La circunferencia
Introduccion
La circunferencia
Es una figura geométrica que consiste en una línea curva cerrada y plana que se forma al unir todos los puntos equidistantes de un punto central llamado centro provocando que tomen una forma circular. Ademas esta figura es de gran importancia en la geometría y se utiliza en muchos campos de estudio, como la física, la ingeniería y la arquitectura.
donde se aplica
La circunferencia tiene numerosas aplicaciones prácticas en diferentes campos,Algunas de sus aplicaciones más comunes son:
En la geometría: La circunferencia es la base de muchos otros conceptos y teoremas geométricos, como las áreas y perímetros de figuras circulares y problemas de geometría analítica. En la física: Es esencial para el estudio de problemas relacionados con movimientos circulares y ondas. En la ingeniería: Es ampliamente utilizada en aplicaciones de diseño y construcción, como la medición de distancias y el trazado de ruedas, engranajes y otras estructuras circulares. En la medicina: se utiliza para medir diferentes parámetros físicos del cuerpo humano, como el diámetro de la cabeza o el cálculo del índice de masa corporal.
Por que es importante
Un ejemplo de lo importante que esto puede llegar a ser es cuando Eratostenes en el siglo lll aC, habia fijado la circunferencia terestre de 40,000km.Hoy en dia la tierra esta fijada en 40,008km. Es impresionante lo que hizo con un simple palo al esperar las sombras y contemplando las dos ciudades.Ademas de que podemos apreciar la aplicación del conocimiento matemático detrás de esta figura geométrica.
partes importantes
Para comprender todo esto,se necesita saber un par de conceptos clave tales como el Centro y el Radio:
RADIO cualquier segmento que une el centro a cualquier punto de dicha circunferencia.
CENTROEn matemática el centro es un punto notable que aparece en figuras geométricas y ciertos conjuntos.
RADIO
CENTRO
elementos Basicos
Click en cada recuadro para Informacion
Centro
Diametro
Radio
Arco
Cuerda
Secante
Tangente
Flecha
Ecuaciones de la circunferencia:formulas
FORMA CANONICACentro C (0,0) En el origen Radio (r) (x-0)² + (y-0)² = r² x²+y²=r² La utilizamos cuando el centro esta en el origen.
FORMA ORDINARIACentro C (h,k) Radio (r) (x-h)² + (y-k)² = r² Esta se deriva de la distancia ÷ 2 puntos. La utilizamos cuando el centro esta fuera del origen.
Dentro de la circunferencia hay distintas ecuaciones en las que se adaptan de acuerdo a su espacio.
FORMA GENERALEs cuando desarrollamos los binomios al cuadrado: (x-h)² + (y-k)² = r² x²- 2xh + h² + y² - 2yk² - r² = 0 Ordenamos los terminos: x² + y² - 2h(x) - 2x(y) + k² + h²- r² = 0 -------------------------------------------------------------------- x² + y²- Dx - Ey + F = 0 (Esta es la formula general)
Dato extra
Extremos del diametro
Para encontrar los extremos del diametro,necesitamos saber cual es su punta A y su punto B,ademas de usar la formula del punto medio la cual es:
Encontrar (radio y centro)
Para encontrar el radio y el centro de la circunferencia ,se hace apartir de la ecuacion general,donde podremos obtener varios datos que nos serviran para realizarlo,asi que para comprenderlo mejor les mostraremos un ejemplo junto a su explicacion paso a paso.(Ejemplo: x² + y² + 6x - 10y + 25=0)
Las cantidades anteriores se ponen de la siguiente manera: h² + k² - r² + 25 (El 25 se pone asi por que es la F) luego remplazamos la h² y k² por su respectiva cantidad: (-3)² + (5)² - 25 r² Despues las cantidades se multiplican por si mismas dando como resultado lo siguiente: 9 + 25 - 25 = r² El 9 y el 25 se suman para luego ser restados por el -25,esto se debe a que el 25 tiene un signo negativo. El resultado por la operacion final nos da 9.
