Matematica ripasso
Disequzioni fratta di secondo grado o superiore
Summary
In questa presentazione verrano illustrati i passaggi nello svolgimento delle disequazioni fratte di secondo grado o superiore.Il modo in cui si fara' sara' il seguente:
- Spiegazione teorica sull'argomento
- Svolgimento esercizio con tutti i passaggi
- Provare da casa a svolgere un esercizio
Disequazione di secondo grado
Immagine riassuntiva sulla risoluzione di una disequazione di secondo grado
Disequazione di secondo grado
Le quattro disequazioni in cui ci possiamo ritrovare: ax^2 + bx + c >= 0 ax^2 + bx + c <= 0 ax^2 + bx + c > 0 ax^2 + bx + c < 0
Come svolgere: ax^2 + bx + c ? 0
- Svolgere l'equazione di secondo grado e trovare i risultati di Delta ed eventualmente di x1 e x2
- Dopo aver svolto l'equazione e trovato i risultato controllare se a risulta positivo o meno
- Raccolto tutte le informazioni necessarie disegnare la parabola
Continuo nella prossima pagina..
Disequazione di secondo grado
Come svolgere: ax^2 + bx + c ? 0
- Svolgere l'equazione di secondo grado e trovare i risultati di Delta ed eventualmente di x1 e x2
- Dopo aver svolto l'equazione e trovato i risultato controllare se a risulta positivo o meno
- Raccolto tutte le informazioni necessarie disegnare la parabola
PER DISEGNARE LA PARABOLA:
- Disegnare verso l'alto o verso il basso in base al valore di a
- Disegnare l'asse della X in base al valore del Delta che abbiamo trovato svolgendo l'equazione di secondo grado
Disequazione di secondo grado
Come svolgere: ax^2 + bx + c ? 0
Dopo aver disegnato la parabola e trovato i risultati dell'equazione di secondo grado si puo' procedere nella risoluzione della disequazione.
ax^2 + bx + c >= 0
prendendo di esempio una disequazione con a positivo e con delta > 0 In questo caso si devono analizzare i punti in cui i valori x della funzione sono positivi e/o nulli quindi il risultato sara' in questo caso negli esterni quindi x <= x1 V x >= x2
Disequazione di secondo grado
Come svolgere: ax^2 + bx + c ? 0
Dopo aver disegnato la parabola e trovato i risultati dell'equazione di secondo grado si puo' procedere nella risoluzione della disequazione.
ax^2 + bx + c <= 0
prendendo di esempio una disequazione con a positivo e con delta > 0 In questo caso si devono analizzare i punti in cui i valori x della funzione sono negativi e/o nulli quindi il risultato sara' in questo caso negli interni quindi x1 <= x <= x2
Disequazione di secondo grado
Proviamo a svolgere un esercizio!
3x^2 - 7 + 5x >= 5x^2 - 19 + 6x 5x^2 - 3x^2 +6x - 5x - 19 + 7 <= 0 2x^2 + x - 12 <= 0 DELTA = 1^2 - 4(2)(-12) = 1 + 96 X1,2 = (-1+- radice quad(97))/4 X1 = ((-1 - radice quad(97))/4 X2 = ((-1+ radice quad(97))/4
- Davanti a una espressione del genere prima di tutto portiamo tutto da una parte(o a sinistra o a destra)
- Troviamo il delta
- In caso il delta sia maggiore uguale di 0 svolgiamo l'equazione di secondo grado e troviamo X1 e X2
- Controlliamo il valore di a e disegniamo la parabola
- Troviamo il risultato della disequazione
Disequazione di secondo grado
Proviamo a svolgere un esercizio!
