investigacion e integracion
INTGEGRANTES DURAN DOMINGUEZ CRLOS MARTINEZ BALLADAREZ MELINA MERCADO MARISCAL WENDY 3BMCT
GEOMETRIA ANALITICA
Índice
1. PARABOLA
2. ELIPCE
3. HIPERBOLA
4. CIRCUNFERENCIA
PARABOLA
una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco) y de una recta fija (denominada directriz).
Por lo tanto, cualquier punto de una parábola esta a la misma distancia de su foco y de su directriz.
Elementos de una parábola
Las características de una parábola dependen de los siguientes elementos:
Vértice (V): es el punto de intersección entre la parábola y su eje. Distancia focal: es la distancia entre el foco y el vértice, o entre la directriz y el vértice. Su valor siempre es igual
Foco (F): es un punto fijo del interior de la parábola. La distancia de cualquier punto de la parábola al foco es igual a la distancia de ese mismo punto a la directriz de la parábola.
Directriz (D): es una recta fija externa a la parábola. Un punto de la parábola tiene la misma distancia a la directriz que al foco de la parábola.
Parámetro (p): es la distancia desde el foco hasta la directriz.
Radio vector (R): es el segmento que une un punto de la parábola con el foco. Su valor coincide con la distancia del punto hasta la directriz.
Eje (E): es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y es el eje de simetría de la parábola, en la gráfica de abajo corresponde al eje de las ordenadas (eje Y). También se dice eje focal.
ELEMTOS
LADO RECTO
El lado recto de una parábola es la cuerda comprendida dentro de la parábola que pasa por el foco y es paralela a la directriz.
Asimismo, se puede demostrar que la longitud del lado recto siempre es el doble del valor del parámetro
Por otro lado, las dos rectas tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto forman un ángulo de 45º con el propio lado recto y, además, se cortan en el vértice de la parábola.
ECUACIONES DE LA PARABOLA
La ecuación de una parábola es un tipo de función cuadrática porque siempre debe de tener com mínimo 1 término elevado al cuadrado. Además, la ecuación de una parábola depende de si esta está orientada horizontalmente o verticalmente.
Así pues, en geometría analítica existen varias maneras de expresar matemáticamente una parábola: la ecuación canónica o reducida, la ecuación ordinaria y la ecuación general de la parábola
Lo que diferencia la ecuación reducida o canónica de las otras ecuaciones parabólicas, es que el vértice de la parábola es el origen de coordenadas, es decir, el punto (0,0) .
La forma de la ecuación reducida de la parábola depende de si esta es horizontal o vertical. Fíjate en la siguiente representación gráfica donde se muestran las 4 posibles variantes:
Donde (P) es el parámetro característico de la parábola. Como ves en la imagen anterior, cuando la variable x está elevada al cuadrado la parábola es vertical, en cambio, cuando la variable y está elevada al cuadrado la parábola es horizontal. Por otra parte, el sentido de las ramas de la parábola depende del signo de la ecuación.
ECUACION ORDINARIA
FORMULA
la ecuación de la parábola cuando su vértice o centro corresponde al origen de coordenadas (la ecuación reducida o canónica), pero ¿cuál es la ecuación de la parábola si el vértice está fuera del origen?
Cuando el vértice de la parábola es un punto cualquiera utilizamos la ecuación ordinaria de la parábola, cuya expresión es:
Ecuación general de la parábola
Hasta ahora todas las ecuaciones de las parábolas que hemos analizado sirven para expresar parábolas horizontales o verticales. Pero, evidentemente, una parábola también puede ser oblicua o inclinada.
Pues para expresar este tipo de parábolas se usa la ecuación general de la parábola, cuya fórmula es la siguiente:
FORMULA
EJERCICIOS
Calcula el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es la siguiente:
El término cuadrático de la ecuación es la variable y osea que el eje de la parábola será paralelo al eje OX y, de hecho, como su vértice es el punto (0,0), el eje de la parábola será el propio eje OX. Entonces, el foco de una parábola siempre está situado en el eje de la parábola y a una distancia de p/2 del vértice de la parábola, con lo que sus coordenadas son:
ELIPSE
Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano
oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
1 Una elipse que gira
alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal
genera un esferoide alargado
Focos: son los puntos fijos F i F’ (puntos de color lila en la imagen de abajo). La suma de las distancias desde un punto cualquiera de la elipse hasta cada foco es constante para todos los puntos de la elipse.
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
Eje principal o focal: es el eje de simetría de la elipse en el que se encuentran los focos. También se denomina eje mayor
Eje secundario: es el eje de simetría de la elipse perpendicular al eje principal. También se dice eje menor y corresponde a la mediatriz del segmento que une los focos.
Centro: es el punto donde se cortan los ejes de la elipse. Además, es el centro de simetría de la elipse (punto de color naranja en el gráfico).
Vértices: puntos de intersección de la elipse con sus ejes de simetría (puntos de color negro).