El resultado de la division anterior nos da: "h= -3" y "k= 5" Los cuales nos sirven como coordenadas para encontrar el centro de la circunferencia. En el caso del radio,se necesita seguir los siguientes pasos.
Primero tenemos que saber que ocupamos como base lo siguiente: x² + y²- Dx - Ey + F = 0 Ya que sabemos esto,tenemos que dividir la cantidad "D" y "E" entre -2, En este caso seria "D= 6" y "E= 10"
Como aplicar la formula canonica
Como vimos anteriormente la forma canonica solo se utiliza cuando el centro esta en el origen,nosotros para aplicar la formula ocuparemos el siguiente ejemplo:Centro (0,0) Radio = 4
Paso 3: Ya que tienes esto: x²+y²=4² toca volver a ponerlo igual solo que esta vez tendras que multiplicar el 4 por si mismo.
Paso 1: Utilizar la siguiente formula: x²+y²=r² Paso 2:Remplaza el radio (r) por el numero 4 y lo pones al cuadrado.
Paso 4:Una vez completado el paso anterior ya tendriamos resuelto el ejemplo por que nos daria: x²+y²=16
Como se aplica la operacion ordinaria
Como se meciono anteriormente la ecuacion de forma ordinaria se utiliza cuando el centro esta fuera de el origen por ejemplo: Centro en (2,3) y radio=4
Datos Extra:
- Tanto X como Y deben elevarse al cuadrado
- Ni X ni Y no pueden estar acompañados de un coeficiente
- En el centro siempre debe de estar el símbolo positivo
- Al otro lado de la igualdad siempre debe de haber un numero, no imoorta si este no esta elevado
- En el caso de que el radio no este al cuadrado se tendrá que sacar la raíz cuadrada.
Paso 1: Identificamos y utilizamos esta formula: (X-Y) + (Y-K)=R² Paso 2: Sustituir valores, en este caso utilizaremos los siguientes: (X-2)² + (Y-3)²=4²
Paso 3: Posteriormente tendras que tendras que sustituir el radio (en este caso el 4) elevandolo al cuadrado, lo cual nos dara 16 Paso 4: Ahora volveremos a sustituir los datos, en este caso la ecuacion quedaria como : (X-2)² + (Y-3)²=16
Como se Convierte una ecuacionOrdinaria a general
A continuacion vamos a hallar la ecuacion general con la siguiente ecuacion ordinaria (x-2)²+(y-5)²=6
Aqui puedes ver una explicacion mas detallada con otro ejemplo:
Pasos para desarrollar la ecuacion general.
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Implementacion de tus conocimientos
Implementacion de tus conocimientos
centro
El centro es el punto de partida para la construcción de la circunferencia y es el punto de referencia para la medición de la longitud del radio y del diámetro.
El centro de una circunferencia es un punto interior que equidista de todos los puntos de la circunferencia, tambien es el punto de simetría de la circunferencia y tiene infinitos ejes de simetría.
diametro
El diámetro de una circunferencia es el segmento de línea que conecta a dos puntos en la circunferencia y que pasa por el centro. El diámetro también es definido como la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. La longitud del diámetro puede ser calculada usando tanto la longitud del radio como la longitud de la circunferencia.
Formula:
Radio
Formula:
El radio de una circunferencia es cualquier segmento que une el centro a cualquier punto de dicha circunferencia. La longitud del radio es la mitad de la del diámetro. Todos los radios de una circunferencia, un círculo, una esfera y una hiperesfera, respectivamente, poseen la misma longitud.
arco
Un arco de una circunferencia es una porción de la circunferencia delimitada por dos puntos sobre esta. La longitud de un arco es simplemente la longitud de esta porción de la circunferencia. La circunferencia en sí, puede ser considerada un arco que da la vuelta completa al círculo.
Formula:
cuerda
La cuerda de una circunferencia es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin necesidad de pasar por el centro. La mayor de las cuerdas es igual a la suma de dos radios.
