Física

MOVIMIENTO pendular

detrminación de la gravedad terrestre

Realizado por Mario CANTO oRGAZ

ÍNDICE

01. Introducción

02. fórmulas

03. Tablas de datos

04. gráficas

05. ACELERACIÓN GRAVITATORIA

06. preguntas

1-Introducción

Esta presentación trata sobre el caso particualr del movimiento pendular, el cual pertenece al ámbito de estudio del movimiento vibratorio armónico simple (MVAS). En ella vamos a ver distintas gráficas y desarrollos en los que me voy a apoyar para explicar este movimiento; y de esta manera, determinar la gravitación terrestre. A su vez, trabajaremos distintos términos como el método de propagación del mínimo error; con el cual podremos proporcionar una respuesta más certera al problema planteado.

2-fórmulas

El caso del moviento pendular es curioso pues a pesar de parecer distinto al MVAS, emplea fórmulas similares para entender su desarrollo en el tiempo y su funcionamiento periódico. Gracias a la aplicación de estos conocimientos encontraremos el valor más exacto de la aceleración gravitatoria terrestre.Para ello se van ha emplear las siguientes fórmulas:

→ Fórmula del período de un péndulo: ω = √(g/L) y T = 2π /ω → T= 2π √ (L/g) → Fórmula del período al cuadrado: T= 2π √ (L/g) → T^2=((2π)^2*L)/g → Fórmula de la longitud: T= 2π √ (L/g) → L=(T^2*g)/(2π)^2

3-tabla de datos

A continuación tenemos los datos que hemos obtenido tras las distintas mediciones realizadas en clase; según los cuales, aplicando las distintas fórmulas mencionadas anteriormente, sacaremos la aceleración gravitatoria terrestre. El tiempo se ha tomado hacieno 5 oscilaciones por cada longitud.

Los datos de esta gráfica han sido obtenidos según las fórmulas T^2=((2π)^2*L)/g y L=(T^2*g)/(2π)^2. Con estos datos vamos a realizar la gráfica de dipersión y la recta de tendencia, las cuales arrojarán luz al funcionaiento de este movimiento. Para ambos casos se ha empleado el valor g=9.8 m/s^2

4-gráficas

Gráfica de dispersión: En esta gráfica se representa la relación entre la longitud y el período al cuadrado con una sucesión de puntos, de los cuales nos vamos a guiar para hacer la recta de tendencia del movimiento pendular.

Recta de Tendencia de la Gráfica En esta imagen se representa la recta de tendencia, que se emplea para realizar una aproximación de los datos anteriores y, de esta manera, clarificar el resultado.

5-ACELERACIÓN GRAVITATORIA

Para calcular la aceleración gravitatoria terrestre hay que calcular la pendiente de la recta de tendencia, la cual se incluirá en la fórmula de la gravedad ((T^2)/L = m). Después de crear esta nueva fórmula se despeja la gravedad para obtener la aceleración gravitatoria; la cual trae consigo un posible error.

La fórmula es:

Dado que el experimento puede verse influido por factores externos como el detenimiento y puesta en marcha del cronómetro, o la fuerza al lanzar el péndulo, las cuales afectan al resultado final de la aceleración terrestre, se tiene en cuenta un error mínimo para dar el dato final de la aceleración gravitatoria.

Procedimiento:

Por lo tanto al tener ambos datos obtenemos que la aceleración gravitatoria es de 9.97 +- 0.3 m/s^2

6-preguntas

¿Qué ocurriría si se realizara el experimento en Marte?

En el caso de la realización del experimento en Marte el resultado sería distinto pues al ser menor la gravedad, es menor la fuerza de atracción de cualquier cuerpo hacia el interior del planeta. Esto nos lleva a la conclusión de que el aspecto diferenciador entre ambos casos sería el período pues a menor atracción (gm = 3.71 m/s^2 < gt = 9.8 m/s^2), mayor tiempo de oscilación; o lo que es lo mismo, mayor periodo; tal y como vemos que sucedería según la fórmula T^2=((2π)^2*L)/g.

