DETERMINANTES

DETERMINANTES

¿QUE ES?

El determinante de una matriz cuadrada A es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. El determinante de la matriz A de orden n se simboliza por A y se representa:

tipos de determinantes

Determinantes de Segundo Orden

Determinantes de Primer Orden

Llamamos determinante de primer orden al valor del determinante de una matriz de dimensión 1x1.

Un determinante de segundo orden es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

Determinantes de Tercer Orden

Para calcular el determinante de una matriz de orden 3, utilizamos la regla de Sarrus:

Existen otras formas de hacer la regla de Sarrus, ya sea repitiendo las dos primeras filas (caso de la izquierda) o repitiendo las dos primeras columnas, caso de la derecha.

metodos de solución

Método basado en el cálculo de menores

Método de los Adjuntos

• Comenzando por el orden k=2 , se realiza el proceso siguiente (para una etapa k cualquiera)
• Se busca un menor a=0 de orden k, entonces el rango será ≥ k
• Se añade a dicho menor una fila i , y cada una de las columnas que en él no figuran, obteniéndose así menores de orden k+1. Si todos estos menores son nulos, significa que la fila i es combinación lineal de las k filas del menor anterior, por lo que podemos eliminar esa fila.
• Seguimos probando con las restantes filas, si todos los menores así formados son nulos, entonces la matriz tiene sólo k filas linealmente independientes, que son las que aparecen en el menor, y por tanto su rango es k.
• Si alguno de los menores k+1 es distinto de cero, el rango es ≥ k+1 y repetimos el proceso para otro orden k superior.

El método de Chio consiste en utilizar las propiedades de los determinantes para conseguir dichos ceros, sobre todo aquella que decía que al sumar a los elementos de una línea una combinación lineal de otras líneas el determinante no cambia. Utilizando el método de los adjuntos conjuntamente con el método de Chio, podemos convertir el cálculo de determinantes complicados, en otros determinantes mucho más sencillos.

Método de Gauss

• Se utiliza con frecuencia en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Vamos a describir el método por filas (de igual forma sería por columnas). Básicamente consiste en hacer nulos los elementos que hay debajo de los aii con i= 1, 2, 3, ..., m-1 ; y el rango final será el número de filas distintas de cero.
• El método consta de m-1 etapas, siendo m el número de filas.
• En una etapa i cualquiera se deja fija la fila i , y tomando como referencia el elemento aii , por medio de operaciones elementales (nombradas anteriormente) se hacen cero todos los elementos de su columna que estén por debajo de él.
• Si el elemento aii es igual a cero, es preciso intercambiar previamente esa fila por alguna otra fila de debajo, y si no es posible (porque también sea cero) con alguna columna de la derecha, hasta conseguir que aii sea distinto de cero (es conveniente, para evitar cálculos tediosos que sea 1).