Formula: (r² - d²)
secante
Formula:
La secante de una circunferencia es una línea que intersecta a la circunferencia en dos puntos diferentes.
Tangente
La tangente de una circunferencia es una recta que toca a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia. La recta tangente es perpendicular al radio que va del centro al punto de tangencia.
Formula: y = mx + b
flecha
La flecha de una circunferencia es la distancia desde el centro del arco al centro de la cuerda.
Formula:
Conclusion
En conclucion la circunferencia y todos sus elementos fundamentales como el radio,diametro o la circunferencia misma son una parte dundamental en la geometria ya que a traves de sus distintas operaciones podemos comprender y analizar mejor las propiedades de el circulo,contribuyendo a aumentar el conocimiento matematico y su aplicacion en nuestra vida diaria. La circunferencia siendo compleja y simple a la vez sigue siendo una fuente inagotable del aprendizaje y estudio diario.
Geometria analiticatercer parcial
¡muchas gracias por su atencion!
Paso 2:Para desarrollar los binomios tenemos que saber usar otra formula (a+b)= a²+2ab+b²,luego el (x-2)² lo vamos a multiplicar por 2 y su resultado mantendra el signo negativo. Despues el (x-2)² se tendra que multiplicar el numero por si mismo,es decir,multiplicar 2x2 pero quedando positivo con el signo de la suma. Una vez echo lo anterior debio haber quedado asi:(x-2)²=x²-4x+4 Esto se vuelve a repetir con la (y-5) donde la multiplicaremos por 2,y luego por si misma. (y-5)²=y²-10y+25
Forma canonica
Centro C (0,0) En el origen Radio (r) (x-0)² + (y-0)² = r² x² + y² = r²
Paso 4:Vamos a reorganizar los terminos para sacar la ecuacion general x²-4x+4+y²-10y+25-36=0. Primero pondremos el x²+y² Despues pondremos el -4x y el -10y Por mientras esta quedando asi; x²+y²-4xy-10y Luego vamos a sumar el 4 mas el 25 (esto se debe a su signo) y lo restaremos con 36 Dandonos como resultado -7 (4+25-36=-7). Al final ponemos el -7 al final de los terminos y asi obtenemos la ecuacion general. Ecuacion general:x²+y²-4x-10y-7=0
Forma ordinaria
Centro C (h,k) Radio (r) (x-h)² + (y-k)² = r² FORMA GENERAL x-h)² + (y-k)² = r²x²- 2xh + h² + y² - 2yk² - r² = 0 x² + y² - 2h(x) - 2x(y) + k² + h²- r² = 0 x² + y²- Dx - Ey + F = 0 (Esta es la formula general)
Como Complemento de esta presentacion,les recomiendo ver la siguiente lista de reproduccion con varios temas de la circunferencia junto a su explicacion y respectivo ejemplo. (Presione el siguiente icono en pantalla para dirigirse a la lista de reproduccion antes mencionada):
Forma canonica formula
Centro C (0,0) En el origen Radio (r) (x-0)^2 + (y-0)^2=r^2 x^2+y^2=r^2
Paso 1:Antes de comenzar debes de saber que debemos de utilizar la siguiente formula; x²+y²+Dx+Ey+F=0. Pero para poder implementarla primero debemos desarrollar los binomios.
