SECCIONES CONICAS

SECCIONES CONICAS

Se denomina sección cónica a la curva de intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad y la inclinación del plano, respecto al eje del cono generan diferentes secciones cónicas.

Los 4 tipos de secciones conicas:

CIRCUFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

ECUACIÓNES DE LA CIRCUNFERENCIA

CIRCUFERENCIA

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

RADIO: Es un secmento de recta que une al centro a cualquier punto de la circuferencia.CUERDA:Es un segmento de recta que une dos puntos de la circuferencia. DIAMETRO:Es un segmento de recta que uno dos puntos de la circuferencia y pasa por el centro. ARCO:Parete de la circuferencia que une dos puntos de la misma SECANTE:Recta que intercesta a dos puntos de la circuferencia TANGENTE:Recta que toca un punto de la circuferencia.

CIRCUFERENCIA

ECUACIÓNES DE LA CIRCUNFERENCIA

Ecuación ordinaria (x-h)²+(y-k)²=r²Ecuación general x²+y²+Dx+Ey+F=0 Ecuacion con centro en el origen x²+ y²=r²

CIRCUFERENCIA

EJEMPLO DE LA ECUACIÓNE ORDINARIA

Determina la ecuación de la circunferencia con centro(3,4) y radio 2. Sustituimos los datos en la ecuación ordinaria de la circunferencia: (x-h)²+(y-k)²=r² donde: C(h,k)son las coordenadas del centro y r es el radio. (x-3)²+(y-4)²=2² (x-3)²+(y-4)²=4² =>ECU.ORDINARIA x²-6x+9+y²-8y+16=4 x²+y²-6x-8y+21=0 =>ECU.GENERAL

CIRCUFERENCIA

EJEMPLO DE LA ECUACIÓN GENERAL

Determina el radio y el centro la siguiente ecuación de la circunferencia x²+y²-8x+8y-23. Lo vamos a convertir la ecuación general en su forma ordinaria (x-h)²+(y-k)²=r² x²+y²-8x+8y-23 x²+y²+Dx+Ey+F=0 -2h= D=-8-2= 4 -2h= E =8-2= -4 h²-k²+F=r² (4)²-(-4)²-23=r² 16+16-23=r² 9=r 3=r

CIRCUFERENCIA

EJEMPLO DE LA ECUACIÓN CON CENTRO EN EL ORIGEN

Determina la ecuacion de la circunferencia con centro en el oreigen y radio=9 x²+y²=r² Hay que tener en cuenta que C=0,0 x²+y²=r² x²+y²=9² x²+y²=81

ELIPSE

Una elipse es una curva plana, simple y cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

ECUACIONES DE LA ELIPSE

ELEMENTOS DE LA ELIPSE

ELIPSE

ELEMENTOS DE LA ELIPSE

CENTRO:Punto medio de los focos, de los vértices o de los puntos B . De la misma manera, es el punto medio del eje mayor, menor o focal.VERTICES:Al sustituir en la ecuación de la elipse y=0, obtenemos que x=±a. Los puntos V y V′se llaman vértices de la elipse, cuyas coordenadas son V(−a,0) y V′ (a,0). FOCOS:Son los puntos fijos que menciona la definición de elipse como lugar geométrico, sus coordenadas son: F(−c,0) y F′(c,0). PUNTOS B: al sustituir en la ecuación de la elipse x=0, obtenemos que y=±b. Los puntosB se definen como aquellos cuyas coordenadas son B(0,b) y B′(0,−b). EEJES PRINCIPALES:Los segmentos VV′ y BB′se llaman ejes principales de la curva, los que a su vez son los ejes de simetría. EJES EXTREMOS: Eje mayor, eje focal o diámetro mayor: es el segmento cuyos extremos son los vértices. Su longitud equivale a 2a. Eje menor, eje no focal o diámetro menor: es el segmento cuyos extremos son los puntos B. Su longitud equivale a 2b. DISTANCIA FOCAL:Es la distancia entre los dos focos, su longitud equivale a 2c. LADO RECTO:Es la cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje mayor.

