La aleatoriedad y los modelos para la generación de variables aleatori

M11 Simulación FIC A

Proyecto Modular

Investigacion sobre: La aleatoriedad y los modelos para la generación de variables aleatorias Alumna: Linda Sheccid Gutierrez Calderon Matricula: UVC006734

Indice:

1. Presentacion
2. Indice
3. Números aleatorios y pseudoaleatorios
4. Generadores congruenciales
5. Contrastes de bondad de ajuste
6. Contrastes de aleatoriedad e independencia
7. Teorema central del límite
8. Algoritmo de Box-Muller
9. Métodos generales de simulación
10. Método de simulación de variables aleatorias discretas
11. Fin

Números aleatorios y pseudoaleatorios:

Cuando se habla de aleatoriedad es común relacionar este concepto con el lanzamiento de una moneda al aire, la cual tiene la misma probabilidad de caer de un lado u otro en cada tirada; desde la perspectiva matemática, este fenómeno puede ser estudiado y se le atribuye a una cualidad propia de los números. Un número aleatorio es un valor que se obtiene al azar, para identificarlo debe ser asignado a un rango de valores; por ejemplo, puede pertenecer al grupo 1 a 10, o bien, a un conjunto infinito de valores, por lo tanto, cada número tiene la misma probabilidad de ser elegido. Es importante mencionar que la elección de un número no depende de la elección de otro, es decir, no se realiza en un orden concreto. el uso de números aleatorios es importante en diversos ámbitos laborales, entre ellos, la programación de aplicaciones, el desarrollo de juegos en línea y la ciberseguridad; conoce cómo se aplica este concepto en las tarjetas bancarias.

Números aleatorios y pseudoaleatorios:

Una barrera de seguridad que se implementa en la mayoría de aplicaciones móviles en las que se realizan operaciones bancarias es el uso de un token de seguridad, el cual consiste en una serie de números aleatorios que cambian en determinado intervalo para comprobar la identidad del usuario, así, se impide el acceso a la cuenta a personas no autorizadas. Números pseudoaleatorios: Se les denomina de esta forma porque se obtienen de un conjunto de operaciones a partir del número generado en algún paso anterior; por ejemplo, pueden iniciar en el 30 y de ahí generar números aleatorios utilizando una fórmula que no sobrepase el 100.

Generadores congruenciales

Para la generación de números pseudoaleatorios se utilizan diversos métodos, sin embargo, uno de los más comunes son los métodos congruenciales. ¿Qué es un generador congruencial lineal? Es un algoritmo matemático utilizado para generar una secuencia de números pseudoaleatorios. Tiene su origen en el año 1951 y utiliza una fórmula matemática que genera el siguiente número de la secuencia a partir del número anterior. En su forma más sencilla, los generadores congruenciales seguirán la fórmula: Conviene señalar que los generadores congruenciales son los métodos más usados para la generación de números aleatorios, esto se debe a la sencillez con la que son programados, así como por el bajo costo que representan.

Contrastes de bondad de ajuste

El objetivo de los Contrastes de Bondad de Ajuste a Distribuciones consiste en determinar a partir de un conunto de datos muestrales si estos son consistentes con una distribución de probabilidad teórica. Los datos observados (o experimentales) y los datos obtenidos mediante una cierta distribución de probabilidad, datos teóricos, difieren unos de otros, ya que raramente el ajuste de entre ambos tipos de datos es perfecto. Mediante los Contrastes de Bondad de Ajuste se determina si las diferencias existentes entre las frecuencias observadas y las teóricas son únicamente debidas al azar al tomar la muestra. Consideramos una variable aleatoria X discreta o continua y una muestra aleatoria de tamaño n de la distribución de dicha variable agrupada en k clases exhaustivas y mutuamente excluyentes. Medidas de bondad de ajuste: Son un resumen de la discrepancia que se presenta entre los valores observados y los valores esperados en el modelo de estudio. Dichas medidas se utilizan para comprobar si dos muestras se obtienen a partir de dos distribuciones idénticas, o bien, para detectar si las frecuencias siguen una distribución específica.

Contrastes de aleatoriedad e independencia

Además del uso de medidas de ajuste, es posible utilizar procedimientos no paramétricos, es decir, que analizan datos que no presentan una distribución establecida con el fin de descartar algún tipo de observación en la producción de números pseudoaleatorios. Para el uso de estas pruebas es necesario establecer una serie de hipótesis como:

• Los números generados no siguen ningún patrón.
• Las observaciones son independientes.
• Las observaciones son aleatorias.