Ejemplo de cómo calcular la ecuación de la elipse
Halla la ecuación de la elipse cuyo semieje principal mide 5 unidades (y es paralelo al eje OX), su centro es el punto C(4,-1) y la distancia desde su centro hasta un foco es de 4 unidades.
Así pues, para calcular cuánto mide el semieje secundario, podemos usar la relación entre el semieje principal, el semieje secundario y la semidistancia focal:
VS
Para determinar la ecuación de cualquier elipse necesitamos la longitud del semieje principal, la longitud del semieje secundario y las coordenadas de su punto. Por tanto, en este caso solo nos falta por conocer el semieje secundario.
FORMULA
HIPERBOLA
Una hipérbola es también un lugar geométrico. Definición: Dados dos puntos fijos F y F', llamados focos y una constante que llamaremos 2a, se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancia (en valor absoluto) a los dos puntos fijos (F y F') es constante (2a)
HIPERBOLA
FORMULA
CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es una figura geométrica plana y cerrada en la que todos los puntos de su borde están equidistantes de un punto central. Este punto central es el centro de la circunferencia, y la distancia constante entre el centro y cualquier punto de la circunferencia es el radio. En resumen, la circunferencia es la curva resultante al trazar todos los puntos que tienen la misma distancia desde un centro dado.
FORMULA
Dado un círculo en el plano coordenado, obtenemos su ecuación estándar, que es una ecuación de la forma (x-a)²+(y-b)²=r².
PROCEDIMIENTO
donde la distancia se llama radio. Así, tenemos la siguiente
Consideramos los siguientes cambios:
Elevando al cuadrado la ecuación anterior, obtenemos:
Por tanto, la ecuación de la circunferencia se puede escribir de la siguiente manera:
La ecuación anterior se conoce como ecuación ordinaria de la circunferencia. Para obtener la ecuación general debemos desarrollar los binomios al cuadrado:
la cual se conoce como la ecuación general de la circunferencia. Aquí, el centro está dado por:
Luego reagrupamos los términos de la siguiente manera:
y el radio satisface que:
1 Se cumple la siguiente desigualdad
Es importante notar que la ecuación
2 No hay ningún término en XY (es decir, y no se multiplican).
¿Tienes una idea?
¡Que fluya la comunicación!
Con las plantillas de Genially podrás incluir recursos visuales para dejar a tu audiencia con la boca abierta. También destacar alguna frase o dato concreto que se quede grabado a fuego en la memoria de tu público e incluso embeber contenido externo que sorprenda: vídeos, fotos, audios... ¡Lo que tú quieras! ¿Necesitas más motivos para crear contenidos dinámicos? Bien: el 90% de la información que asimilamos nos llega a través de la vista y, además, retenemos un 42% más de información cuando el contenido se mueve.
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PRESENTACIÓN PIZARRA MAGNÉTICA
DURAN DOMINGUEZ CARLOS
Created on December 1, 2023
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investigacion e integracion
INTGEGRANTES DURAN DOMINGUEZ CRLOS MARTINEZ BALLADAREZ MELINA MERCADO MARISCAL WENDY 3BMCT
GEOMETRIA ANALITICA
Índice
1. PARABOLA
2. ELIPCE
3. HIPERBOLA
4. CIRCUNFERENCIA
PARABOLA
una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco) y de una recta fija (denominada directriz).
Por lo tanto, cualquier punto de una parábola esta a la misma distancia de su foco y de su directriz.
Elementos de una parábola
Las características de una parábola dependen de los siguientes elementos:
Vértice (V): es el punto de intersección entre la parábola y su eje. Distancia focal: es la distancia entre el foco y el vértice, o entre la directriz y el vértice. Su valor siempre es igual
Foco (F): es un punto fijo del interior de la parábola. La distancia de cualquier punto de la parábola al foco es igual a la distancia de ese mismo punto a la directriz de la parábola.
Directriz (D): es una recta fija externa a la parábola. Un punto de la parábola tiene la misma distancia a la directriz que al foco de la parábola.
Parámetro (p): es la distancia desde el foco hasta la directriz.
Radio vector (R): es el segmento que une un punto de la parábola con el foco. Su valor coincide con la distancia del punto hasta la directriz.
Eje (E): es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y es el eje de simetría de la parábola, en la gráfica de abajo corresponde al eje de las ordenadas (eje Y). También se dice eje focal.
ELEMTOS
LADO RECTO
El lado recto de una parábola es la cuerda comprendida dentro de la parábola que pasa por el foco y es paralela a la directriz.
Asimismo, se puede demostrar que la longitud del lado recto siempre es el doble del valor del parámetro
Por otro lado, las dos rectas tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto forman un ángulo de 45º con el propio lado recto y, además, se cortan en el vértice de la parábola.
