GEOMETRIA

Elipse

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ÍNDICE

1-¿QUÉ ES LA ELIPSE?

5-FORMA CASTESIANA CENTRADA FUERA DEL ORIGEN

2-ELEMENTOS DE LA ELIPSE

6- ELIPSE COMO CANONICA

3-CARACTERISTICAS

7- ELIPSE COMO HIPOTROCOIDE

4-FORMA CARTESIANA CENTRADA EN EL ORIGEN

8- EJEMPLOS

¿QUÉ ES LA ELIPSE?

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, siempre es constante. A esta longitud constante se le denomina eje mayo que puede ser paralelo al eje “x”, paralelo al eje “y” o bien oblicuo.

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ELEMENTOS DE LA ELIPSE

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QUE ES LA VERTICE DE LA ELIPCE?

La vertice de una elipse es uno de los puntos donde la elipse hace su giro mas agudo. Hay dos vertices en el eje mayor, que es la linea pasa por los focos, y dos vertices en el eje menor, que es la linea perpendicular al eje mayor que pasa por el centro

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QUE ES EL FOCO DE LA ELIPCE?

El foco de una elipse es uno de los puntos fijos que se eencuentran en el eje mayor de la elipse, que es el segmento mas lrgo que la divide en dos partes iguales. La elipse tiene la propidad de que la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los dos focos es constante, y es iguasal a la longitud del eje mayor. La elipse se forma cuando se corta un plano usando un cono, y el foco ess el punto donde se insectan los rayos de luz refrectados por el cono.

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QUE ES EL EJE MAYOR?

El eje mayor de una elipse es el segmento de recta que une los dos puntos mas alejados de la curva, llamados vertices. Tambien pasa por el centro y los focos de la elipse. La longitud del eje mayor es igual a la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos

QUE ES EL EJE MENOR?

El eje menor de una elipse es el segmento de recta que une los dos puntos mas cercanos de la curva, llamados covertices. Tambien es perpendicular al eje mayor y pasa por el centro de la elipse. La longitud del eje menor es igual a dos veces el semieje menor, que es la distancia desde el centro hasta un covertice

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QUE ES EL CENTRO EN LA ELIPSE?

El centro de la elipse es el punto de interseccion de los ejes mayor y menor. Es tambien el punto medio entre los dos focos o entre los vertices. El centro es un punto de simetria de la elipse

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QUE ES EL COVERTICE de la elipse?

El covertice de una elipse es el punto extremo del eje menor o el diametro menor de la elipse. Los vertices son los puntos de intersecccion de la elipse con el eje mayor. En otras palabras, los vertices estan a lo largo del eje principal o la mayor diametro de la elipse, mientras que los covertices estan a lo largo del eje manor o el diametro menor de la elipse.

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caracteristicas de la elipse

Las caracteristicas principales de una elipse son:

• La elipse tiene dos puntos focales, llamados focos.

• La excentricidad de la elipse se encuentra entre 0 y 1.

• La suma total de cada distancia dessde un punto de la elipse a los fod focos constantes

• La intersecccion del eje mayor y el eje menor es el centro de la elipse.

• Un circulo ees un caso especial de una elipse, el cual tiene ambos focos en el centro

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Forma cartesiana centrada en el origen

La forma cartesiana centrada en el origen de la elipse es una manera de representar matematicamente a esta figura geometrica en un sistema de coordenadas cartesianas. En el sistema de coordenadas, la elipse puede estar centrada en el orgien, es decir, el punto (0,0). La ecuacion cartesiana en el origen es de la forma:

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Forma cartesiana centrada en el origen

. La ecuacion cartesiana en el origen es de la forma: Donde "a"y "b" son las longitudes de los semiejes mayor y menor de la elipse respectivamente. La distancia entre el centro de la elipse y el foco es "c".

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Forma cartesiana centrada en el origen

Esta forma cartesiana nos permite visualizar facilmente la elipse en un sistema de coordenadas, ya que podemos identificar el punto de interseccion con los ejes, los focos y los semiejes de la elipse de manera sencilla. Ademas, al conocer las longitudes de los semiejes, podemos calcular el area y la excentricidad de la elipse. La ecuacion cartesiana de la elipse centrada en el origen tambien nos permite realizar transfomaciones lineales para trasladar y rotar la elipse en el plano cartesian. Estas transformacines nos permiten estudiar el comportamienrto de la elipse en diferentes posiciones y oerirentaciones, lo cual es de gran urtilidad en aplicaciones practicas.