En la estadística, sirve para evaluar la aleatoriedad de datos binarios, es decir, de los números que sólo pueden tomar los valores de 0 y 1. Esto se basa en la idea de contar el número de rachas, o sea, las secuencias consecutivas de valores iguales en los datos, determinando si la secuencia de datos binarios exhibe un patrón sistemático, o bien, si los valores parecen ser generados al azar.

Teorema central del límite:

El teorema central del límite es una herramienta poderosa en estadística que permite realizar inferencias sobre grandes poblaciones de datos; dado que este método trabaja con muestras aleatorias Se trata de una herramienta estadística en la que se determina que, dada una muestra aleatoria lo suficientemente grande de la población, la distribución de las medias muestrales seguirá una distribución normal. Esto significa que, cuando aumenta el tamaño de la muestra o la cantidad de observaciones de un experimento, dichas observaciones se mantendrán en una distribución normal en la que existe la misma cantidad de observaciones en ambos lados del gráfico.

Algoritmo de Box-Muller

Esta herramienta matemática fue propuesta en 1958 por George Edward Pelham Box y Mervin E. Muller, de quienes recibe su nombre, y es utilizada para generar números aleatorios distribuidos normalmente. El algoritmo de Box-Muller se basa en la transformación de coordenadas polares en coordenadas cartesianas utilizando variables aleatorias uniformemente distribuidas. A partir de dos números aleatorios uniformes independientes y distribuidos entre 0 y 1, el algoritmo genera dos números aleatorios que se distribuyen en una curva normal. En conclusión, el algoritmo de Box-Muller permite la generación de números aleatorios que se distribuyen de forma normal, los cuales pueden ser usados en simulación para modelar el comportamiento de los sistemas de una forma más realista.

Métodos generales de simulación

Las variables aleatorias son funciones que asignan valores numéricos a los resultados posibles de un experimento aleatorio, para generarlos se emplean diversos métodos en la simulación, uno de ellos se centra en la información de las variaciones del sistema a lo largo del tiempo. Método basado en distribución empírica: Se deriva de una distribución empírica de las variaciones experimentadas. Para ello, se debe recopilar datos empíricos de las variaciones o de las pérdidas experimentadas en un sistema o proceso a lo largo del tiempo. Cabe aclarar que la calidad de sus resultados dependerá del tipo de datos empíricos recopilados.

Métodos generales de simulación

La simulación de Montecarlo es una técnica estadística utilizada para estimar resultados mediante el muestreo aleatorio y repetido, calculando los posibles resultados de un suceso incierto. Fue desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial por John von Neumann y Stanisław Ulam y recibe su nombre en referencia a un famoso casino localizado en Mónaco, ya que su enfoque de modelado es similar al juego de la ruleta.

Esta forma, en una simulación que usa el método de Montecarlo es posible analizar datos pasados y predecir una serie de resultados futuros en función de una elección de acción, todo esto dentro del software de simulación.

Método de simulación de variables aleatorias discretas:

La simulación de variables que cambian en cada evento o suceso se han desarrollado métodos específicos que tienen una mayor eficiencia para la simulación de sucesos discretos.

• Transformación inversa es un enfoque útil para generar valores aleatorios de una distribución específica en simulaciones. Al utilizar la función de distribución acumulativa inversa, se puede mapear un número aleatorio uniforme a un valor correspondiente en la distribución objetivo.

• Búsqueda indexada permite reducir las comparaciones localizando las zonas en las que se encuentran los números pseudoaleatorios que se han producido. Usando la búsqueda indexada, se utiliza un índice para realizar saltos más grandes y reducir la cantidad de comparaciones necesarias.

• Método de Alias permite generar muestras aleatorias de una distribución discreta con eficiencia constante, ya que los pasos de preparación y construcción sólo se realizan una vez.

Es necesario mencionar que la elección del método de simulación, tanto para sistemas generales como para los que cuentan con variables discretas, dependerá del tipo de datos que produce el sistema y los objetivos de simulación, de tal manera que, el método será útil para resolver el problema y tomar decisiones con relación a mejorar la eficiencia del sistema.

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