ECUACIONES DE LA PARABOLA
La ecuación de una parábola es un tipo de función cuadrática porque siempre debe de tener com mínimo 1 término elevado al cuadrado. Además, la ecuación de una parábola depende de si esta está orientada horizontalmente o verticalmente. Así pues, en geometría analítica existen varias maneras de expresar matemáticamente una parábola: la ecuación canónica o reducida, la ecuación ordinaria y la ecuación general de la parábola
Lo que diferencia la ecuación reducida o canónica de las otras ecuaciones parabólicas, es que el vértice de la parábola es el origen de coordenadas, es decir, el punto (0,0) . La forma de la ecuación reducida de la parábola depende de si esta es horizontal o vertical. Fíjate en la siguiente representación gráfica donde se muestran las 4 posibles variantes:
Donde (P) es el parámetro característico de la parábola. Como ves en la imagen anterior, cuando la variable x está elevada al cuadrado la parábola es vertical, en cambio, cuando la variable y está elevada al cuadrado la parábola es horizontal. Por otra parte, el sentido de las ramas de la parábola depende del signo de la ecuación.
ECUACION ORDINARIA
FORMULA
la ecuación de la parábola cuando su vértice o centro corresponde al origen de coordenadas (la ecuación reducida o canónica), pero ¿cuál es la ecuación de la parábola si el vértice está fuera del origen?
Cuando el vértice de la parábola es un punto cualquiera utilizamos la ecuación ordinaria de la parábola, cuya expresión es:
Ecuación general de la parábola
Hasta ahora todas las ecuaciones de las parábolas que hemos analizado sirven para expresar parábolas horizontales o verticales. Pero, evidentemente, una parábola también puede ser oblicua o inclinada. Pues para expresar este tipo de parábolas se usa la ecuación general de la parábola, cuya fórmula es la siguiente:
FORMULA
EJERCICIOS
Calcula el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es la siguiente:
El término cuadrático de la ecuación es la variable y osea que el eje de la parábola será paralelo al eje OX y, de hecho, como su vértice es el punto (0,0), el eje de la parábola será el propio eje OX. Entonces, el foco de una parábola siempre está situado en el eje de la parábola y a una distancia de p/2 del vértice de la parábola, con lo que sus coordenadas son:
ELIPSE
Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. 1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado
Focos: son los puntos fijos F i F’ (puntos de color lila en la imagen de abajo). La suma de las distancias desde un punto cualquiera de la elipse hasta cada foco es constante para todos los puntos de la elipse.
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
Eje principal o focal: es el eje de simetría de la elipse en el que se encuentran los focos. También se denomina eje mayor
Eje secundario: es el eje de simetría de la elipse perpendicular al eje principal. También se dice eje menor y corresponde a la mediatriz del segmento que une los focos.
Centro: es el punto donde se cortan los ejes de la elipse. Además, es el centro de simetría de la elipse (punto de color naranja en el gráfico).
Vértices: puntos de intersección de la elipse con sus ejes de simetría (puntos de color negro).
Ejemplo de cómo calcular la ecuación de la elipse
Halla la ecuación de la elipse cuyo semieje principal mide 5 unidades (y es paralelo al eje OX), su centro es el punto C(4,-1) y la distancia desde su centro hasta un foco es de 4 unidades.
Así pues, para calcular cuánto mide el semieje secundario, podemos usar la relación entre el semieje principal, el semieje secundario y la semidistancia focal:
VS
Para determinar la ecuación de cualquier elipse necesitamos la longitud del semieje principal, la longitud del semieje secundario y las coordenadas de su punto. Por tanto, en este caso solo nos falta por conocer el semieje secundario.
FORMULA
HIPERBOLA
Una hipérbola es también un lugar geométrico. Definición: Dados dos puntos fijos F y F', llamados focos y una constante que llamaremos 2a, se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancia (en valor absoluto) a los dos puntos fijos (F y F') es constante (2a)
HIPERBOLA
FORMULA
CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es una figura geométrica plana y cerrada en la que todos los puntos de su borde están equidistantes de un punto central. Este punto central es el centro de la circunferencia, y la distancia constante entre el centro y cualquier punto de la circunferencia es el radio. En resumen, la circunferencia es la curva resultante al trazar todos los puntos que tienen la misma distancia desde un centro dado.
FORMULA
Dado un círculo en el plano coordenado, obtenemos su ecuación estándar, que es una ecuación de la forma (x-a)²+(y-b)²=r².
PROCEDIMIENTO
donde la distancia se llama radio. Así, tenemos la siguiente
Consideramos los siguientes cambios:
Elevando al cuadrado la ecuación anterior, obtenemos:
Por tanto, la ecuación de la circunferencia se puede escribir de la siguiente manera:
La ecuación anterior se conoce como ecuación ordinaria de la circunferencia. Para obtener la ecuación general debemos desarrollar los binomios al cuadrado:
la cual se conoce como la ecuación general de la circunferencia. Aquí, el centro está dado por:
Luego reagrupamos los términos de la siguiente manera:
y el radio satisface que:
1 Se cumple la siguiente desigualdad
Es importante notar que la ecuación
2 No hay ningún término en XY (es decir, y no se multiplican).
¿Tienes una idea?
¡Que fluya la comunicación!
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