Divisibilitat

Divisibilitat

Què entens per divisibilitat? Anem a veure-ho...

Resolució de problemes

Descomposició factorial

Nombres primers

Divisors i m.c.d

Criteris de divisibilitat

1.

Múltiples i m.c.m

1. Què és un múltiple

Els múltiples d'un nombre, per exemple 2, són tots els nombres que estàn a la seva taula. Cada nombre té infinits múltiples, excepte el 0 que només en té un. Exemple: Els 5 primers múltiples de 2 són: 2, 4, 6, 8 i 10 Els 5 primers múltiples de 7 són: 7, 14, 21, 28 i 35 És útil saber els múltiples d'un nombre per: - Calcular el m.cm.

Els primers múltiples de 6 són:

1.1 Mínim comú múltiple (m.c.m)

Exemple de problema real

Els mínim comú múltiple (m.c.m) de dos o més nombres és el menor dels múltiples que tenen en comú. Exemple: El m.c.m de 3 i 4 és 12 ja que el primer múltiple que és comú entre 3 i 4 és el 12. Mútliples de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18 Múltiples de 4: 4, 8, 12, 16, 20

El meu pare s'ha de prendre una pastilla per la pressió cada 8 hores i una pastilla pel cor cada 12 hores. Si s'acaba de prendre les dues pastilles, quan li tornarà a tocar tornar a prendre's les pastilles a la vegada?

2. Què és un divisor

Els divisors d'un nombre natural són els nombres naturals que el poden dividir de manera exacta, és a dir, que tenen residu 0. Exemple: Els divisors de 10 són: 1, 2, 5 i 10, ja que, si dividim 10 per aquests nombres, la divisió és exacte. Per calcular els divisors d'un nombre: Anirem dividint el nombre per els nombres més petits i comprovarem quins ens donen una divisió exacte. És útil saber els divisors d'un nombre per: - Calcular el m.cm. - Calcular el m.c.d.

Practica amb el següent exercici:

Atenció

2.2 Màxim comú divisor (M.C.D)

Exemple de problema real

S’anomena màxim comú divisor de diversos nombres naturals al major dels divisors comuns a tots ells i s’escriu M.C.D. Exemple: El M.C.D de 12 i 18 és 6 ja que el major divisor comú entre 12 i 18 és 6 Divisors de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 Divisors de 18: 1, 2, 3, 6, 9 i 18

Una dependenta d’una botiga de regals té un rotllo de llaç vermell de 15 m i un blau de 20 m. Quina és la longitud màxima que pot tallar cada rotllo per a fer paquets iguals?

3. Criteris de divisibilitat

Podem saber si un nombre és divisible per un altre si apliquem els següents criteris: Divisible per 2 Si l'última xifra és 0 o parell. Divisible per 3 Si la suma de les seves xifres és múltiple de 3 Exemple: 135= 1+3+5=9. Divisible per 4 Un nombre enter és divisible per 4 si el nombre format per les dos últimes xifres del nombre considerat és múltiple de 4. Exemple: 67328. És divisible per 4 perquè 28 és un múltiple de 4.

Divisible per 5 Si l'última xifra és 0 o 5 Divisible per 6 Un nombre enter és divisible per 6 quan ho és al mateix temps per 2 i per 3 Exemple: 36 és divisible per 6 perquè és parell i perquè si sumem 3+6=9 que és múltiple de 3. Divisible per 9 Si la suma de les seves xifres és múltiple de 9 Exemple: 135= 1+3+5=9.

4. Nombres primers i compostos

Un nombre primer és aquell nombre natural que només té dos divisors: l'1 i ell mateix. Exemple: 2, 3, 5, 7... S’anomena nombre compost a aquell nombre natural que té més de dos divisors, és a dir, a aquell que no és primer. Exemple: 4, 6, 8, 12...

Garbell d'eratòstenes

5.Descomposició factorial

Descompondre un nombre en factors és posar-lo com a producte de factors primers. Exemple: 6 = 3 · 2 Exemple: 24= 2·2·2·3 Per descompondre en factors un nombre: 1. El dividim pel primer nombre primer que puguem. (Utilitzem els criteris de divisibilitat per saber-ho) 2. El resultat el col·loquem a sota i tornem a dividir per el primer nombre primer que puguem. 3. Així successivament, fins que el quocient final sigui 1. Finalment, posem aquest nombre com un producte de potències de factors primers.

Exemple

5.1 m.c.m i M.C.D

Una de les utilitats de la descomposició factorial és que ens permet trobar el m.c.m i el M.C.D de manera ràpida Obtenció del m.c.m (mínim comú múltiple)

Obtenció del M.C.D

6. Problemes m.c.m i M.C.D

A continuació podem veure uns exemples de problemes de la vida real on hem d'aplicar el m.c.m i el M.C.D Exemple 1: Exemple 2:

Ara que hem arribat al final....

Us proposo un joc... qui guanyi te BONUS!!