Deducción Natural

Lógica deductiva

Deducción natural

Inferencia, Demostración y Álgebras de Boole

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Deducción natural

¿A qué nos referimos con deducción natural?

Es el proceso por el cual, mediante la inferencia, logramos llegar a una conclusión.Es una demostración lógica que nos permite entender cómo podemos llegar a una conclusión mediante determinadas reglas, para así valorar la validez de nuestros argumentos.

Demostración

La demostración lógica consiste en utilizar determinadas reglas y procedimientos para hacer ver la validez de nuestros argumentos.

+info

REglas de Inferencia

Modus Ponenod Ponens (M.P.)

Dilema Constructivo (D.C.)

Silogismo Hipotético (S.H.)

Silogismo Disyuntivo (S.D.) / Modus Tollendo Ponens (T.P.)

Modus Tollendo Tollens (M.T.)

REglas de Inferencia

Dilema Destructivo (D.D.)

Adición (Ad.)

Simplificación (Simpl.)

Conjunción (Conj.)

Absorción (Abs.)

REglas de Inferencia

Doble Negación (D.N.)

Introducción del condicional. I→

Reducción al Absurdo (Red. Abs.).

Reglas de Equivalencia

Implicación material / Definición del condicional (A→B) ≡ (¬AvB) Ley de la deducción A→(B→C) ≡ (AʌB)→C Equivalencia material (A↔B) ≡ ((A→B) ʌ (B→A)) (A↔B) ≡ ((AʌB) v (¬Aʌ¬B)) Exportación ((AʌB)→C) ≡ (A→(B→C))

Asociatividad ((AʌB)ʌC) ≡ (Aʌ(BʌC) ((AvB)vC) ≡ (Av(BvC)) Conmutatividad (AʌB) ≡ (BʌA) (AvB) ≡ (BvA) Distributividad ((AʌB)vC) ≡ ((AvC) ʌ (BvC)) ((AvB)ʌC) ≡ ((AʌC)v(BʌC)) Leyes de De Morgan ¬(AʌB) ≡ (¬Av¬B) ¬(AvB) ≡ (¬Aʌ¬B)

Idempotencia (AʌA) ≡ A (AvA) ≡ A Absorción ((AʌB)vA) ≡ A ((AvB)ʌA) ≡ A Doble negación ¬¬A ≡ A Transposición / Contrarrecíproca (A→B) ≡ (¬A→¬B)

Vídeo

Pasos por realizar

01

04

Lectura de la demostración

Resolución: Silogismo Disyuntivo

02

05

Resolución: Simplificación

Conclusión: Simplificación

03

Resolución: Modus Tollens

Reglas y procedimientos

• Leyes de Inferencia. son esquemas de los que partimos para aceptar, sin cuestionamiento, la validez de enunciados y proposiciones
• Leyes de Equivalencia. tienen la función de mostrar las diversas maneras en las que una fórmula puede ser interpretada, en tanto que tienen las mismas variables, en el mismo orden (se comprueban por tabla de verdad).

Veamos ahora cómo se puede resolver, paso por paso, un ejercicio de deducción natural, para que puedan ver cómo se van despejando o desarrollando los pasos. Resolvamos esta fórmula: {A→B, Av(CʌD), ¬Bʌ¬E} ├ C Recuerden que las fórmulas, en este conjunto, se separan por “comas”. La conclusión en este caso es “C”, por lo que los pasos que debemos de hacer es llegar a C. Cuando vayamos a despejar, deben de enumerar las premisas conforme el orden. De la siguiente manera: 1. A→B 2. Av(CʌD) 3. ¬Bʌ¬E

Debemos de buscar qué nos sirve para poder desarrollar el ejercicio. Como nos podemos dar cuenta, cada vez que notemos una conjunción, podemos despejarla, para poder utilizar uno o ambos conjuntos. En este caso, la regla que nos funcionaría sería la Regla de Inferencia de la Simplificación: Simplificación (Simp.) pʌq _____ ⸫ p pʌq ____ ⸫ q Entonces, la aplicaremos a la Premisa 3: 1. A→B 2. Av(CʌD) 3. ¬Bʌ¬E 4. ¬B Simpl. 3

Lo que podemos hacer es despejar la otra letra, que sería la ¬E. Sin embargo, sigamos con la letra despejada. ¿Qué más podemos hacer? Veamos que en la primera premisa está la B, aunque no está negada; además, está unida por un condicional, por lo que hay una regla de la que podemos hacer uso: Modus Tollens: Modus Tollendo Tollens (M.T.) p→q ¬q _____ ⸫ ¬p Entonces, aplicaremos esta regla usando la Premisa 1 y la Premisa 4: 1. A→B 2. Av(CʌD) 3. ¬Bʌ¬E 4. ¬B Simpl. 3 5. ¬A M. T. 1, 4

Ya tenemos despejada A, en forma negativa. Sigamos con las similitudes. En la Premisa 2, tenemos una A, sólo que está unida por una Disyunción (v). Hay una regla que nos dice: “si tenemos ¬A (negación de A/una A negada), y hay una fórmula donde esté A afirmada y se halle unida por una disyunción, tenemos permitido cancelar la ¬A y A, y quedarnos con el otro disyunto”. Silogismo Disyuntivo (S. D.) / Modus Tollendo Pones (T. P.) pvq ¬p/¬q _____ ⸫ q/p Se construirá el desarrollo así, utilizando la Premisa 2 y la Premisa 5: 1. A→B 2. Av(CʌD) 3. ¬Bʌ¬E 4. ¬B Simpl. 3 5. ¬A M. T. 1, 4 6. CʌD S. D. 2, 5

Si se percatan, ya tenemos a C técnicamente lista. Sin embargo, nos falta despejarle D. Observen que es el mismo paso que en la Premisa 3, por lo que repetiremos la fórmula. Simplificación (Simp.) pʌq _____ ⸫ p/q 1. A→B 2. Av(CʌD) 3. ¬Bʌ¬E 4. ¬B Simpl. 3 5. ¬A M. T. 1, 4 6. CʌD S. D. 2, 5 7. ⸫ C Simpl. 6