Le calcul mental au cycle 3 (2h) CM4

Jeux Prim76

Visites de classes

Enseigner le calcul mental au cycle 3

Comment aider l’élève à mémoriser les faits numériques et à développer des procédures efficaces en calcul mental ?

Maths et APQ

Vos obstacles dans l'enseignement du calcul mental

Les différentes formes de calcul

Le calcul mental

Le calcul en ligne

Le calcul posé

Le calcul instrumenté

Le calcul mental

• Le calcul mental se définit comme le calcul qui s’effectue dans la tête.

• Ce calcul numérique ne passe pas par des intermédiaires écrits mais peut faire appel à des supports visuels (bande numérique, tableau de nombres, ...).

• Il peut être oral (l’élève dit le résultat) ou écrit (l’élève écrit alors le résultat et seulement le résultat).

• L’énoncé peut être oral ou écrit (permanent ou temporaire).

• Il n’est pas exclu d’utiliser l’écrit pour la correction et garder une trace.

• S’il se distingue du calcul en ligne, du calcul posé et du calcul instrumenté, il est néanmoins présent dans tous ces moyens de calculer.

Bulletin officiel spécial n°3 du 5 avril 2018

Au cycle 3, en calcul mental et en ligne, la complexification des contextes numériques se poursuit. Parmi les variables, interviennent désormais en plus de celles du cycle 2 (taille des nombres, variété des décompositions, relations entre les nombres, etc), la nature des nombres (nombres entiers, nombres décimaux) et leurs différentes écritures (fraction décimale, décompositions, écriture à virgule).

Bulletin officiel spécial n°3 du 5 avril 2018

Pourquoi le calcul mental est‐il si fondamental ?

• Aspect social : calcul d’usage, utile dans la vie ordinaire. • Indispensable pour le calcul posé. • Moyen utile pour validation d’un calcul posé (ordre de grandeur). • Aide à la résolution de problèmes : se ramener rapidement à un cas simple qui peut être traité mentalement. D’après Roland Charnay

Bulletin officiel spécial n°3 du 5 avril 2018

Des constats sur la pratique du calcul mental à l'école

Les évaluations

Le temps consacré au calcul mental est massivement inférieur à une heure par semaine.

Peu de structuration des procédures dans les séances de calcul mental stratégique.

Les séances sont plutôt consacrées à la mémorisation des faits numériques.

Les évaluations

Les évaluations nationales

01

Les évaluations internationales TIMSS

02

Evaluation de la DEPP (2019)

03

01:00

Mise en situation

Quelles sont les procédures que vous utilisez pour résoudre le calcul suivant?

45 + 17

Calcul mental (Butlen, Pézard)

• La procédure majoritaire mise en oeuvre par les élèves n'ayant pas reçu d'enseignement est l'utilisation de l'algorithme posé dans la tête.

• Ce sont des procédures sûres pour les élèves mais qui sont également très coûteuses.

• Les autres procédures sont rarement utilisées. Elles nécessitent un enseignement.

Le paradoxe de l'automatisme (Butlen, Pézard, 1992)

Un défaut de performance dû à un manque de procédures de calculs automatisés

Un défaut d'adaptation dû à l'installation de procédures automatisées inefficaces

Le calcul mental stratégique (Utilisation des procédures)

Les faits numériques

Diapochrono n°1 Les doubles et moitiés

Les faits numériques

Définition :

Les faits numériques sont des résultats de calculs mémorisés immediatement disponibles pour l'élève. Les mémoriser permet de libérer la mémoire de travail. L'objectif pour l'élève est de pouvoir restituer le résultat sans passer par une phase de reconstruction et ainsi de rendre ses procédures plus économiques. (Fischer 1987, Boule 1997). Ils mobilisent la mémoire déclarative.