A partir del valor de la gravedad sobre la superficie ¿es posible determinar la masa del planeta? ¿Faltaría algún dato? ¿Cuál? ¿Cómo podría determinarse con mediciones sobre la superficie? (Pista: Eratóstenes).

A partir del dato de la gravedad sí que se puede determinar la masa de un planeta pero también es importante tener el dato del radio del cuerpo celeste, pues la fórmula que se debe usar emplea el dato de la gravedad (g), la masa del planeta (M), la constante G (6.67*10^-11 Nm^2/kg^2) y el radio de este (R): g = GM/R^2 → M = (gR^2)/G Para responder a la última pregunta podemos apoyarnos en el método que empleó Eratóstenes, el cual estimó el radio de la Tierra usando la sombra de un palo en dos lugares distintos. A continuación explico el procedimiento.

Pasos: Se ponen dos puntos sobre la superficie del planeta en el mismo meridiano (línea imaginaria de polo a polo) y con una distancia conocida entre ellos. En cada punto se pone un palo vertical y se mide la longitud de la sombra que proyecta el Sol en cada uno de ellos al mismo tiempo (misma posición solar). Se calcula el ángulo que forma la sombra del palo con la horizontal en cada uno de los puntos empleando como posible fórmula: θ=arctan(s/h​). Cabe destacar que θ es el ángulo mencionado anteriormente. El siguiente paso es restar los ángulos (mayor-menor) para obtener el ángulo central (α) que forma el arco de la circunferencia del planeta que pasa por los dos puntos. Cabe destacar que el ángulo se expresa en radianes (1 radián es aproximadamente 57,3º). El último paso es dividir la distancia entre los puntos (d) y el ángulo central para obtener el radio del planeta según la siguiente fórmula: R=d/α​

1º

2º

3º

4º

5º

¿Depende el período del péndulo del punto en el que se deja al inicio? ¿Depende de la masa?

El período del péndulo sí se ve afectado por el punto en el que se deja al inicio pues a más altitud respecto del suelo, mayor va a ser su oscilación y su período, pues al ser un movimiento “simétrico” respecto al punto de velocidad máxima, a más altura, mayor espacio recorrerá por oscilación. El período no depende de la masa puesto que dada la fórmula T= 2π √ (L/g), vemos como en ningún caso se emplea la masa para trabajar con el período.

¿Dónde tiene el péndulo la mayor velocidad? ¿Y la mayor aceleración?

En el caso del movimiento pendular la mayor velocidad se adquiere en el punto de equilibrio, o lo que es lo mismo, en la mitad de su recorrido oscilatorio; pues la atracción de la Tierra incrementa la velocidad en ese punto para que luego comience a decrecer cuando va a la máxima amplitud A y -A.

En el caso de la aceleración se produce lo contrario ya que al aproximarse a cualquiera de los extremos de máxima amplitud es cuando se produce su máxima representación y cuando su vector es de sentido contrario, anulando la velocidad. Por este motivo cuando la velocidad es máxima, su aceleración es cero y su vector toma el signo contrario del que tenía antes de llegar a ese punto de equilibrio mencionado anteriormente.

¿Cuánto vale la energía mecánica del péndulo? ¿En qué punto lo calculas?

La energía mecánica del péndulo se puede calcular en cualquier punto de su trayectoria pero los más interesantes y correctos son los extremos de la trayectoria en los cuales se da la energía mecánica mínima (Em = Ep = mgh), y en el punto en el que se da la velocidad máxima, el cual coincide con el instante en que la energía mecánica es máxima (Em = Ec = ½*m*v^2).

En este vídeo hay un ejemplo de cálculo: https://youtu.be/6uWmm0XAqME?si=kq_HprWJSlApBIZH

¿Qué velocidad tiene en el punto de equilibrio?

Para sacar la velocidad en el punto de equilibrio hay que apoyarse en dos fórmulas. En primer lugar empleamos v=2πr/T y la fórmula T=2π √(L/g); y después las igualamos para despejar la velocidad. Para sacar “r” nos apoyamos en la tabla de datos proporcionada anteriormente. 2πr/v = 2π √ (L/g) → 2πr/2π √ (L/g) = v → r/√ (L/g) = v → 2.85/√ (32.72/9.8) = v → v = 1.56 m/s

FIN