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forma cartesiana centrada en el origen

En conclusion, la forma cartesiana centrada en el origen de la elipse es una herramienta matemarica importante qe nos permite representar y estudiar esta figura geometrica de manera eficiente en un sistema de coordenadas cartesianas. Gracias a esta forma cartesiana podemos comprender mejor las propiedades y comportamiento de la elipse, lo cual es de gran impoetancia en campos com la geometria, la fisica, la ingeneria y otras disciplinas cientificasima

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Forma cartesiana centrada fuera del origen

Los elipses son formadas por el conjunto de todos los puntos, los cuales tienen distancias desde dos puntos fijos que al ser sumadas es igual a un valor constante. Los puntos fijos son denominados los focos de la elipse. Las elipses tienen dos ejes de simetrias. El eje mayor y el eje con la menor longitud es denominado el eje menor.Los vertices de la elipse son los puntos finales del eje mayor y los covertices son los puntos finales del eje menor. El centro de una elipse es el punto de interseccion del eje mayor y el eje menor. Los focos siempre estan ubicados en el eje mayor

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forma cartesiana centrada fuera del origen

Muchas veces, las elipses no estan centradas en el origen, por lo que no podemos usar las ecucaciones mas basicas que usamos cuando si tenemos un centro en el origen. Sin embargo, similar a otras graficas, las graficas de las elipses pueden ser trasladadas horizontalmente y verticalmente. Si es que una elipse es trasladada h unidades horizontalmente y k unidades verticalmente, su centro estara en (h,k). Podemos usar esta traslacion en la ecuacion estandar de una elipse reemplazo a x con (x − h) y a y con (y − k). Ademas de tener elipses centradas en el origen , tambien tenemos elipses que tienen una orientacion vertical u horizontal.

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ecuacion de la elipse horizontal centrada fuera del origen

La forma estándar de una elipse con centro en (h, k), y con el eje mayor paralelo al eje x es: (x - h)2 (y - h)2 ——— + ——— = 1 a2 b2 en donde, el eje mayor mide 2a, el eje menor mide 2b, las vertices estan ubicadas en (h, + a,k), los covertices estan ubicados en (h,k + b), los focos estan ubicados en (h + c,k) en donde c2 = a2 − b2.

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ecuacion de la elipse vertical centrada fuera del origen

La ecuación de una elipse en su forma estándar que tiene al centro en (h, k), y en la que su eje mayor es paralelo al eje y es: (x - h)2 (y - h)2 ——— + ——— = 1 a2 b2 La longitud del eje mayor es 2a, la longitud del eje menor es 2b, los vértices están ubicados en (h,k±a) , los covértices están ubicados en (h±b,k), los focos están ubicados en (h, k ± c) (h,k±c) en donde, c2 = a2 − b2

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Elipse como canónica

Una elipse es una curva cerrada y plana que se forma al cortar un cono por un plano oblicuo. La elipse tiene dos puntos fijos llamados focos, y la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante. La ecuación canónica de una elipse es una forma de expresar esta relación matemática usando las coordenadas cartesianas de los puntos de la elipse. La ecuación canónica de una elipse con centro en el origen y ejes paralelos a los ejes de coordenadas es: donde (a) y (b) son las longitudes de los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente. El valor de (a) es mayor o igual que el de (b), y la distancia entre los focos es (2c), donde c^2=a^2-b^2. La ecuación canónica de una elipse se puede generalizar para el caso en que el centro no está en el origen, sino en un punto (h,k), de la siguiente manera:

(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1.

((x-h)^2)/(a^2)+((y-k)^2)/(b^2)=1.

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su formula••

La forma de la elipse canónica es una curva plana que se obtiene al cortar un cono circular con un plano oblicuo al eje de simetría. La ecuación canónica de la elipse es: donde $(h,k)$ es el centro de la elipse, $a$ es la longitud del semieje mayor, $b$ es la longitud del semieje menor, y $c$ es la distancia focal, que se relaciona con $a$ y $b$ mediante la fórmula: c^2=a^2-b^2 Los focos de la elipse son los puntos $(h\pm c,k)$, y los vértices son los puntos $(h\pm a,k)$. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante e igual a (2a).

(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1.

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Elipse como hipotrocoide

Una elipse es una curva plana y cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución . La elipse es también el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante . La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r el radio de la circunferencia generatriz . Una hipotrocoide, en geometría, es la curva plana que describe un punto vinculado a una circunferencia generatriz que rueda dentro de una circunferencia directriz, tangencialmente, sin deslizamiento. Estas curvas fueron estudiadas por Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer en 1674 y Bernoulli en 1725

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su formula••

La fórmula de una elipse hipotrocoide depende de la posición del punto que traza la curva. Si el punto está en el centro de la circunferencia generatriz, la fórmula es: x = R cos(t) - r cos(Rt/r) y = R sin(t) - r sin(Rt/r) Si el punto está en el borde de la circunferencia generatriz, la fórmula es: x = (R - r) cos(t) + d cos((R - r)t/r) y = (R - r) sin(t) - d sin((R - r)t/r) Si el punto está fuera de la circunferencia generatriz, la fórmula : x = (R - r) cos(t) + d cos((R - r)t/r + φ) y= (R - r) sin(t) - d sin((R - r)t/r + φ) Donde: - R es el radio de la circunferencia directriz - r es el radio de la circunferencia generatriz - d es la distancia del punto al centro de la circunferencia generatriz - φ es el ángulo entre el radio vector y la horizontal

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EJEMPLOS••

Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

2.Eje menor Entonces el valor del semieje menor es

SOLUCIÓN :

3.Focos Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

1.Eje mayor La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

Y con éste, localizar los focos

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

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4.Excentricidad La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

5.Gráfica

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3.Eje menor Entonces el valor del semieje menor es

1.Obtener ecuación canónica

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

2.Eje mayor Obtenemos el valor del semieje mayor

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

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Gráfica

4.Focos Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

Y con éste, localizar los focos

5.Excentricidad La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

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GRACIAS!!

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