Paso 3:Una vez desarrollado lo anterior vamos a juntarlos y pornerlos como si fueramos a sumarlos,quedando de la siguiente manera; x²-4x+4+y²-10y+25 Despues el 6 (que es el radio) lo vamos a multiplicar por si misma (6x6) y nos dara 36,esta operacion sera restada con los binomios anteriores y para ello lo acomodaremos de la siguiente manera; x²-4x+4+y²-10y+25-36=0
Geometria analitica
- DOCENTE: KARINA PINEDA RANGEL
- PLANTEL: CBTIS No.146
- Grupo: 3 AM Contabilidad
- Geometría 3er Parcial
La circunferencia presentación
SOLIS BOJORQUEZ NEYTHAN ZHAID
Created on November 29, 2023
Proyecto final para geometría
Start designing with a free template
Discover more than 1500 professional designs like these:
View
Animated Chalkboard Presentation
View
Genial Storytale Presentation
View
Blackboard Presentation
View
Psychedelic Presentation
View
Chalkboard Presentation
View
Witchcraft Presentation
View
Sketchbook Presentation
Explore all templates
Transcript
La circunferencia
Introduccion
La circunferencia
Es una figura geométrica que consiste en una línea curva cerrada y plana que se forma al unir todos los puntos equidistantes de un punto central llamado centro provocando que tomen una forma circular. Ademas esta figura es de gran importancia en la geometría y se utiliza en muchos campos de estudio, como la física, la ingeniería y la arquitectura.
donde se aplica
La circunferencia tiene numerosas aplicaciones prácticas en diferentes campos,Algunas de sus aplicaciones más comunes son:
En la geometría: La circunferencia es la base de muchos otros conceptos y teoremas geométricos, como las áreas y perímetros de figuras circulares y problemas de geometría analítica. En la física: Es esencial para el estudio de problemas relacionados con movimientos circulares y ondas. En la ingeniería: Es ampliamente utilizada en aplicaciones de diseño y construcción, como la medición de distancias y el trazado de ruedas, engranajes y otras estructuras circulares. En la medicina: se utiliza para medir diferentes parámetros físicos del cuerpo humano, como el diámetro de la cabeza o el cálculo del índice de masa corporal.
Por que es importante
Un ejemplo de lo importante que esto puede llegar a ser es cuando Eratostenes en el siglo lll aC, habia fijado la circunferencia terestre de 40,000km.Hoy en dia la tierra esta fijada en 40,008km. Es impresionante lo que hizo con un simple palo al esperar las sombras y contemplando las dos ciudades.Ademas de que podemos apreciar la aplicación del conocimiento matemático detrás de esta figura geométrica.
partes importantes
Para comprender todo esto,se necesita saber un par de conceptos clave tales como el Centro y el Radio:
RADIO cualquier segmento que une el centro a cualquier punto de dicha circunferencia.
CENTROEn matemática el centro es un punto notable que aparece en figuras geométricas y ciertos conjuntos.
RADIO
CENTRO
elementos Basicos
Click en cada recuadro para Informacion
Centro
Diametro
Radio
Arco
Cuerda
Secante
Tangente
Flecha
Ecuaciones de la circunferencia:formulas
FORMA CANONICACentro C (0,0) En el origen Radio (r) (x-0)² + (y-0)² = r² x²+y²=r² La utilizamos cuando el centro esta en el origen.
FORMA ORDINARIACentro C (h,k) Radio (r) (x-h)² + (y-k)² = r² Esta se deriva de la distancia ÷ 2 puntos. La utilizamos cuando el centro esta fuera del origen.
Dentro de la circunferencia hay distintas ecuaciones en las que se adaptan de acuerdo a su espacio.
FORMA GENERALEs cuando desarrollamos los binomios al cuadrado: (x-h)² + (y-k)² = r² x²- 2xh + h² + y² - 2yk² - r² = 0 Ordenamos los terminos: x² + y² - 2h(x) - 2x(y) + k² + h²- r² = 0 -------------------------------------------------------------------- x² + y²- Dx - Ey + F = 0 (Esta es la formula general)
Dato extra
Extremos del diametro
Para encontrar los extremos del diametro,necesitamos saber cual es su punta A y su punto B,ademas de usar la formula del punto medio la cual es:
Encontrar (radio y centro)
Para encontrar el radio y el centro de la circunferencia ,se hace apartir de la ecuacion general,donde podremos obtener varios datos que nos serviran para realizarlo,asi que para comprenderlo mejor les mostraremos un ejemplo junto a su explicacion paso a paso.(Ejemplo: x² + y² + 6x - 10y + 25=0)
Las cantidades anteriores se ponen de la siguiente manera: h² + k² - r² + 25 (El 25 se pone asi por que es la F) luego remplazamos la h² y k² por su respectiva cantidad: (-3)² + (5)² - 25 r² Despues las cantidades se multiplican por si mismas dando como resultado lo siguiente: 9 + 25 - 25 = r² El 9 y el 25 se suman para luego ser restados por el -25,esto se debe a que el 25 tiene un signo negativo. El resultado por la operacion final nos da 9.
