FUNCIONES, DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES

Todo lo que hay que saber y saber hacer para cursar Cálculo sin problemas

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Índice

Contenido relacionado con el concepto de Función

Asíntotas

06

Relación

01

02

Definición de función

Funciones polinomiales

07

03

Notación de funciones

Funciones potencia y exponenciales

08

04

Dominio y Rango

Autoevaluación de cierre de funciones algebráicas

Funciones crecientes y decrecientes

09

05

RELACIÓN

Antes de entrar a la definición de función, veamos lo que es una relación para que quede bien entendido.

Definición de función

Una función es una relación en la cual, para cada valor de la variable independiente , existe uno y solo un valor de la variable dependiente. Ve el video y pulsa en el botón de "Autoevaluación" para verificar que te quedó clara la definición y los conceptos básicos.

Autoevaluación

Notación de funciones

El lenguaje de funciones es ampliamente usado en cursos posteriores como el de Cálculo o Ecuaciones Diferenciales, por eso es importante conocerlo.

+info

Funciones compuestas

Una o más funciones

Funciones en partes

Ejercicios intermedios

Ejercicios básicos

Ejercicios básicos

Gráfica de una función, continuidad

Dominio y rango

Restricciones para el dominio

Dominio

Continuidad

Rango

Funciones crecientes y decrecientes

Es un concepto fácil de entender.Una función f es creciente en un intervalo, si al incrementar x, crece f(x). Una función f es decreciente en un intervalo, si al incrementar x, decrece f(x). Una función f es constante en un intervalo, si al incrementar x, f(x) no cambia.

Acotamiento

Una función está acotada cuando tiene un límite que la restringe.Una función f está acotada por abajo si existe un número b que sea el menor en todo el rango de f. (Cota inferior de f). Una función f está acotada por arriba si existe un número B que sea el mayor en todo el rango de f. (Cota superior de f). Una función está acotada si lo está por arriba y por abajo.

Actividad

Asíntotas

Las asíntotas son rectas a las que se acerca la función sin llegar nunca a tocarlas. Son un límite que la función no rebasará.Generalmente son rectas horizontales y verticales y su definición se puede expresar usando notación de límites.

Práctica

Funciones polinomiales

Las funciones polinomiales son de las más conocidas entre todas las funciones. Muchos problemas de administración y economía se modelan empleando funciones lineales. Las funciones polinomiales cuadráticas y de grado superior se emplean para modelar procesos de manufactura.

Funciones lineales y sus gráficas

Una función lineal es una función polinomial de grado 1 y, por lo tanto, tiene la forma f(x)=ax+b, donde a y b son constantes y a no es cero.

Funciones cuadráticas y sus gráficas

+info

Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2. Su gráfica es una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo.

+info

Funciones potencia

Funciones exponenciales

Son una familia importante de funciones e importantes bloques de construcción de otras tantas. Las funciones potencia especifican las relaciones proporcionales que se estudian en geometría, química y física.

+info

Las funciones que tienen una base constante y una potencia variable son llamadas funciones exponenciales. Son opuestas a las funciones monomiales de potencia.

Ejercicio

¿Cómo vas?

Ken Blanchard

La retroalimentación es el desayuno de campeones

Autoevaluación 1

Autoevaluación 2

Gráfica de funciones, dominio y rango.

GraciasLuis E. Olea

¿Cómo es eso?

Empecemos con el ejemplo de la ecuación cuadrática y = x²-5x+3, que como funión se escribe f(x) = x²-5x+3. f(x), se lee "f de x" su nombre es " f " y es necesario para distinguirla de otras funciones de la misma o de otras variables.

• Note que f(X) no es el producto f por x
• Poner atención a "(x)" no tanto al nombre. Esta es la variable
• Evaluar consiste en reemplazar la variable por valores determinados.

Dominio

Definición formal

El dominio de la ecuación es el conjunto de todos los valores de "x" (variable independiente) que pueden sustituirse en la funcion de tal forma que resulta un valor real de "y" (variable dependiente).

• En una función por trozos el domino está definido desde el inicio.
• La gráfica no es continua porque el trazo es en partes.
• Sin embargo el dominio es D: ( -∞, ∞) porque hay un valor de "y" para toda "x"

Ejemplo resuelto Dominio y Rango de una función

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Relación

Es un grupo de pares ordenados

Esta parece una definición muy simple, pero la vamos a necesitar para definir una función (principal tópico de esta presentación). Sin embargo antes de definir función veamos si podemos entender primero lo que es una relación. Cuando queremos graficar una ecuación obtenemos puntos que son pares ordenados que usamos para el trazo. Por ejemplo, para trazar y=(x+1)²-4 podemos usar algunos puntos como (-2, 5), (-1, 0), (0, -3), (1, -4), (2, -3), (3, 0) y (4, 5). Por supuesto hay muchos pares más que son posibles. si deseas sutituye los valores de "X" en la hoja de cálculo y ve cómo cambia la gráfica. Ahora veamos porqué hay relaciones que son tan especiales

Funciones exponenciales

• Dominio, todos los reales.
• Rango de cero a infinito.
• Continua .
• No tiene simetría.
• Acotada por abajo.
• No tiene asíntotas verticales.
• Si b>1 es creciente sin límite al crecer x
• si b<1 es decreciente y al crecer x la funcion tiende a cero.

Práctica con modelos exponenciales

Pendiente-ordenada en el origen

Si se usa m para el coeficiente principal en lugar de a, y establecemos que y=f(x), esta ecuación se transforma en la forma conocida pendiente-ordenada en el origen de la recta: y =mx+b

• Las rectas verticales no son funciones
• Las rectas horizontales son constantes
• Es función si y solo si es una recta inclinada creciente (m+) o decreciente (m-)

Rango

El Rango o Contradominio es el conunto de valores reales de "y" (variable dependiente).Normalmente se describen en forma de desigualdad o de intervalo, de abajo hacia arriba o desde el menor valor posible hasta el mayor valor posible.

• Determinar el dominio es lo primero.
• Posteriormete graficar la ecuación.
• Enfatizar la tendencia no tanto el detalle de la gráfica.
• Aprender a buscar los puntos críticos donde hay posibles discontinuidades.

Práctica: Dominio y Rango desde la gráfica

Forma general

f(x) = ax²+bx+c

Si a >0, abre hacia arriba y si a<0 abre hacia abajoTiene un vértice que acota la curva y se encuentra sobre su eje de simetría. Si b=0, es simétrica al eje "y". Si c=0, pasa por el origen Sus intersecciones con el eje "x" se pueden obtener con la fórmula general cuadrática.

• En economía cuando la demanda es lineal, el ingreso es cuadrático.
• En dinámica la caída libre de los cuerpos, el tiro horizontal y el oblicuo se describen así.
• En óptica se usa la parábola, también en la refracción en lámpara.
• En comunicaciones las antenas parabólicas tienen amplio uso.