ELIPSE

ECUACIONES DE LA ELIPSE

ECUACION CON CENTRO AFUREA DEL ORIGEN HORIZONTAL (x−h)²/a²+ (y−k)²/b²=1 ECUACION CON CENTRO AFUREA DEL ORIGEN VERTICAL (x−h)²/b²+ (y−k)²/a²=1 ECUACION CON CENTRO EN EL OREIGEN HORIZONTAL x²/a²+y²/b²=1 ECUACION CON CENTRO EN EL OREIGEN VERTOCAL x²/b²+y²/a²=1 ECUACION GENERAL Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0

ELIPSE

EJEMPLO DE LA ECUACIONES CON CENTRO AFUREA DEL ORIGEN

Si es que una elipse tiene los vértices en (−1,−9) y (−1,3) y los focos en (−1,−8) y (−1,2), ¿cuál es su ecuación? Determinamos que el eje mayor es paralelo al eje y, ya que las coordenadas en x de los vértices y los focos son iguales. Entonces, usamos la ecuación: (x−h)²/b²+ (y−k)²/a²=1. El centro está ubicado entre los vértices (−1,−9) y (−1,3). Entonces, usamos la fórmula del punto medio para encontrarlo: (h,k)=(−1+(−1)/2,+ −9+3/2) =(−1,−3) Para encontrar a², determinamos la longitud del eje mayor, 2a. Esta longitud va desde un vértice hasta el otro. Entonces, la distancia entre los vértices es: 2a=3−(−9) 2a=12 a=6 Eso significa que tenemos a²=36. Para encontrar c², usamos las coordenadas de una elipse vertical, (h,k±c). Entonces, tenemos (h,k−c)=(−1,−8) y (h,k+c)=(−1,2). Si es que usamos k=−3 en uno de los puntos, tenemos: k+c=2 −3+c=2 c=5 Eso significa que c²=25. Determinamos el valor b²de usando la ecuación c²= a²-b² c²= a²-b² 25=36−b² b²=11 Reemplazando todos estos valores en la forma estándar, tenemos: (x+1)²/11+ (y+3)²/36=1

ELIPSE

EJEMPLO DE LA ECUACIONES CON CENTRO EN EL ORIGEN

¿Cuál es la ecuación de la elipse que tiene vértices en (±7,0) y focos en (±4,0)? Vemos que los focos están ubicados en el eje x. Esto significa que el eje mayor se encuentra en el eje x, por lo que tenemos la ecuación: x²/a²+y²/b²=1 De los vértices (±7,0), tenemos a=7.Entonces, sabemos que a²=64. De los focos(±4,0), tenemos c=4. Entonces, sabemos que c²=16. Encontramos el valor de b² usando la ecuación c²= a²-b² c²= a²−b² 16=64−b² b²=48 Usando los valores encontrados en la forma estándar, tenemos: x²/64+ y²/48=1

ELIPSE

EJEMPLO DE LA ECUACION GENERAL

Una elipse tiene la siguiente ecuacion ordinaria 4x²+16y²-24x-224y+756=0Al agrupar los terminos acuerdo a su variable y despejando F, obtenemos: 4x²-24x+16y²-224y=-756 Se factoriza y se completa cuadrados: 4(x²-6x+9-9)+16(y²-14y+49-49)=-756 Al factorizar los trinomios cuadrados perfectos y al simplificar, se tiene: 4(x-3)²+16(y-7)²=224+36+784 Se divide la ecuacion con el termino de la derecha: 4(x-3)²/64+16(y-7)²/64=64/64 La ecuacion ordinaria de la elipse es : (x-3)²/16+(y-7)²/4=1 Elipse horizontal: C(3,7), a=4, b=2, y c=3.46.

PARÁBOLA

La Parábola es una curva abierta formada por dos líneas simétricas respecto de un eje y en que todos suspuntos están a la misma distancia del foco (punto fijo) y de la directriz (recta perpendicular al eje).