El resultado de la division anterior nos da: "h= -3" y "k= 5" Los cuales nos sirven como coordenadas para encontrar el centro de la circunferencia. En el caso del radio,se necesita seguir los siguientes pasos.
Primero tenemos que saber que ocupamos como base lo siguiente: x² + y²- Dx - Ey + F = 0 Ya que sabemos esto,tenemos que dividir la cantidad "D" y "E" entre -2, En este caso seria "D= 6" y "E= 10"
Como aplicar la formula canonica
Como vimos anteriormente la forma canonica solo se utiliza cuando el centro esta en el origen,nosotros para aplicar la formula ocuparemos el siguiente ejemplo:Centro (0,0) Radio = 4
Paso 3: Ya que tienes esto: x²+y²=4² toca volver a ponerlo igual solo que esta vez tendras que multiplicar el 4 por si mismo.
Paso 1: Utilizar la siguiente formula: x²+y²=r² Paso 2:Remplaza el radio (r) por el numero 4 y lo pones al cuadrado.
Paso 4:Una vez completado el paso anterior ya tendriamos resuelto el ejemplo por que nos daria: x²+y²=16
Como se aplica la operacion ordinaria
Como se meciono anteriormente la ecuacion de forma ordinaria se utiliza cuando el centro esta fuera de el origen por ejemplo: Centro en (2,3) y radio=4
Datos Extra:
Paso 1: Identificamos y utilizamos esta formula: (X-Y) + (Y-K)=R² Paso 2: Sustituir valores, en este caso utilizaremos los siguientes: (X-2)² + (Y-3)²=4²
Paso 3: Posteriormente tendras que tendras que sustituir el radio (en este caso el 4) elevandolo al cuadrado, lo cual nos dara 16 Paso 4: Ahora volveremos a sustituir los datos, en este caso la ecuacion quedaria como : (X-2)² + (Y-3)²=16
Como se Convierte una ecuacionOrdinaria a general
A continuacion vamos a hallar la ecuacion general con la siguiente ecuacion ordinaria (x-2)²+(y-5)²=6
Aqui puedes ver una explicacion mas detallada con otro ejemplo:
Pasos para desarrollar la ecuacion general.
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Implementacion de tus conocimientos
Implementacion de tus conocimientos
centro
El centro es el punto de partida para la construcción de la circunferencia y es el punto de referencia para la medición de la longitud del radio y del diámetro.
El centro de una circunferencia es un punto interior que equidista de todos los puntos de la circunferencia, tambien es el punto de simetría de la circunferencia y tiene infinitos ejes de simetría.
diametro
El diámetro de una circunferencia es el segmento de línea que conecta a dos puntos en la circunferencia y que pasa por el centro. El diámetro también es definido como la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. La longitud del diámetro puede ser calculada usando tanto la longitud del radio como la longitud de la circunferencia.
Formula:
Radio
Formula:
El radio de una circunferencia es cualquier segmento que une el centro a cualquier punto de dicha circunferencia. La longitud del radio es la mitad de la del diámetro. Todos los radios de una circunferencia, un círculo, una esfera y una hiperesfera, respectivamente, poseen la misma longitud.
arco
Un arco de una circunferencia es una porción de la circunferencia delimitada por dos puntos sobre esta. La longitud de un arco es simplemente la longitud de esta porción de la circunferencia. La circunferencia en sí, puede ser considerada un arco que da la vuelta completa al círculo.
