Geometria del Espacio: Historia y Aplicaciones

Geometría del Espacio

Historia y Aplicaciones

01

El espacio y su geometría

Definición y Elementos

Geometría del Espacio

Rama de la geometría que estudia los objetos en el espacio tridimensional, sus propiedades y sus interacciones.

Elementos Previos

Plano

Línea

Punto

Espacio

Dimensión creada a partir de la intersección de 3 planos perpendiculares. Existen el punto, la longitud, el área y el volumen.

Pregunta

02

Geometría del Espacio en la Antigüedad

Babilonia, Egipto y China

Babilonia: La cuna de la civilización en Mesopotamia y el lugar de los Jardines Colgantes

• No se tienen registros claros de sus procedimientos con volúmenes

• Se tiene la noción del uso de la geometría del espacio para la arquitectura y la alfarería
• El uso más reconocido es la astronomía, pues lograron calcular la órbita de Júpiter (Ossendrijver, 2016, citado en Fernández-Nieto, 2018)

Egipto: El lugar de las Pirámides

• Cuna del Papíro de Rhind, documento que contiene 84 problemas, entre ellos algunos relacionados con el volumen (Estrada, 2018)

• Las cámaras mortuorias y las estructuras construidas tanto dentro como fuera de ellas demostraban sus amplios conocimientos empíricos en geometría del espacio

• Su distintivo fueron las pirámides cuadrangulares, como se puede ver en el Papiro de Moscú (Cortés, 2012)

• Pirámides de Guiza

• Sarcófagos
• Ánforas

China: La agricultura, los contenedores y la Gran Muralla del Imperio Chino

• Cultura con grandes avances matemáticos en la era antigua

• Sus problemas eran, principalmente, orientados a la contención de granos y alimentos

• Los primeros sistemas de ecuaciones eran relacionados a la masa contenida en volúmenes (Martín & González, 2020)

• La Gran Muralla

¿Un ejemplo más de la Geometría del Espacio Antigua?

03

Geometría del Espacio Clásica

Antigua Grecia

Platón: "No entre aquí nadie que ignore la Geometría" y los sólidos de caras perfectas

• Su estudio fue racional, pero también influenciado por la filosofía
• En su diálogo "Timeo", expone sus sólidos formados a través de polígonos regulares, y los relacionó con elementos naturales (Fernández-Nieto, 2018)

Euclides: El padre de la Geometría y los cuerpos tridimensionales en la antigüedad

• Su obra, Elementos, recopila la geometría del espacio del volumen XI al XIII (Fernández-Nieto, 2018)
• Cortés (2012) menciona que el volumen XI trata la Estereometría Elementa; el XII, el método de exhaución (pirámide, cono y esfera); y el XIII, los poliedros regulares

Arquimedes: La Corona del Rey

• En la geometría espacial, sus mayores aportes son relacionados a la esfera y el cilindro, pues, junto con el círculo, aproximó a π en 3.141592 (Cortés, 2012)
• Se le atribuye los primeros estudios formales de la densidad (la relación entre el volumen y la masa)
• La fórmula del volumen de la esfera la descubrió a partir del método de exhaustión, relacionando las áreas de las secciones del cilindro, la semiesfera y el cono

Otros Geometras Espaciales Clásicos

Anaximando

Pitágoras

Arquitas

Menecmo

Eudoxio

Relojes de Sol

Esfera

Delos

Cónicas

Pirámide y Cono

El mayor volumen con la misma superficie

Geometría del Espacio proyectiva

El cubo con el doble volumen de otro a través de cono, cilindro y superficie

Primeros esbozos de las secciones cónicas

Demostración de los volúmenes

(Fernández-Nieto, 2018)

Puntos Importantes de la Geometría del Espacio Clásica

04

Geometría del Espacio Contemporánea

Siglos III a. C. - XIX d. C.