Les faits numériques

Les attendus en fin de cycle 3

L'apprentissage des faits numériques

Focus sur les tables de multiplication

• Proposer des exercices sous forme de "drill" 3 minutes par jour pendant 8 semaines permet une augmentation nette des performances (Knowles, 2010)

• Plus on répète et plus (mieux) on automatise

• A chaque répétition, l'association se fait entre opérandes (ex: 9 x 4) et résultat (36)

• On s'exerce jusqu’à ce que l’association soit si forte que 36 s’active instantanément à la présentation de 9 x 4

• Le fait multiplicatif (9 x 4 = 36) est donc stocké en mémoire à long terme et récupéré automatiquement

L'apprentissage des faits numériques

Focus sur les tables de multiplication

La courbe d'Ebinghaus

• Faire produire les résultats des multiplications de manière répétée (drill) et espacée

• Faire travailler davantage les multiplications échouées (baisse des interférences, contrer les associations avec des mauvaises réponses)

• La boîte à flashcard peut être utilisée pour travailler tous les faits numériques

L'apprentissage des faits numériques

05:00

Focus sur les tables de multiplication

Multimalin : Un outil pour mémoriser les tables de multiplication?

Mathador : Un outil pour mémoriser les tables de multiplication?

Diapochrono n°2 Les compléments à l'unité

Point d'étape

Les procédures

Diapochrono n°3 Multiplier un nombre entier par 5/25/50

Définition :

Les procédures sont des traitements de calculs qui s'appuient sur des faits numériques mémorisés et qui mettent en jeu certaines propriétés des nombres ou des opérations. Pour un calcul, il existe plusieurs procédures (décomposition additive de l'un ou des deux termes, décomposition additive avec passage à la dizaine supérieure, décomposition soustractive) mais elles ne sont pas forcément toutes efficaces.

Le calcul mental stratégique

Les attendus en fin de cycle 3

Les propriétés des opérations

Mise en situation

Quelles sont les procédures que vous utilisez pour résoudre le calcul suivant?

32 x 25

Les procédures

Le calcul mental stratégique

Les procédures sont des traitements de calculs qui s'appuient Les objectifs pour l'enseignant sont divers :

• Développer chez l'élève un répertoire de stratégies efficaces et variées

• S'assurer que l'élève est capable d'utiliser la procédure

• Mettre en évidence les stratégies les plus efficaces

Le calcul mental stratégique

Construire une séquence

Etape 4

Etape 1

Etape 2

Etape 3

Calcul mental : hiérarchiser les procédures

La trace écrite

Le calcul mental stratégique

Diapochrono n°4 Multiplier un nombre décimal par 10/100/1000

Quelles pratiques en calcul mental?

BO du 12 janvier 2023

Quelques pistes pour gérer l'hétérogénéité

• Modalités de travail (atelier dirigé, atelier autonome)

• La bienveillance : l’écoute de l’élève, la confiance faite à son travail, l'encouragement, la stimulation, une attitude positive contribuent à faire avancer les élèves

• Le recours à un matériel (de numération, bande numérique) ou une représentation pour convoquer le sens
• Le débat entre élèves : choix de productions, erronées ou pas, (par l'enseignant) et débattre de la véracité d'une production, s'exprimer sur sa manière de procéder et la soumettre à la classe (climat scolaire)

Des ressources numériques

Diapochrono

Des propositions de programmations

• Programmation CM1

• Programmation CM2

Classe de Mme Desprez

Objectif

Mise en oeuvre de l'activité

Difficultés de l'élève

Evolutions possibles

Classe de Mme Marcen

Objectif

Mise en oeuvre de l'activité

Difficultés de l'élève

Evolutions possibles

Classe de Mme Lefevre

Objectif

Mise en oeuvre de l'activité

Difficultés de l'élève

Evolutions possibles

Classe de Mme Duthil

Objectif

Mise en oeuvre de l'activité

Difficultés de l'élève

Evolutions possibles

Classe de Mme Catero

Objectif

Mise en oeuvre de l'activité

Difficultés de l'élève

Evolutions possibles

Les 30' d'activité physique quotidienne

Les 30 APQ ?30 minutes par jour pour se dépenser afin de se remobiliser !Quand l’EPS n’est pas programmée sur la journée !