La parabola verso l'alto poiche' il valore di a e' positivo La parabola intersecca con l'asse X nei punti di X1 e X2! Analizziamo l'andamento della parabola e troviamo il risultato della disequazione
2x^2 + x - 12 <= 0 DELTA = 1^2 - 4(2)(-12) = 1 + 96 X1,2 = (-1+- radice quad(97))/4 X1 = ((-1 - radice quad(97))/4 X2 = ((-1+ radice quad(97))/4 X1 <= x <= X2
((-1- radice quad(97))/4 <= x <= ((-1 + radice quad(97))/4
Disequazione di secondo grado
5x^2 + 5 - 10x > 3x^2 - 10x + 5 Soluzione: Tutte le X appartenente a R - {0} 5x^2 + 5 - 10x < 3x^2 - 10x + 5 Soluzione: Nessun X appartenente a R - {0} 8x^2 - 5x + 14 >= 6x - 2 Soluzione: Tutte le X appartenente a R x^2 - 5x + 6 > 0 Soluzione: x < 2 V x > 3 3x^2 + 4x - 10 >= 50 Soluzione:
x < (-2 - 2radQua(46))/3 V x > (-2 + 2radQua(46))/3
Disequazione fratta
Disequazione fratta
Cos'e' una disequazione fratta:
Una disequazione fratta e' una disequazione in cui la x compare sia nel numeratore che nel denominatore e come regola FONDAMENTALE che il denominatore in cui e' presente la x NON puo' essere eliminata attraverso la moltiplicazione. Cio' implica a non poter moltiplicare in una disequazione fratta a meno che non si tratti di moltiplicare per una costante come per esempio per 5 o per 1/6.
Come svolgere:
- Portare tutto il numeratore f(x) e denominatore g(x) ai minimi termini e tutti e due da una sola parte della disequazione
- Fatto cio' si puo' procedere allo studio del segno in cui svolgeremo prima di tutto le disequazioni
- f(x) > 0 V f(x) >= 0 ( >= 0 solo se la disequazione presenta ?= )
- g(x) > 0
- Svolte le due disequazioni possiamo procedere allo studio dei segni
f(x)/g(x) ? 0
Disequazione fratta
STUDIO DEI SEGNI
Per spiegarlo al meglio utilizzero' un esempio di disequazione fratta.
-1 4 10
(x^2 - 14x + 40)/(x+1) <= 0 N(x) = x^2 - 14x + 40 D(x) = x+1 x^2 - 14x + 40 >= 0 x <= 4 V x >= 10 x + 1 > 0 x > -1
N(x) D(x) Risultato: N(x)/D(x)
Il risultato corrisponde al prodotto dei segni soprastanti
Punto non appartenente
Punto appartenente
Disequazione fratta
STUDIO DEI SEGNI
Per spiegarlo al meglio utilizzero' un esempio di disequazione fratta.
-1 4 10
(x^2 - 14x + 40)/(x+1) <= 0 In questo caso devo vedere quando la funzione risulta negativa quindi il risultato corrisponderanno ai - x < -1 V 4 <= x <= 10
Punto non appartenente
Punto appartenente
Disequazione fratta
Perche' non si moltiplica?
(x^2 - 14x + 40)/(x+1) <= 0 In caso invece io avessi moltiplicato mi sarei ritrovato ad avere la seguente disequazione: x^2 - 14x + 40 <= 0 Che come risultato da' 4<=x<=10 Diverso da quello trovato in precedenza quindi sbagliato Ma in questo caso sembra ancora sensato un risultato del genere poiche' comunque risultera' vero ma se avessimo avuto un altro denominatore come per esempio x^2 - 9x + 20 otteniamo 5 < x <= 10 un risultato diverso E quindi provando a mettere i risultati trovati con questo metodo all'intera espressione risultera' falsa
Disequazione fratta
Esercizi svolti
Disequazione fratta
Esercizi svolti
N≥0 → 2-9x≥0 x≤2/9 D>0 → 2(x+2)>0 x>-2
Disequazione fratta
DISEQUAZIONI FRATTE ESERCIZI DA RISOLVERE
Disequazione fratta
Applicazioni derivate
P.S. : Il passaggio dello studio dei segni e' applicabile anche con il prodotto di due o piu' funzioni! Sappiamo che la divisione e' l'inverso della moltiplicazione quindi possiamo deddurre che i passaggi affrontati nella disequazione fratta e' possibile applicare anche quando abbiamo il prodotto di piu' funzioni. Per esempio se abbiamo la seguente espressione: (x+1)(x-1)(x^2-14x+49) < 0 Si fa nello stesso modo di una disequazione fratta ovvero: P1 > 0, P2>0,P3 > 0, ... Pn > 0. (essendo al numeratore possiamo anche considerare l'= in caso sia espresso nella disequazione) P1 = x+1 P2 = x-1 P3 = x^2-14x+49 x > -1 x > 1 tutte x appartenenti ad R - {7} Risultato: x<1
-1 1 7
P1 P2 P3 Risultato: P1*P2*P3
Matematica ripasso
Andrea Spasojevic
Created on November 26, 2023
Ripasso concetti 3^ superiore degli argomenti quali le disequazioni.