El espacio, su geometría y sus representaciones según los geometras euclidianos

• Según información recopilada de Fernández-Nieto (2018):
• Alhazen (987 - 1038) determinó el paraboloide de revolución
• Johann Müiier (1436 - 1476) comentó las "Cónicas" de Apolonio
• Alberto Durero (1471 - 1525) dio normas para construir y representar sólidos
• Johann Kepler (1571 - 1630) fue el sucesor de la astronomía iniciada originalmente por los babilónico, escribiendo leyes sobre orbitas y sobre eclipses
• Paul Guldin (1577 - 1643) propuso un teorema para los sólidos de revolución con eje externo a la superficie generadora
• Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) calculó volúmenes por medio de la suma de indivisibles
• Pierre de Fermat (1601 - 1665) completó el trabajo de Arquímedes

¿Ejemplos de Cuerpos Geométricos Euclidianos?

05

Geometrías del Espacio No Euclidianas

Cuerpos de Doble Curvatura

Lobachevsky y el Plano Hiperboloide como Espacio Hiperbólico

• Un espacio generado a partir de la rotación del área entre dos hipérbolas alrededor el eje imaginario
• El espacio generado es cóncavo y permite la generación de infinitas paralelas que pasan por un mismo punto
• Es un espacio que favorece la explicación de la Teoría de la Relatividad

Riemann: Los Espacios Elípticos

• Espacio generado a partir de la revolución de una elipse por su eje focal, generando un elipsoide
• Es un espacio convexo en el que no existen las paralelas
• Explica el comportamiento de la Gravedad

La Esfera: La Particularización de la Geometría Elíptica a un Caso Perfecto

• La perfección de la elipse, una circunferencia, rotada sobre un eje diametral, generando un elipsoide perfecto, la esfera
• Genera nuevas subramas, como la trigonometría esférica
• Ayuda a explicar el comportamiento de los cuerpos celestes

¿La Realidad es Euclidiana o No Euclidiana?

06

Geometría del Espacio y sus proyecciones

Klein y el Proyecto Erlangen

Geometría Proyectiva: La Geometría Euclidiana como la Interpretación del 3D en el 2D

• Según Klein, las diferentes geometrías son casos particulares de la realidad estudiada bajo sistemas específicos de axiomas
• Gracias a la geometría proyectiva, las geometrías no euclidianas, proyectadas en un plano, pueden dar origen a la euclidiana

¿La Realidad es dependiente de otra Dimensión Superior?

07

Geometría del Espacio y sus Aplicaciones

Actualidad

Aplicaciones Notables

Topología

Sólidos de Revolución

Arquitectura

Actividad Ejemplos Reales de la Geometría del Espacio

1. En equipos, realizar una investigación rápida acerca de la obra arquitectónica asignada (Pirámide de Kukulkán, Burj Khalifa, Capilla Palmira de Félix Candela, Palau Güell, Arco Gateway, Biblioteca de Seattle).
2. Responder a las siguientes preguntas:
1. ¿Qué formas y cuerpos posee la forma?
2. ¿Es un cuerpo de geometría espacial euclidiana o no euclidiana?
3. ¿Por qué creen que los arquitectos tomaron esa decisión al diseñar los edificios?
4. Después de su investigación, ¿qué conocimientos de geometría espacial podrían usarse para la vida cotidiana además de los expuestos?
3. Compartir sus conclusiones con el grupo.

Obras Arquitectónicas

Capilla Palmira de Félix Candela

Burj Khalifa

Pirámide de Kukulkán

Obras Arquitectónicas

Biblioteca de Seattle

Arco Gateway

Palau Güell

Referencias

• Boza, J. B. (1995). Lobachevski: Descubridor de la geometría hiperbólica. Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones, 2(1), 27-37.
• Cortés, R. (2012). Historia de la geometría euclidiana y sus aplicaciones para la enseñanza [trabajo final de grado].
• Fernández-Nieto, E. L. (2018). La geometría para la vida y su enseñanza. Aibi revista de investigación, administración e ingeniería, 6(1), 33-61. https://doi.org/10.15649/2346030X.475
• Martín, J. C. & González, J. L. (2020). Elementos del análisis histórico de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Algunas consecuencias didácticas. Matemáticas, Educación y Sociedad, 3(1), 12–21. https://journals.uco.es/mes/article/view/12686/11610
• Perdomo, O. M. (2008). Sobre el nacimiento de la geometría riemanniana. Revista Tumbaga, (3), 157-173.
• Rodríguez, E. (2005). Geometría del Espacio.