Les 30 APQ, POURQUOI ?• Lutter contre la sédentarité et ses risques associés.• Développer les capacités motrices et les aptitudes physiques des enfants.• Evacuer les tensions.• Etre plus disponible pour les apprentissages.• Privilégier la concentration et l’attention.• Rendre le climat scolaire plus serein.

La gym des calculs

On s'entraîne

La gym des calculs

1,5 X 4 =

La gym des calculs

54,5

52,5

51,5

15 X 3,5 =

La gym des calculs

145

135

125

58 X 2,5 =

Le relai tables

Les relais tables

Les mémorys

Merci pour votre attention !

Enseigner explicitement et intensivement le calcul aux élèves revient en fait à leur offrir à la fois des outils pour la résolution de problèmes et la suite de leurs études et le plaisir de jouer avec les nombres. Bulletin officiel spécial n°3 du 5 avril 2018

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même.

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché).

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même.

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché).

Enseigner explicitement et intensivement le calcul aux élèves revient en fait à leur offrir à la fois des outils pour la résolution de problèmes et la suite de leurs études et le plaisir de jouer avec les nombres. Bulletin officiel spécial n°3 du 5 avril 2018

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même.

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché).

Faits numériques

• Travaille d’autres compétences tel que le calcul réfléchi (qui cependant peut lui même faire travailler les automatismes)

• N’est pas assez focalisé sur la multiplication

• Dans la version numérique, les enfants peuvent lire le résultat des multiplications

Les émotions ont un grand impact sur l'apprentissage. Les émotions désagréables (comme le stress, la peur, l’anxiété) peuvent rendre les apprentissages tres difficiles. En cas de stress, le cerveau secrète des hormones comme l’adrénaline et le cortisol. Quand le taux de cortisol est trop élevé dans le sang, il devient difficile de penser avec clairvoyance. Aucun apprentissage ne peut s'effectuer dans le stress ou la peur. Les neuroscientifiques ont démontré qu’on apprend mieux quand on est joyeux et détendu. Les émotions positives comme la confiance, l'approbation, la fierté, la sincérité, la passion, le plaisir, la gratitude, la tendresse, l'amour... rendent le processus de connexions neuronales plus efficace.

Extrait du guide CP

• La commutativité : 5+23=23+5, qui pourra être verbalisée aux élèves de la manière suivante : "Dans une addition, on peut change l'ordre des nombres";

• L'associativité : 23+(7+2)=(23+7)+2, qui pourra, par exemple être verbalisée par : "Dans une addition, on peut associer les nombres de différentes manières";

• L'utilisation simultanée des deux propriétés de commutativité et associativité : 43+27=40+20+(3+7);

• La distributivité de la multiplication sur l'addition, propriété plus complexe, sera illustrée par du matériel et explicitée de la manière suivante : "Le double de 21 c'est le double de 20 plus le double de 1".

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Il favorise la manipulation mentale des nombres et des relations entre les nombres plutôt que les chiffres. Il permet donc de travailler le sens des nombres.

• Il repose souvent sur les propriétés des opérations et permet donc de travailler le sens des opérations

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché)

« Le calcul mental est une modalité de calcul sans recours à l’écrit si ce n’est, éventuellement, pour l’énoncé proposé par l’enseignant et la réponse fournie par l’élève. Il n’est pas exclu non plus que la correction, elle, soit écrite pour être discutée de façon collective »

Enseigner explicitement et intensivement le calcul aux élèves revient en fait à leur offrir à la fois des outils pour la résolution de problèmes et la suite de leurs études et le plaisir de jouer avec les nombres. Bulletin officiel spécial n°3 du 5 avril 2018

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Il favorise la manipulation mentale des nombres et des relations entre les nombres plutôt que les chiffres. Il permet donc de travailler le sens des nombres.

