Un genially es interactivo porque tu grupo explora y se relaciona con él.
Truquito: La interactividad es la pieza clave para captar el interés y la atención de tus estudiantes. Un genially es interactivo porque tu grupo explora y se relaciona con él.