Reto 5-Límites y Continuidad de una Función

CÁLCUlO DE Límites

Límite de una función

Límite de una Función

Se define como el valor L que una función arrojaría si estuviera definida para el valor x = x0

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Teorema de los Límites

Límites unilaterales

¿Teorema de los Límites?

Nos referimos como Teoremas a las reglas estípuladas que simplifican la aplicación estricta de un límite.

Límites bilaterales

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Límites al infinito

Límites infinitos

Continuidad de funciones

Una función f es continua en a si se cumplen las siguientes condiciones:1. f(a) existe 2. lim x-a f(x) existe 3. lim x-a f(x) = f(a)

Una función es continua si no tiene puntos de ruptura, es decir, si su límite existe cuando la varibale independiente se acerca a dicho punto.

+ Bibliografía

DEFINICIÓN:Sea una función f(x) definida para todo número real x, con exepción de x=0. Se define el limite de la función f(x) cuando x=0 como el valor de L que la función arrojaría si esta función estuviera definida para el valor x. f(x)=L CÁLCULO DE LÍMITES:1. Se sustituye el valor x en la función f(x), se observa el resultado, si este es un número o un valor infinito, hemos terminado. Si no es así, es necesario continuar con los siguientes puntos a continuación, los cuáles no llevan un orden. 2. Se utilizaran las propiedades mencionadas según sea necesario. 3. Se transforma o simplifica la función utilizando propiedades e identidades algebraicas, trigonométricas o trascendentales, posteriormente se calcula el límite de la nueva función utilizando el punto 1. 4. Si no se consigue encontrar el valor del límite es recomendable otra transformación algebraica, trigonométrica o trascendental. EJEMPLO:Lo primero es conocer el concepto de límite, para poder calcular un límite en particular. Analizando la función: Evaluando la función para los valores del conjunto S: Entonces, el límite es existente, por ende: Esto quiere decir que la función f(x) no está definida para el valor x=0.

Límites al Infinito. Clic para ver el ejemplo. Más sobre límites al infinito:

BIBLIOGRAFÍA.Rodríguez, F., Navarro, C., Maldonado, E., Romero, J., Vicario, M. Campistrous, L., y Rizo, C.(2018). Iniciación al álgebra elemental.Madrid, España: Ediciones Díaz de Santos. [Versión en línea].Recuperado de la base de datos elibrocatedra. (5349711). Alvarado, M. y Franchini, C. (2016). Cálculo diferencial en competencias.México: Grupo Editorial Patria.Recuperado de la base de datos elibrocatedra (7444657). Aguilar, A., Bravo, F., Gallegos, H., Cerón, M., y Reyes, R. (2016). Cálculo diferencial. México: Pearson Educación México.UVEG Académico (13 de octubre de 2018). Lección 7. Límite de una función. YouTube [Consultado el 06/12/2023]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=xkaPzZqxEdM [Actualizado el 13/10/2018].El Traductor de Ingeniería (04 de julio de 2019). LÍMITES - Clase Completa: Explicación desde Cero | El Traductor. YouTube. [Consultado el 06/12/2023]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=pYVVPqphPS0 [Actualizado el 04/07/2019].

LÍMITES BILATERALES. Límite por la Derecha (Teorema 12): Clic para el ejemplo. Límite por la Izquierda: Clic para el ejemplo. Teorema 12 (Límite por la Derecha): Clic para el ejemplo.

LÍMITES INFINITOS. En este tipo de funciones, se observa como el valor de la función f(x) crece arbitrariamente cuando la varibale x se acerca a cierto valor a, entonces es recomendable verificar el comportamiento de la función f(x) cuando la variable x se acerca al valor a, tanto por la izquierda como por la derecha. Caso 1. Clic para el ejemplo: Caso 2. Clic para el ejemplo: Caso 3. Clic para el ejemplo: Caso 4. Clic para el ejemplo: Los casos 1 y 4 por un lado y los casos 2 y 3 por otro, pueden considerarse como casos inversos aditivos para la misma función, siendo así, basta con sustituir f(x) por -f(x) en los límites, para así pasar de un caso a otro respectivamente.