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA

ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA

PARÁBOLA

ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA

FOCO:Es el punto fijo. Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje. EJE DE SIMETRIA(focal):Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. DIRECTRIZ: Es la recta fija perpendicular al eje de simetría(focal). PARAMETRO: Es la distancia del foco a la dirtectriz. LADO RECTO:Es el segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz

PARÁBOLA

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA

Ecuacion ordinaria De manera vertical: (x-x0)²=2p(y-y0)² De manera horizontal: (y-y0)²=2p(x-x0)² Ecuacion con centro en el oregen en el origenSi abre hacia arriba es: x²=2py Si abre hacia abajo es: x²=-2py Si abre hacia la derecha es:y²=2py Si abre hacia la izquierda es: y²=-2py Ecuacion general Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

PARÁBOLA

EJEMPLO DE LA ECUACION CON CENTRO EN EL ORIGEN

Dada la siguiente parábola: y²=8x La ecuación corresponde con la ecuación reducida de la parábola de eje horizontal, luego el vértice está en el origen de coordenadas: V(0,0) De la ecuación de la parábola:y²=2py podemos obtener el valor de p: 2p=8->p=4 Las coordenadas del foco se obtienen sumando p/2 a la coordenada x del vértice, manteniendo igual la coordenada y: F(h+p/2,k) Cuando el vértice está en el (0,0), las coordenadas del foco son: F(p/2,0) sí que en nuestro caso, el foco tiene las siguientes coordenadas: F(2,0) Por último, la ecuación de la directriz de una parábola de eje horizontal se obtiene restando p/2 a la coordenada x del vértice: x=-p/2+h Cuando el vértice está en el (0,0) la directriz tiene la siguiente ecuación: x=-p/2 En nuestro caso, la ecuación de la directriz es: x=-2

HIPÉRBOLA

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano,tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos,siempre es constante.

ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA

ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA

HIPÉRBOLA

ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA

CENTRO:es el punto central de la hipérbola, es donde se intersecan los ejes conjugado y transverso. FOCOS:Son dos puntos localizados sobre el eje de la hipérbola (que será la recta infinita que contiene al centro a los vértices y a los focos), su localización no es arbitraria. EJE TRANSVERSO:Es el segmento de recta que une a los vértices de la hipérbola y su longitud equivale a la longitud del segmento V1V2 esto es 2a. EJE CONJUGADO:Es el segmento de recta perpendicular al eje transverso. Corta a éste en el centro y su longitud es igual a 2b. VERTICES:Puntos extremos del eje transverso y a la mitad de su distancia se localiza el centro de la hipérbola.

HIPÉRBOLA

ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA

Ecuación canónica (x−x0)²/a²- (y−y0)²/b²=1 Reduciada en forma horizontal x²/a²- y²/b²=1 Reduciada en forma vertical y²/a²- a²/b²=1 Ecuación general Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

HIPÉRBOLA

EJEMPLO DE LA ECUACION CANONICA

¿Cuál es la ecuación de la hipérbola con centro en el punto (-1,3), una longitud del semieje real de 3 unidades y una longitud del semieje imaginario (paralelo al eje Y) de 7 unidades? Para hallar la ecuación de la hipérbola simplemente tenemos que aplicar la fórmula de la ecuación ordinaria de la hipérbola: (x−x0)²/a²- (y−y0)²/b²=1 Sustituimos las coordenadas del centro de la hipérbola en la ecuación: (x−(-1))²/a²- (y−3)²/b²=1 (x+1)²/a²- (y−3)²/b²=1 Y, finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas a y b: (x+1)²/3²- (y−3)²/7²=1 (x+1)²/9- (y−3)²/49=1

HIPÉRBOLA

EJEMPLO DE LA ECUACION GENERAL

Coloca la siguiente hipérbola en forma canónica: 9x²-4y²+36x-8y-4=0 Solución: 9(x²+4x)-4(y²+2y)=4 9(x²+4x+4)-4(y²+2y+1)=4+36-4 9(x+2)²-4(y+1)²=36 (x+2)²/4-(y+1)²/9=1