• Il repose souvent sur les propriétés des opérations et permet donc de travailler le sens des opérations

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché)

Quelles sont les différentes formes de calcul rencontrées à l'école?

Pourquoi la maitrise des faits arithmétiques est importante dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Parce qu’une bonne maîtrise des faits arithmétique permet aux élèves d’ automatiser le résultat des opérations les plus simples, diminuant ainsi la charge en mémoire de travail associée à d’autres tâches, comme le calcul mental stratégique ou la résolution de problèmes

• En ce sens, la maîtrise des faits arithmétique va grandement faciliter le calcul mental stratégique

• Les réponses aux multiplications doivent être reconstruites à partir de scénarios longs et complexes

• Les scénarios vont interférer les uns avec les autres

• L’automaticité de production de la réponse ne pourra jamais être atteinte

Pourquoi la maitrise des faits arithmétiques est importante dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Parce qu’une bonne maîtrise des faits arithmétique permet aux élèves d’ automatiser le résultat des opérations les plus simples, diminuant ainsi la charge en mémoire de travail associée à d’autres tâches, comme le calcul mental stratégique ou la résolution de problèmes

• En ce sens, la maîtrise des faits arithmétique va grandement faciliter le calcul mental stratégique

Principe général : Chacune des multiplications est inscrite sur une carte et lorsqu’elle est présentée à l’enfant, il doit donner la réponse (éventuellement dans un temps imparti). Toute multiplication échouée est placée dans la boite 1, toute multiplication réussie avance d’une boîte. L’enfant est ensuite interrogé plus souvent sur les cartes de la boite 1 que sur celles de la boite 2 et encore plus souvent que sur celles de la boite 3.

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même.

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché).

• Automatiser des calculs pour libérer de l’espace mental pour la résolution de problèmes.

• Connaitre une grande variété́ de procédures pour développer les capacités d’initiative lors de la résolution de problèmes

• Connaitre les nombres et les calculs élémentaires pour remplacer des données par des nombres plus « familiers »

• Le calcul en ligne est un calcul écrit ou partiellement écrit.

• Il comporte des étapes de calcul.

• Il dépend des nombres en jeu

• Le calcul posé est une modalité de calcul écrit consistant en l’application d’un algorithme

• Il ne dépend pas des nombres en jeu

Un exemple au CP

• 7 + 43

• Mobilisation d'un fait numérique : 7 + 3 = 10 (complement à 10)

• Procédure (décomposition additive) : 7 + 40 + 3

• Commutativité de l'opération : 7 + 40 + 3 = 7 + 3 + 40 = 10 + 40 = 50

Le calcul instrumenté est un calcul effectué à l’aide d’un ou plusieurs instruments, appareils ou logiciels (abaque, boulier, calculatrice, tableur).

Procédures

• Multiplier ou diviser un nombre décimal par 10, par 100, par 1000 ;

• Rechercher le complément à l’entier supérieur ;

• Multiplier par 5, par 25, par 50, par 0,1, par 0,5.

• Connaître des propriétés de l’addition, de la soustraction et de la multiplication

• Connaître les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10.

• Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant un ordre de grandeur.

Pourquoi le calcul mental stratégique est important dans l’apprentissage des mathématiques ?

• Il favorise la manipulation mentale des nombres et des relations entre les nombres plutôt que les chiffres. Il permet donc de travailler le sens des nombres.

• Il repose souvent sur les propriétés des opérations et permet donc de travailler le sens des opérations

• Sa pratique répétée va permettre aux élèves d’ automatiser les stratégies mises en oeuvre et diminuer progressivement la charge en mémoire de travail. Au final, l’élève pourra plus facilement se concentrer sur d’autres aspects de l’activité mathématique que sur le calcul en lui-même

• Il va permettre d’estimer la vraisemblance d’un résultat (calcul approché)