DETERMINANTES

Orden tres

Orden uno

Menores complementarios

Orden dos

Determinante "haciendo ceros"

Adjunto y matriz adjunta

Determinante de orden 4 y superior

Determinante en numeros decimales

Determinantes

Desarrollo de un determinante

Regla de Laplace

Regla de cofactores

Regla de Sarrus

Tipos de solucion

Regla de Gauss-Seidel

Regla de Jacobi

Menores complementarios

Menores complementarios

Se llama menor complementario de un elemento al valor del determinante de orden que se obtiene al suprimir en la matriz la fila y la columna Se llama adjunto del elemento al menor complementario anteponiendo: El signo es + si I+J es par. El signo es - si I+J es impar. El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes:

Por ejemplo, para la matriz cuadrada de orden 3 pueden definirse, entre otros, los dos siguientes menores complementarios:

pueden definirse, entre otros, los dos siguientes menores complementarios:

Determinante "haciendo ceros"

Existe una técnica (otra vez Gauss) que consigue que todos los elementos de una fila o columna, excepto uno, se conviertan en 0 sin alterar el valor del determinante, o controlando su cambio. A esto se le llama hacer ceros en una fila o columna. Si una vez que hemos hecho ceros en una fila o columna, calculamos el determinante por recurrencia desarrollándolo por esa fila o columna, no tendremos que calcular tantos adjuntos ya que terndríamos que multiplicarlos por 0.

Definicion de Determinantes

En matemáticas, el término "determinante" se refiere a una cantidad asociada a una matriz cuadrada. Esta cantidad es útil en álgebra lineal y tiene diversas aplicaciones, como resolver sistemas de ecuaciones lineales y calcular áreas y volúmenes en geometría. El determinante de una matriz se denota comúnmente como det(A) o |A|, donde A es la matriz. Calcular el determinante implica realizar operaciones específicas en los elementos de la matriz, y el resultado es un número único asociado a esa matriz. La propiedad del determinante cambia si intercambiamos filas o columnas, y su valor es cero si la matriz es singular (no tiene inversa).

Determinante de orden 4 y superior

Este método (se puede aplicar a cualquier determinante de orden 2 o superior) consiste en desarrollar el determinante por los elementos de una de sus filas o columnas: el determinante de una matriz es la suma de los productos que se obtienen de multiplicar los elementos (aij) de sólo una de sus filas o columnas por sus adjuntos (Aij) respectivos. De esta definición se deduce que se puede elegir la fila o la columna. Debemos, por tanto, elegir la que más ceros tenga para, así, tener que calcular menos adjuntos.

Determinante de orden uno

El determinate de orden 1 o determinante de primer orden de una matriz cuadrada de dimensión 1x1 es igual al elemento que lo compone: Si A=(a11), entonces |A|=a11.

Determinates en numeros decimales

Anteriormente hemos trabajado con números enteros para una mayor comprensión. Por eso, aquí puede usar números decimales o enteros, pero tenga en cuenta que la solución se expresará en números decimales.

Determinante de orden 3

El determinate de orden 3 o determinante de tercer orden de una matriz cuadrada de dimensión 3x3 se puede calcular mediante la fórmula, conocida con el nombre de Regla de Sarrus:

Determinantes de orden 2

El caso más sencillo de determinante es el que corresponde a una matriz cuadrada orden 2. Entonces, el determinante es un número real obtenido como la siguiente suma de factores:

Adjunto y matriz adjunta

Para una matriz cuadrada A de orden n se llama adjunto Aij del elemento aij al valor del menor complementario de dicho elemento multiplicado por (-1) elevado a i más j.

Dada una matriz cuadrada A, se define su matriz adjunta, que se denota por A* o Adj(A), como aquella en la que los elementos de A están reemplazados por sus adjuntos respectivos:

Desarrollo de un determinante

El valor de un determinante puede obtenerse a partir de los adjuntos de los elementos de su matriz correspondiente. Así, dada una matriz A, el valor de su determinante |A| es igual a la suma de los productos de cada uno de los elementos de una de sus filas o sus columnas por los adjuntos respectivos de dichos elementos.

En general, un determinante puede desarrollarse por filas o por columnas. Este tipo de desarrollo permite calcular el valor del determinante de matrices cuadradas de orden superior a 3, simplemente reduciendo este orden sucesivamente, por la regla de los adjuntos, hasta 3, y después aplicando la regla de Sarrus.

Regla de Sarrus

Ideada por el matemático francés Pierre Frédéric Sarrus, esta regla nos permite también calcular determinantes de matrices cuadradas de orden 3 y solamente de este orden. Para calcular los determinantes de esta manera debemos dibujar dos conjuntos de dos triángulos opuestos a través de los elementos que componen la matriz. El primer conjunto tendrá dos triángulos que deben cruzar la diagonal principal, mientras que el segundo conjunto tendrá otros dos triángulos que crucen la diagonal secundaria.

Regla de Laplace

Mediante esta regla podremos calcular fácilmente el determinante de matrices de dimensiones iguales y mayores a 3 x 3. De esta forma, simplificamos el cálculo de las matrices de dimensiones elevadas al utilizar la suma de los determinantes de las matrices menores en las que se descompone la matriz inicial.

Regla de Cofactores

Este método consiste en expandir el determinante a partir de una fila o columna cualquiera. Para ello, se multiplica cada elemento de la fila o columna seleccionada por su cofactor, que es el determinante de la matriz resultante de eliminar la fila o columna seleccionada y la columna o fila correspondiente al elemento multiplicado.

Regla de cofactores

Regla de Jacobi

Este método es similar al método de Gauss-Jordan, pero en lugar de multiplicar las filas de la matriz original por números convenientes, se multiplican las filas de la matriz original por los cofactores de los elementos de la diagonal principal.

Método de Gauss-Seidel

Este método es similar al método de Jacobi, pero en lugar de multiplicar las filas de la matriz original por los cofactores de los elementos de la diagonal principal, se multiplican las filas de la matriz original por los cofactores de los elementos de la diagonal principal multiplicados por los elementos de la diagonal principal.