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Transcript
Matematica ripasso
Disequzioni fratta di secondo grado o superiore
Summary
In questa presentazione verrano illustrati i passaggi nello svolgimento delle disequazioni fratte di secondo grado o superiore.Il modo in cui si fara' sara' il seguente:
Disequazione di secondo grado
Immagine riassuntiva sulla risoluzione di una disequazione di secondo grado
Disequazione di secondo grado
Le quattro disequazioni in cui ci possiamo ritrovare: ax^2 + bx + c >= 0 ax^2 + bx + c <= 0 ax^2 + bx + c > 0 ax^2 + bx + c < 0
Come svolgere: ax^2 + bx + c ? 0
Continuo nella prossima pagina..
Disequazione di secondo grado
Come svolgere: ax^2 + bx + c ? 0
PER DISEGNARE LA PARABOLA:
Disequazione di secondo grado
Come svolgere: ax^2 + bx + c ? 0
Dopo aver disegnato la parabola e trovato i risultati dell'equazione di secondo grado si puo' procedere nella risoluzione della disequazione.
ax^2 + bx + c >= 0
prendendo di esempio una disequazione con a positivo e con delta > 0 In questo caso si devono analizzare i punti in cui i valori x della funzione sono positivi e/o nulli quindi il risultato sara' in questo caso negli esterni quindi x <= x1 V x >= x2
Disequazione di secondo grado
Come svolgere: ax^2 + bx + c ? 0
Dopo aver disegnato la parabola e trovato i risultati dell'equazione di secondo grado si puo' procedere nella risoluzione della disequazione.
ax^2 + bx + c <= 0
prendendo di esempio una disequazione con a positivo e con delta > 0 In questo caso si devono analizzare i punti in cui i valori x della funzione sono negativi e/o nulli quindi il risultato sara' in questo caso negli interni quindi x1 <= x <= x2
Disequazione di secondo grado
Proviamo a svolgere un esercizio!
3x^2 - 7 + 5x >= 5x^2 - 19 + 6x 5x^2 - 3x^2 +6x - 5x - 19 + 7 <= 0 2x^2 + x - 12 <= 0 DELTA = 1^2 - 4(2)(-12) = 1 + 96 X1,2 = (-1+- radice quad(97))/4 X1 = ((-1 - radice quad(97))/4 X2 = ((-1+ radice quad(97))/4
Disequazione di secondo grado
Proviamo a svolgere un esercizio!