Formula:
cuerda
La cuerda de una circunferencia es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin necesidad de pasar por el centro. La mayor de las cuerdas es igual a la suma de dos radios.
Formula: (r² - d²)
secante
Formula:
La secante de una circunferencia es una línea que intersecta a la circunferencia en dos puntos diferentes.
Tangente
La tangente de una circunferencia es una recta que toca a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia. La recta tangente es perpendicular al radio que va del centro al punto de tangencia.
Formula: y = mx + b
flecha
La flecha de una circunferencia es la distancia desde el centro del arco al centro de la cuerda.
Formula:
Conclusion
En conclucion la circunferencia y todos sus elementos fundamentales como el radio,diametro o la circunferencia misma son una parte dundamental en la geometria ya que a traves de sus distintas operaciones podemos comprender y analizar mejor las propiedades de el circulo,contribuyendo a aumentar el conocimiento matematico y su aplicacion en nuestra vida diaria. La circunferencia siendo compleja y simple a la vez sigue siendo una fuente inagotable del aprendizaje y estudio diario.
Geometria analiticatercer parcial
¡muchas gracias por su atencion!
Paso 2:Para desarrollar los binomios tenemos que saber usar otra formula (a+b)= a²+2ab+b²,luego el (x-2)² lo vamos a multiplicar por 2 y su resultado mantendra el signo negativo. Despues el (x-2)² se tendra que multiplicar el numero por si mismo,es decir,multiplicar 2x2 pero quedando positivo con el signo de la suma. Una vez echo lo anterior debio haber quedado asi:(x-2)²=x²-4x+4 Esto se vuelve a repetir con la (y-5) donde la multiplicaremos por 2,y luego por si misma. (y-5)²=y²-10y+25
Forma canonica
Centro C (0,0) En el origen Radio (r) (x-0)² + (y-0)² = r² x² + y² = r²
Paso 4:Vamos a reorganizar los terminos para sacar la ecuacion general x²-4x+4+y²-10y+25-36=0. Primero pondremos el x²+y² Despues pondremos el -4x y el -10y Por mientras esta quedando asi; x²+y²-4xy-10y Luego vamos a sumar el 4 mas el 25 (esto se debe a su signo) y lo restaremos con 36 Dandonos como resultado -7 (4+25-36=-7). Al final ponemos el -7 al final de los terminos y asi obtenemos la ecuacion general. Ecuacion general:x²+y²-4x-10y-7=0
Forma ordinaria
Centro C (h,k) Radio (r) (x-h)² + (y-k)² = r² FORMA GENERAL x-h)² + (y-k)² = r²x²- 2xh + h² + y² - 2yk² - r² = 0 x² + y² - 2h(x) - 2x(y) + k² + h²- r² = 0 x² + y²- Dx - Ey + F = 0 (Esta es la formula general)
Como Complemento de esta presentacion,les recomiendo ver la siguiente lista de reproduccion con varios temas de la circunferencia junto a su explicacion y respectivo ejemplo. (Presione el siguiente icono en pantalla para dirigirse a la lista de reproduccion antes mencionada):
Forma canonica formula
Centro C (0,0) En el origen Radio (r) (x-0)^2 + (y-0)^2=r^2 x^2+y^2=r^2
Paso 1:Antes de comenzar debes de saber que debemos de utilizar la siguiente formula; x²+y²+Dx+Ey+F=0. Pero para poder implementarla primero debemos desarrollar los binomios.
Paso 3:Una vez desarrollado lo anterior vamos a juntarlos y pornerlos como si fueramos a sumarlos,quedando de la siguiente manera; x²-4x+4+y²-10y+25 Despues el 6 (que es el radio) lo vamos a multiplicar por si misma (6x6) y nos dara 36,esta operacion sera restada con los binomios anteriores y para ello lo acomodaremos de la siguiente manera; x²-4x+4+y²-10y+25-36=0
Geometria analitica