CONTINUIDAD DE FUNCIONES En caso de que estás condiciones 1, 2 y 3 no se cumplan, quiere decir qué, la función f es descontinua en a. A continuación, se muestran métodos para verificar la continuidad de una función: - Discontinuidad Esencial: Aplicando la continuidad de x=2, en la siguiente función: Aplicando condiciones: 1°. 2°. * Cuando x tiende a 2 por la izquierda. | * Cuando x tiende a 2 por la derecha. - Se concluye que el Límite Bilateral no existe, por qué los valores de los límites por la derecha e izquierda no son iguales, por ende, la función es discontinua en 2. °Clic para ocultar o mostrar el gráfico de la función discontinua a 2. ___________________________________________________________________________________ - Discontinuidad Removible: cuando el límite de una función f(x) no existe para un cierto valor de la variable x, significa que la función no es continua. Aplicando a la siguiente función: * Se calcula el límite de la función: * Se redefine f(x) para x = 2: - Se cumple la tercera condición al redefinicirse la función y así, presentar discontinuidad. °Clic para mostrar u ocultar el gráfico que presenta discontinuidad. ___________________________________________________________________________________ - f(x) es Continua en a. Aplicando las condiciones para la función que es continua para x = 4: 1°. Investigando las tres condiciones necesarias para la continuidad: 2°. *Cuando x tiende a 4 por la izquierda. | *Cuando x tiende a 4 por la derecha. - El Límite Bilateral existe, porqué x tiende a 4 por la derecha e izquierda, siendo igual a la función verificada en x = 4. °Clic para mostrar u ocultar el gráfico de la función evaluada para x = 4.

LÍMITES UNILATERALES Teorema 1: Clic para ver el ejemplo. Teorema 2: Clic para ver el ejemplo. Teorema 3: Clic para ver el ejemplo. Teorema 4: Clic para ver el ejemplo. Teorema 5: Clic para ver el ejemplo. Teorema 6: Clic para ver el ejemplo. Teorema 7: Clic para ver el ejemplo. Teorema 8: Clic para ver el ejemplo. Teorema 9: Clic para ver el ejemplo. Teorema 10: Clic para ver el ejemplo. Teorema 11: Clic para ver el ejemplo.

LOS TEOREMAS PARA DETERMINAR EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN._____Límites Unilaterales.Para ser más exactos, los Límites Unilaterales los restringimos para cuando x se aproxime desde un solo lado.Se pueden generalizar por dos puntos importantes: * x se aproxima por derecha: x -> a+ * x se aproxima por izquierda: x -> a-_____Límites Bilaterales:Los límites bilaterales de una función existen si los límites unilaterales por la derecha e izquierda son iguales. * En ejemplo, si se tiene una unción f(x), el límite bilateral en un punto a se denota como lim(x -> a) f(x) y existe si y solo si lim(x -> a-) f(x) = lim(x -> a+) f(x) = L, donde L es un número real._____ Límites al Infinito:Los límites al infinito describen el comportamiento de los valores de una función cuando se hacen muy grandes. * El símbolo "infinito" no representa un número real, en cambio describe el comportamiento de la función f(x), que se hace más y más grande; igualmente con el símbolo "- infinito", que se hace más y más negativa. * La función lim x -> "infinito" f(x) = L, no es un valor de la función, sino, una abreviatura, la cual muestra lo que la función está haciendo cuando crece en valores muy grandes. * Las tres maneras de calcular los Límites al Infinito son: por representación gráfica, por sustitución y, por deducción._____Límites Infinitos: Ocurren cuando el valor de una función se hace infinitamente grande (positivo o negativo) a medida que la variable independiente se acerca a un valor específico. * En ejemplo, la función f(x) = 1/(x-2), a medida que x se acerca a 2, el valor de la función se hace infinitamente grande. * Al igual que los Límites al Infinito, las maneras de calcular los Límites Infinitos son: por representación gráfica, por sustitución y por deducción.