La parabola verso l'alto poiche' il valore di a e' positivo La parabola intersecca con l'asse X nei punti di X1 e X2! Analizziamo l'andamento della parabola e troviamo il risultato della disequazione
2x^2 + x - 12 <= 0 DELTA = 1^2 - 4(2)(-12) = 1 + 96 X1,2 = (-1+- radice quad(97))/4 X1 = ((-1 - radice quad(97))/4 X2 = ((-1+ radice quad(97))/4 X1 <= x <= X2
((-1- radice quad(97))/4 <= x <= ((-1 + radice quad(97))/4
Disequazione di secondo grado
5x^2 + 5 - 10x > 3x^2 - 10x + 5 Soluzione: Tutte le X appartenente a R - {0} 5x^2 + 5 - 10x < 3x^2 - 10x + 5 Soluzione: Nessun X appartenente a R - {0} 8x^2 - 5x + 14 >= 6x - 2 Soluzione: Tutte le X appartenente a R x^2 - 5x + 6 > 0 Soluzione: x < 2 V x > 3 3x^2 + 4x - 10 >= 50 Soluzione:
x < (-2 - 2radQua(46))/3 V x > (-2 + 2radQua(46))/3
Disequazione fratta
Disequazione fratta
Cos'e' una disequazione fratta:
Una disequazione fratta e' una disequazione in cui la x compare sia nel numeratore che nel denominatore e come regola FONDAMENTALE che il denominatore in cui e' presente la x NON puo' essere eliminata attraverso la moltiplicazione. Cio' implica a non poter moltiplicare in una disequazione fratta a meno che non si tratti di moltiplicare per una costante come per esempio per 5 o per 1/6.
Come svolgere:
f(x)/g(x) ? 0
Disequazione fratta
STUDIO DEI SEGNI
Per spiegarlo al meglio utilizzero' un esempio di disequazione fratta.
-1 4 10
(x^2 - 14x + 40)/(x+1) <= 0 N(x) = x^2 - 14x + 40 D(x) = x+1 x^2 - 14x + 40 >= 0 x <= 4 V x >= 10 x + 1 > 0 x > -1
N(x) D(x) Risultato: N(x)/D(x)
Il risultato corrisponde al prodotto dei segni soprastanti
Punto non appartenente
Punto appartenente
Disequazione fratta
STUDIO DEI SEGNI
Per spiegarlo al meglio utilizzero' un esempio di disequazione fratta.
-1 4 10
(x^2 - 14x + 40)/(x+1) <= 0 In questo caso devo vedere quando la funzione risulta negativa quindi il risultato corrisponderanno ai - x < -1 V 4 <= x <= 10
Punto non appartenente
Punto appartenente
Disequazione fratta
Perche' non si moltiplica?
(x^2 - 14x + 40)/(x+1) <= 0 In caso invece io avessi moltiplicato mi sarei ritrovato ad avere la seguente disequazione: x^2 - 14x + 40 <= 0 Che come risultato da' 4<=x<=10 Diverso da quello trovato in precedenza quindi sbagliato Ma in questo caso sembra ancora sensato un risultato del genere poiche' comunque risultera' vero ma se avessimo avuto un altro denominatore come per esempio x^2 - 9x + 20 otteniamo 5 < x <= 10 un risultato diverso E quindi provando a mettere i risultati trovati con questo metodo all'intera espressione risultera' falsa
Disequazione fratta
Esercizi svolti
Disequazione fratta
Esercizi svolti
N≥0 → 2-9x≥0 x≤2/9 D>0 → 2(x+2)>0 x>-2
Disequazione fratta
DISEQUAZIONI FRATTE ESERCIZI DA RISOLVERE
Disequazione fratta
Applicazioni derivate
P.S. : Il passaggio dello studio dei segni e' applicabile anche con il prodotto di due o piu' funzioni! Sappiamo che la divisione e' l'inverso della moltiplicazione quindi possiamo deddurre che i passaggi affrontati nella disequazione fratta e' possibile applicare anche quando abbiamo il prodotto di piu' funzioni. Per esempio se abbiamo la seguente espressione: (x+1)(x-1)(x^2-14x+49) < 0 Si fa nello stesso modo di una disequazione fratta ovvero: P1 > 0, P2>0,P3 > 0, ... Pn > 0. (essendo al numeratore possiamo anche considerare l'= in caso sia espresso nella disequazione) P1 = x+1 P2 = x-1 P3 = x^2-14x+49 x > -1 x > 1 tutte x appartenenti ad R - {7} Risultato: x<1
-1 1 7
P1 P2 P3 Risultato: P1*P2*P3