Exposición calculo III

Coordenadas Esfericas, Cilindricas y Triples Integrales para Calcular Volumen

Campos Brandt Julian de Jesus

Calculo III

Hectir Axel Saavedra

¿Que son las coordenadas Esfericas y Cilindricas?

• Ambos sistemas nos sirven para graficar en 3 dimensiones.
• Son una extension de las coordenadas polares para un campo tridimensional.

Tema 1. Coordenadas Esfericas

1.

3.

Definir este tipo de coordenadas

Observaciones

4.

2.

Transdormaciones a otros sitemas

¿Como se grafican?

1.1. Definir este tipo de Coordenadas

¡Vamos a ver sus elementos!

r v ρ

Distancia desde el origen hasta el punto

Coordenada polar tomada con respecto al angulo del eje positivo x.

Coordenada tomada con respecto al angulo del eje positivo z.

¡Pequeñas Aclaraciones y ejercicios!

Propiedades:

Notemos que:

• p≥0
• 0≤Φ≤π
• 0≤θ≤2π v -π≤θ≤π

Veamos un ejemplo 😈

1.2.¿Como se grafican?

Vamos a graficar el siguiente punto dado en coordenadas esfericas:

(6,π/3,π/6)

Primero, ubica el angulo θ en el plano x y.

⇒ θ=π/3=60

(distancia al punto,angulo eje x,angulo eje z)

(r,θ,Φ)

1.2.¿Como se grafican?

¡Hemos formado un plano en el que se encuentra nuestro punto!

Ahora vamos a trazar el angulo Φ.

⇒Φ=π/6=30.

Finalmente solo medimos r.

1.3. Observaciones

Notas o Casos a Resaltar:

• Si r=0 entonces el punto es el origen (sin importar los angulos que se pongan en los otros espacios).
• Si θ=0 entonces el punto esta sobre el eje x.
• Si Φ=0 entonces el punto esta sobre el eje z.

1.4. Transformaciones entre sistemas

Rectangulares a Esfericas

Esfericas a Rectangulares

cosΦ=z/p ⇒z=p*cosΦ senΦ=r/p ⇒p*senΦ x=p senΦ cos θ y= p senΦ senθx=rcosθy=rsenθ

Explicacion 😈

Tema 2

Coordenadas Cilindricas

1.

Elementos

2.

Graficar los puntos

3.

Transdormaciones entre sitemas

2.1. Elementos

(r,Φ,z)

ELEMENTOS

Donde: r: Distancia que hay desde el origen hasta la proyeccion del punto. Φ: angulo que forma r con respecto al eje positivo x. z: altura del punto.

Puntos a destacar:

• r≥0

2.2. Graficar coordenadas cilindricas

(2,3π/2,-2)

(2,π/4,1)

¡Son mas faciles que las esfericas!

2.3. Transformaciones entre sistemas

Rectangulares a Cilindricas

Cilindricas a Rectangulares

Triples Integrales para calular Volumen

Las integrales triples determinan el volumen de sólidos.

Vamos a ver un poco de Teoria

¿A que nos referimos al expresar una triple o doble integral?

Podemos expresar el diferencial del area como una doble integral y del volumen como una triple integral. dv=∫∫∫dv dv=∫∫∫dz dydx en donde dz es el diferencial de la altura. Y dydx son los diferenciales del area. Vamos a definir lo siguiente:

• La x debe estar en funcion de constantes.

• La y debe estar en funcion de x.
• La z debe estar en funcion de x y de y.

Triple integral para calcular volumen

Pongamoslo en practica... ¡otra vez!

Resuelva el siguiente problema usando triples integrales.

Hallar el volumen del solido limitado en el primer octante por los planos coordenados y por el plano 3x+2y+z=6.

1. Primero que nada vamos a tratar de visualizar bien que es lo que se nos pide.

Vamos a marcar las intersecciones.

3x+2y+z=6

Continuemos con el ejercicio...

Vamos a tener que usar dos perspectivas...

dv=∫∫∫dz dydx

Parte final del ejercicio: Integracion

Vamos a comenzar a integrar con respecto de z.

Esta integral se resuelve usando un cambio de variable. u=6-3x

Tema 4. FIN

¡Muchas Gracias a todos por su Atencion!

Campos Brandt Julian de Jesus